2021届广东省肇庆市2021届高三第二次统一测试(二模)数学试题-(解析版).doc

1、2021年广东省肇庆市高考数学第二次检测试卷（二模）一、选择题（每题5分）.1图中阴影部分所对应的集合是 （）A（AB）（UB）BU（AB）C（U（AB）（AB）D（U（AB）（AB）2在复平面内，复数（i为虚数单位），则z对应的点的坐标为（）A（3，4）B（4，3）C（，）D（，）3已知函数f（x）为奇函数，则a（）A1BCD14牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高明代曹昭在格古要论珍奇鬼工毬中写道：“尝有象牙圆毬儿一箇，中直通一窍，内车数重，皆可转动，故谓之鬼工毬”现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为100cm2和64cm2的同心球（球壁的厚度忽略不

2、计），在外球表面上有一点A，在内球表面上有一点B，连接线段AB若线段AB不穿过小球内部，则线段AB长度的最大值是（）AcmB9cmC3cmD2cm5二项式（ax2）6的展开式的常数项为60，则a的值为（）A2B2C2D36曲线f（x）lnx在（1，f（1）处的切线方程为（）A2xy30B2xy10C2x+y30D2x+y107已知角的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与以O为圆心的单位圆相交于A点若A的横坐标为，则（）AsinBcos2Csin2Dtan28已知F1，F2分别为双曲线C：1（a00）的左、右焦点，O为坐标原点，在双曲线C上存在点M，使得2|OM|F1F2|

3、设F1MF2的面积为S若16S（|MF1|+|MF2|）2，则该双曲线的离心率为（）ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题绐出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将所得数据分成6组：90，91），91，92），92，93），93，94），94，95），95，96，得到如图所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中正确的是（）Ab0.25B长度落在区间93，94）内的个数为35C长度的众数一定落在区间93，94）内D长度的中位数

4、一定落在区间93，94）内10函数f（x）Asin（x+）（A0）的部分图象如图所示，则f（x）（）A2sin（2x+）B2sin（2x）C2cos（2x）D2cos（x）11已知两种不同型号的电子元件（分别记为X，Y）的使用寿命均服从正态分布，XN（1，12），YN（2，22），这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中正确的是（）参考数据：若ZN（，2），则P（Z+）0.6827，P（2Z+2）0.9545AP（11X1+21）0.8186BP（Y2）P（Y1）CP（X2）P（X1）D对于任意的正数t，有P（Xt）P（Yt）12在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，P是线

5、段BC1上的一动点，则下列说法中正确的（）AA1P平面AD1CBA1P与平面BCC1B1所成角的正切值的最大值是CA1P+PC的最小值为D以A为球心，为半径的球面与侧面DCC1D1的交线长是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13写出一个与向量（2，1）共线的向量： 14设函数f（x），若f（f（）4，则a 15已知点P是抛物线x28y上的一个动点，则点P到点A（2，0）的距离与到抛物线的准线的距离之和的最小值为 16斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，在实际生活中，很多

6、花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用斐波那契数列an满足：a1a21，an+2an+1+an（nN*），则1+a3+a5+a7+a9+a2021是斐波那契数列an中的第 项四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a（sinAsinB）+bsinBcsinC（1）求角C；（2）若c3，a+b6，求ABC的面积18已知数列an的前n项和为Sn，a1，Sn+1（2Sn）1（1）求证：是等差数列；（2）求数列中最接近2020的数19为落

7、实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束假设每局比赛小明获胜的概率都是（1）求比赛结束时恰好打了7局的概率；（2）若现在是小明以6：2的比分领先，记X表示结束比赛还需打的局数，求X的分布列及期望20如图，在四边形PDCB中，PDBC，BAPD，PAABBC1，AD沿BA将PAB翻折到SBA的位置，使得SD（1）作出平面SCD与平面SBA的交线l，并证明l平面CSB；（2）点Q是棱SC上异于S，C的一点，连接QD，当二面角QBDC的余弦值为

8、时，求此时三棱锥QBCD的体积21已知椭圆C1：1（ab0）的离心率为，C1的长轴是圆C2：x2+y22的直径（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆C1的左焦点F作两条相互垂直的直线l1，l2，其中l1交椭圆C1于P，Q两点，l2交圆C2于M，N两点，求四边形PMQN面积的最小值22已知函数f（x）x2a（xlnxx）+（a+1）lnx（1）当a2时，讨论yf（x）的单调性；（2）设yf（x）是函数f（x）的导函数，讨论函数yf（x）在1，e上的零点个数参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1图中阴影部分所对应的集合是 （）A

9、（AB）（UB）BU（AB）C（U（AB）（AB）D（U（AB）（AB）解：阴影部分在集合A中或在集合B中，但不在AB中即在AB补集中，故阴影部分表示的集合是U（AB）（AB），故选：C2在复平面内，复数（i为虚数单位），则z对应的点的坐标为（）A（3，4）B（4，3）C（，）D（，）解：因为，所以z，对应的点（）故选：D3已知函数f（x）为奇函数，则a（）A1BCD1解：根据题意，函数f（x）为奇函数，则f（x）f（x），即，变形可得：（a1）x0，必有a1，故选：D4牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高明代曹昭在格古要论珍奇鬼工毬中写道：“尝有象牙圆毬儿一箇

10、，中直通一窍，内车数重，皆可转动，故谓之鬼工毬”现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为100cm2和64cm2的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外球表面上有一点A，在内球表面上有一点B，连接线段AB若线段AB不穿过小球内部，则线段AB长度的最大值是（）AcmB9cmC3cmD2cm解：过球心作截面圆如图，外层与内层的表面积分别为100cm2和64cm2，大球与小球的半径分别为5与4，则|AB|的最大值为cm故选：C5二项式（ax2）6的展开式的常数项为60，则a的值为（）A2B2C2D3解：二项式（ax2）6的展开式的通项公式为 Tr+1（1）ra6rx12r，令123r0，求得r4，可

11、得常数项为a260，则a2，故选：C6曲线f（x）lnx在（1，f（1）处的切线方程为（）A2xy30B2xy10C2x+y30D2x+y10解：由f（x）lnx，得f（x），所以f（1）2，f（1）1，所以曲线f（x）lnx在（1，f（1）处的切线方程为y+12（x1），即2xy30故选：A7已知角的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与以O为圆心的单位圆相交于A点若A的横坐标为，则（）AsinBcos2Csin2Dtan2解：由三角函数的定义可知cos，sin，故A错误；则cos22cos21，故B正确；sin22sincos，故C错误；tan2故D错误故选：B8已知F

12、1，F2分别为双曲线C：1（a00）的左、右焦点，O为坐标原点，在双曲线C上存在点M，使得2|OM|F1F2|设F1MF2的面积为S若16S（|MF1|+|MF2|）2，则该双曲线的离心率为（）ABCD解：由2|OM|F1F2|可得F1AF2，设|MF1|m，|MF2|n，由16S（|MF1|+|MF2|）2可得：8mn（m+n）2（mn）2+4mn4a2+4mn，所以mna2，又因为m2+n24c2，即（mn）2+2mn4c2，所以4a2+2a24c2，可得离心率e，故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题绐出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的

13、得2分，有选错的得0分。9某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将所得数据分成6组：90，91），91，92），92，93），93，94），94，95），95，96，得到如图所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中正确的是（）Ab0.25B长度落在区间93，94）内的个数为35C长度的众数一定落在区间93，94）内D长度的中位数一定落在区间93，94）内解：对于A：由频率之和为1，得（0.35+b+0.15+0.12+0.05）11，解得b0.25，所以选项A正确，对于选项B：长度落在区间93，94）内的个数为1000.3535，所以

14、选项B正确，对于选项C：对这100件产品，长度的众数不一定落在区间93，94）内，所以选项C错误，对于选项D：对这100件产品，因为0.1+0.1+0.250.5，而0.1+0.1+0.25+0.350.5，所以长度的中位数一定落在区间93，94）内，所以选项D正确，故选：ABD10函数f（x）Asin（x+）（A0）的部分图象如图所示，则f（x）（）A2sin（2x+）B2sin（2x）C2cos（2x）D2cos（x）解：由函数f（x）Asin（x+）（A0）的部分图象知，A2，设f（x）的最小正周期为T，则T（），解得T，所以2，将最低点的坐标（，2）代入f（x）2sin（2x+）中，得

15、2sin（2+）2，所以+2k，kZ，解得2k，kZ，所以f（x）2sin（2x+2k），k0，即f（x）2sin（2x）2sin（2x）2cos（2x）2cos（2x）故选：BC11已知两种不同型号的电子元件（分别记为X，Y）的使用寿命均服从正态分布，XN（1，12），YN（2，22），这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中正确的是（）参考数据：若ZN（，2），则P（Z+）0.6827，P（2Z+2）0.9545AP（11X1+21）0.8186BP（Y2）P（Y1）CP（X2）P（X1）D对于任意的正数t，有P（Xt）P（Yt）解：对于A，P（11X1+21）（0.6827+0.9545

16、）0.8186，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线，可知12，则P（Y2）P（Y1），故B正确；对于C，由正态分布密度曲线，可知12，则P（X2）P（X1），故C错误；对于D，对于任意的正数t，有P（Xt）P（Yt），故D正确故选：ABD12在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，P是线段BC1上的一动点，则下列说法中正确的（）AA1P平面AD1CBA1P与平面BCC1B1所成角的正切值的最大值是CA1P+PC的最小值为D以A为球心，为半径的球面与侧面DCC1D1的交线长是解：对于A，由于平面A1BC1平面AD1C，所以A1P平面AD1C，所以A正确；对于B，当B1PBC1

17、时，A1P与BCC1B1所成角的正切值最大，最大值是，所以B正确；对于C，将A1C1B沿BC1翻折与BCC1在同一个平面，且点A1，C在直线BC1的异侧，此时cosA1C1C，此时A1C，所以A1P+PC的最小值为，所以C正确；对于D，由于AD平面DCC1D1，所以交线为以D为圆心，半径为1的四分之一圆周，所以交线长为，所以D正确故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13写出一个与向量（2，1）共线的向量：（4，2）解：与向量（2，1）共线的向量可以表示为（2，1）（2，），R，2时，（4，2）故答案为：（4，2）（答案不唯一，写出其中一个即可）14设函数f（x），若f（

18、f（）4，则a解：根据题意，函数f（x），则f（）2aa，当a1，即a，则f（f（）f（a）2（a）a13a4，解可得：a1，不符合题意，当a1，即a，则f（f（）f（a）4，解可得：a，符合题意，综合可得：a，故答案为：15已知点P是抛物线x28y上的一个动点，则点P到点A（2，0）的距离与到抛物线的准线的距离之和的最小值为2解：设点P在抛物线的准线的投影为点M，抛物线的焦点F的坐标为（0，2），由抛物线的定义可知点P到抛物线的准线的距离为|PM|PF|，则点P到点A（2，0）的距离与到准线的距离之和为d|PA|+|PF|AF|，当且仅当点P，A，F三点共线时取等号，故答案为：216斐波那契

19、数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用斐波那契数列an满足：a1a21，an+2an+1+an（nN*），则1+a3+a5+a7+a9+a2021是斐波那契数列an中的第2022项解：依题意，得1+a3+a5+a7+a9+a2021a2+a3+a5+a7+a9+a2021a4+a5+a7+a9+a2021a6+a7+a9+a2021a2020+a2021a2022，

20、故答案为：2022四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a（sinAsinB）+bsinBcsinC（1）求角C；（2）若c3，a+b6，求ABC的面积解：（1）由正弦定理知，a（sinAsinB）+bsinBcsinC，a（ab）+b2c2，即a2+b2c2ab，由余弦定理知，cosC，C（0，），C（2）由（1）知，a2+b2c2ab，即（a+b）22abc2ab，c3，a+b6，3693ab，解得ab9，ab3，ABC的面积SabsinC33sin18已知数列an的前n项和为Sn，a1，Sn+1

21、（2Sn）1（1）求证：是等差数列；（2）求数列中最接近2020的数【解答】（1）证明：2，由Sn+1（2Sn）1，得Sn+1，因为1，所以是以2为首项，1为公差的等差数列（2）解：由（1）得2+（n1）（1）（n+1），即Sn，则anSnSn1（n2），当n1时，an也成立，所以an（nN*），则n（n+1），当n44时，44451980；当n45时，45462070，所以数列中最接近2020的数是198019为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10

22、分就获胜，比赛结束假设每局比赛小明获胜的概率都是（1）求比赛结束时恰好打了7局的概率；（2）若现在是小明以6：2的比分领先，记X表示结束比赛还需打的局数，求X的分布列及期望解：（1）恰好打了7局小明获胜的概率是P1，恰好打了7局小亮获胜的概率为P2，比赛结束时恰好打了7局的概率为PP1+P2，（2）X的可能取值为2，3，4，5，P（X2），P（X3），P（X4）+，P（X5），X的分布列如下：X2345P E（X）2+4+520如图，在四边形PDCB中，PDBC，BAPD，PAABBC1，AD沿BA将PAB翻折到SBA的位置，使得SD（1）作出平面SCD与平面SBA的交线l，并证明l平面CSB

23、；（2）点Q是棱SC上异于S，C的一点，连接QD，当二面角QBDC的余弦值为时，求此时三棱锥QBCD的体积解：（1）如图，延长BA，CD相交于E，连接SE，则SE为平面SCD与平面SBA的交线l.证明：在SAD中，SA1，AD，SD，则SA2+AD2SD2，SAAD，由SAAD，ADAB，SAABA，得AD平面SAB，又BCAD，BC平面SAB，则BCSE，由PDBC，ABBC1，AD，得AE1，AEABSA，可得SESB，又BCSBB，SE平面CSB，即l平面CSB；（2）由（1）知，SAAB，ADAB，ADSA以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系

24、，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（，0，0），S（0，0，1），设（01），则Q（，1），设是平面QBD的一个法向量，则，取x2，可得，是平面CBD的一个法向量，由|cos|，解得，点Q是SC的中点，21已知椭圆C1：1（ab0）的离心率为，C1的长轴是圆C2：x2+y22的直径（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆C1的左焦点F作两条相互垂直的直线l1，l2，其中l1交椭圆C1于P，Q两点，l2交圆C2于M，N两点，求四边形PMQN面积的最小值解：（1）由2a2，得a，由e，得c1，所以b1，所以椭圆的方程为+y21（2）由（1）可得F（1，0），当过点F的直线l1

25、的斜率不存在时，|MN|2，|PQ|，所以S四边形PMQN|MN|PQ|22，当过点F的直线l1的斜率为0时，|MN|2，|PQ|2，这是S四边形PMQN|MN|PQ|222，当过点F的直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程为xmy1，P（x1，y1），Q（x2，y2），由，得（2+m2）y22my10，所以y1+y2，y1y2，|PQ|，所以S四边形PMQN|MN|PQ|22，直线l2的方程为mx+y+m0，坐标原点O到直线l2的距离d，则|MN|22，所以S四边形PMQN|MN|PQ|22，由2+m22，得22，即S四边形PMQN（2，2），综上所述，四边形PMQN的面积的最小值为

26、222已知函数f（x）x2a（xlnxx）+（a+1）lnx（1）当a2时，讨论yf（x）的单调性；（2）设yf（x）是函数f（x）的导函数，讨论函数yf（x）在1，e上的零点个数解：（1）f（x）的定义域为（0，+），f（x）xalnx+，令h（x）f（x）xalnx+，则h（x），当a2时，h（x），令h（x）0，解得x3，所以函数h（x）在（0，3）上单调递减，在（3，+）上单调递增，且h（3）42ln30，所以f（x）0在（0，+）上恒成立，所以函数f（x）在（0，+）上单调递增（2）当ae1，即a+1e时，当x（1，e）时，h（x）0，故h（x）在（1，e）上单调递减，h（1）2+a

27、0，h（e）e+aa（1）+e+，当h（e）0，即a（1）+e+0，即a时，h（x）0在1，e上恒成立，所以e1a时，h（x）在1，e上无零点，当h（e）0，即a（1）+e+0，即a时，h（1）h（e）0，由零点存在性定理可知，此时h（x）在1，e上有零点，又因为函数h（x）在1，e上单调递减，所以此时h（x）在1，e上有一个零点当a0，即a+11时，当x（1，e）时，h（x）0，所以h（x）在（1，e）上单调递增，h（1）2+a，h（e）a（1）+e+0，当h（1）2+a0，即a2时，h（1）h（e）0，由零点存在性定理，知此时h（x）在1，e上有零点，因为h（x）在1，e上单调递增，故h（

28、x）在1，e上仅有1个两点当2a0时，h（x）minh（1）0，此时h（x）在1，e上无零点当0ae1，即1a+1e时，当x（1，a+1）时，h（x）0，当x（a+1，e）时，h（x）0，则函数h（x）在（1，a+1）上单调递减，在（a+1，e）上单调递增，故h（x）minh（a+1）a+2aln（a+1）令g（a）h（a+1）a+2aln（a+1），则g（a）ln（a+1），所以g（a）在（0，e1上单调递减，且g（0）10，g（e1）10，所以g（a）在（0，e1上先增后减，又g（0）g（e1）2，所以h（x）minh（a+1）2，故h（x）0，此时h（x）在1，e上无零点综上所述，当a2或a时，yf（x）在1，e上有1个零点；当2a时，yf（x）在1，e上无零点