2021届吉林省吉林市普通高中高三上学期毕业班第二次调研测试数学(文)试题(解析版).doc

1、2021届吉林省吉林市普通高中高三上学期毕业班第二次调研测试数学（文）试题一、单选题1集合，那么（ ）ABCD【答案】A【分析】根据并集的定义，直接求解.【详解】，.故选：A2在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）ABCD【答案】C【分析】根据复数的乘法运算以及复数表示的几何意义即可求解.【详解】解：因为复数i（2+i）=2i1，故复数对应的点的坐标为（1，2），故选：C.【点睛】本题考查了复数的乘法运算以及复数的几何意义，属于基础题.3若对应数据的茎叶图如图甲所示，现将这五个数据依次从小到大输入程序框（如图乙）进行计算（其中），则下列说法正确的是（ ）A输出的值是10B输出的值是2C该程序框

2、图的统计意义为求这5个数据的标准差D该程序框图的统计意义为求这5个数据的方差【答案】A【分析】根据程序框图计算运算结果即可得出选项.【详解】由程序框图可得.故选：A4我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的正视图、侧视图、俯视图依次是（ ） ABCD【答案】C【分析】根据三视图的定义直接选出结果即可.【详解】由三视图的定义可知：正视图为；侧视图为；俯视图为.故选：C5设，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D

3、既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由对数函数的单调性，可得，进而可得充分性和必要性.【详解】解：，则“”是“” 的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，考查对数函数单调性的应用，是基础题.6安徽黄山景区，每半个小时会有一趟缆车从山上发车到山下，某人下午在山上，准备乘坐缆车下山，则他等待时间不多于5分钟的概率为ABCD【答案】B【分析】由题意分析在何区间内等待时间可以控制在5分钟之内，再由概率计算公式即可求出结果.【详解】此人在25分到30分或55分到60分之间的5分钟内到达，等待时间不多于5分钟，所以他等待时间不多于分钟的概率为.故选B【点睛】本题主要考查几何概型

4、，熟记公式即可求解，属于基础题型.7函数的定义域为ABCD【答案】D【分析】根据正切函数的定义域可知，化简即可求出.【详解】因为，所以故函数的定义域为 ，选D.【点睛】本题主要考查了正切型函数的定义域，属于中档题.8等比数列中，则的前12项和为（ ）A24B48C56D24或56【答案】D【分析】设等比数列的公比为q，根据，利用等比数列的性质求解.【详解】设等比数列的公比为q，由等比数列的性质得：，所以，解得，所以，所以的前12项和为或，故选：D9人们眼中的天才之所以优秀卓越，并非是他们的天赋异禀，而是付出了持续不断的努力一万小时的锤炼是任何人从平庸变成非凡，从困境走向成功的必要条件某个学生为

5、提高自己的数学做题准确率和速度，决定坚持每天刷题，刷题时间与做题正确率的统计数据如下表：刷题时间个单位（10分钟为1个单位）2345准确率（%）26394954根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报刷题时间为6个单位的准确率为（ ）A72.0%B67.7%C65.5%D63.6%【答案】C【分析】首先根据题意得到，代入回归直线方程得到，即，再将代入回归直线方程计算即可.【详解】，因为过点，所以，即回归直线方程为.当时，.故选：C10圆与直线相切于点，则直线的方程为ABCD【答案】D【详解】根据圆x2+y2-4x+2=0与直线l相切于点A（3，1），得到直线l过（3，1）且与过这一点的半

6、径垂直，做出过这一点的半径的斜率，再做出直线的斜率，利用点斜式写出直线的方程解：圆x2+y2-4x+2=0与直线l相切于点A（3，1），直线l过（3，1）且与过这一点的半径垂直，过（3，1）的半径的斜率是=1，直线l的斜率是-1，直线l的方程是y-1=-（x-3）即x+y-4=0故选D11已知函数是定义在上的偶函数，当时，则不等式的解集是（ ）ABCD【答案】A【分析】根据导数的方法判定函数在给定区间的单调性，再由其奇偶性，得到在区间的单调性，由奇偶性与单调性，将所求不等式化为，求解即可得出结果.【详解】因为当时，所以显然恒成立，所以在上单调递增；又函数是定义在上的偶函数，所以其在上单调递减；

7、由可得，则，整理得，解得，即原不等式的解集为.故选：A.12已知抛物线的焦点为，点为直线上的一动点，过点向抛物线作切线，切点为，以点为圆心的圆与直线相切，则该圆的面积的最大值为（ ）ABCD【答案】B【分析】可适当将图形旋转成，目的在于可以化为函数，方便利用导数的几何意义求取切线方程.再利用两切线都过点，找到，从而利用方程与函数思想，写出直线的方程，从而求出到距离最大值.【详解】不妨将抛物线逆时针旋转，变成抛物线，此时焦点坐标为，准线方程由原来的变成.设，过向抛物线作切线，切点为.不妨设即，求导有则过点抛物线的切线方程为：即，又有故又切线方程过，有，即同理有过点抛物线的切线方程为：，切线过点同

8、样满足：故直线的方程为：，故恒过定点到距离为，当，即时，到距离最大为1故面积的最大值为.回到旋转之前的图形中作答即有：当点为，此时圆的面积最大为.故选：B【点睛】求抛物线的切线方程的方法：方法一：将抛物线转化为二次函数，然后利用导数求解切线方程，这在开口朝上的抛物线中经常用到.方法二：设切线的方程，与抛物线的方程联立，采用判别式法求解二、填空题13已知，满足约束条件，则的最大值为_【答案】5【详解】略14已知，则_【答案】【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得结果【详解】因为，平方得，即，得.故答案为：.15已知两个单位向量、的夹角为，向量，则|_【答案】【分析】利用平面向

9、量数量积的运算律和定义计算出的值，进而可求得的值.【详解】根据题意，两个单位向量、的夹角为，则，则，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题三、双空题16在三棱锥中，其余三条侧棱长均为5，则三棱锥的顶点到底面的距离为_，三棱锥的外接球的半径为_.【答案】 【分析】依题意点的投影在的外心上，利用勾股定理求出，再在利用勾股定理求出外接球的半径；【详解】解：因为顶点到、的距离相等，所以点的投影在的外心上，外心为三条中垂线的交点，又，所以，所以，所以的外心为斜边的中点，过点作，交于点，所以，在中，所以所以顶点到底面的距离为，为外接球的球心，设外接球的半径为，在

10、中，由勾股定理可得，解得故答案为：；【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.四、解答题17已知等差数列的前项和为，其中， （1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设数列的公差为，根据题中条件列出方程求解，得出首项和公差，即可求出通项公式；（2）由（1）的结果，利用裂项相消的方法，即可求出结果.【详解】（1）

11、设等差数列的公差为，由题设可得：，即，所以，所以；（2）由（1）得，【点睛】结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型，其中是公差为的等差数列；（2）无理型；（3）指数型；（4）对数型.18在中，角，的对边分别是，已知，且.（1）求的值；（2）若点为边上靠近的四等分点，且，求的面积.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据题意，由，利用平面向量共线的坐标运算，得出，且，进而得出，即可求出，结合三角形的内角，即可求出的值；（2）设，由点为边靠近点的四等分点，得，由三角形内角和可算出，在中，利用余弦定理求出，从而得出和，最后利用三角形的面积公式即可求出的面积.【详解】解：（1）由题可知，

12、且，即，又，即，若，则，与矛盾，又为的内角，的值为.（2）设，由点为边靠近点的四等分点，得，由（1）得，且已知，则，在中，根据余弦定理：，得，解得：，的面积为.【点睛】本题考查平面向量共线的坐标运算和三角形的面积，通过余弦定理解三角形以及两角和与差的正弦公式的应用，考查化简运算能力.19已知四边形是边长为的正方形，是正三角形，平面平面（1）若为中点，证明：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可证结论成立；（2）根据以及棱锥的体积公式可求得结果.【详解】（1）为正三角形，且为中点，平面平面，平面，平面平面平面.（2）正方形边长为，为正

13、三角形，由（1）知，平面，.所以三棱锥的体积为.【点睛】关键点点睛：利用面面垂直的性质定理求解是解题关键.202020年3月20日，中共中央、国务院印发了关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见（以下简称意见），意见中确定了劳动教育内容要求，要求普通高中要注重围绕丰富职业体验，开展服务性劳动、参加生产劳动，使学生熟练掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，具有劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀我市某中学鼓励学生暑假期间多参加社会公益劳动，在实践中让学生利用所学知识技能，服务他人和社会，强化社会责任感，为了调查学生参加公益劳动的情况，学校从全体学生中随机抽取100名学生，经统计得到他们参加公

14、益劳动的总时间均在1565小时内，其数据分组依次为：，得到频率分布直方图如图所示，其中（1）求，的值，估计这100名学生参加公益劳动的总时间的平均数（同一组中的每一个数据可用该组区间的中点值代替）；（2）学校要在参加公益劳动总时间在、这两组的学生中用分层抽样的方法选取5人进行感受交流，再从这5人中随机抽取2人进行感受分享，求这2人来自不同组的概率【答案】（1），；平均数为40.2；（2）【分析】（1）根据矩形面积和为1，求的值，再根据频率分布直方图求平均数；（2）首先利用分层抽样，在中抽取3人，在中抽取2人，再编号，列举基本事件，求概率，或者利用组合公式，求古典概型概率.【详解】（1）依题意，

15、故又因为，所以，所求平均数为（小时）所以估计这100名学生参加公益劳动的总时间的平均数为40.2（2）由频率分布直方图可知，参加公益劳动总时间在和的学生比例为又由分层抽样的方法从参加公益劳动总时间在和的学生中随机抽取5人，则在中抽取3人，分别记为，在中抽取2人，分别记为，则从5人中随机抽取2人的基本事件有，这2人来自不同组的基本事件有：，共6个，所以所求的概率解法二：由频率分布直方图可知，参加公益劳动总时间在和的学生比例为又由分层抽样的方法从参加公益劳动总时间在和的学生中随机抽取5人，则在中抽取3人，在中抽取2人，则从5人中随机抽取2人的基本事件总数为这2人来自不同组的基本事件数为所以所求的概

16、率21已知椭圆的离心率为，分别是椭圆的左右焦点，是椭圆上一点，且的周长是6，.（1）求椭圆的方程；（2）设直线经过椭圆的左焦点且与椭圆交于不同的两点，求证：直线与直线的斜率的和为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由椭圆的定义可得的周长为，再由离心率，即可求出、，最后根据求出，即可得解；（2）设，当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，计算可得；【详解】解：（1）由椭圆的定义知的周长为，所以又因为椭圆的离心率，所以，联立解得，所以因此所求的椭圆方程为（2）设当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立消去得则因为所以为定值，这个定值为当直线与轴垂直时

17、，也有所以，直线与直线的斜率的和为定值0【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题22已知函数.（1）若在处取得极值，求的值；（2）若有两个不同的零点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出导函数，把代入可得a，再检验即可；（2）求出导函数，讨论a的取值范围，判断函数的单调性求出极值，结合函数的图象可得答案.【详解】（1），处取得极值，即，经检验，当时，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，即在处

18、取得极小值，符合题意.（2）由（1）知，当时，在上为减函数，在上为增函数，且，令，则，令，则，所以函数存在两个零点；当时，函数只有一个零点，不符合题意；当时，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，因为，即极大值小于零，所以不可能存在两个零点，不符合题意；当时，在上单调递增，不符合题意；当时，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，因为，即极大值小于零，所以不可能存在两个零点，不符合题意.综上所述：.【点睛】本题考查利用导数解决函数零点个数的求参数的问题，解决零点问题的关键一方面是利用零点存在性定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用导数研究函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可，考查了分析问题、解决问题的能力