23离散型随机变量的均值与方差课件.ppt

1、2.3离散型随机变量离散型随机变量的均值和方差的均值和方差高二数学高二数学 选修选修2-31 1、离散型随机变量的分布列、离散型随机变量的分布列 XP1xix2x1p2pip2 2、离散型随机变量分布列的性质：、离散型随机变量分布列的性质：(1)pi0，i1，2，；(2)p1p2pi1复习引入复习引入 对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学

2、测验中的总体水平，如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。则需要考察这个班数学成绩的方差。我们还常常希望我们还常常希望直接通过数字直接通过数字来反映随机变量的某来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有个方面的特征，最常用的有期望与方差期望与方差.1、某人射击、某人射击10次，所得环数分别是：次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；（1）设他所得环数为）设他所得环数为X,求求X的分布列的分布列 (2)求他所得的平均环数是多少？

3、求他所得的平均环数是多少？2104332221111)2(X（1）环数为）环数为X的可能所取的值为什么，的可能所取的值为什么，1，2，3，4，其分布列，其分布列X1234P10410310210121014102310321041 X权数权数加权平均加权平均1、某人射击、某人射击10次，所得环数分别是：次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；（1）设他所得环数为）设他所得环数为X,求求X的分布列的分布列 (2)求他所得的平均环数是多少？求他所得的平均环数是多少？一、离散型随机变量取值的平均值一、离散型随机变量取值的平均值一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X的概

4、率分布为：的概率分布为：nniipxpxpxpxEX 2211则称则称为随机变量为随机变量X的均值或数学期望。的均值或数学期望。它反映了离它反映了离散型随机变量取值的平均水平。散型随机变量取值的平均水平。P1xix2x1p2pipnxnpX1 1、随机变量、随机变量的分布列是的分布列是135P0.50.30.2(1)则则E=.2、随机变量、随机变量的分布列是的分布列是2.447910P0.3ab0.2E=7.5,则则a=b=.0.40.1则则 P(Y)=P(aX+b)=P(X=xi)=pi,i=1,2,3,pn p2 p1 P axn+b ax2+b ax1+b Y(2)E(Y)=(ax1+b

5、)p1+(ax2+b)p2+(axn+b)pn若若Y=aX+b，其中，其中a,b为常数，为常数，X为随机变量为随机变量;(1)写出随机变量写出随机变量Y的分布列；的分布列；(2)求求Y的均值。的均值。解解:(1)由题意由题意,知知Y也为随机变量也为随机变量,所以，所以，Y的分布列为：的分布列为：=a(x1p1+x2p2+xnpn)+b(p1+p2+pn)=aE(X)+b即即 E(aX+b)=aE(X)+b7.03.007.01 3.0)0(,7.0)1(XPXP)0(0)1(1 XPXPEX若若X B(n,p)若若X服从二项分布，则服从二项分布，则 E(X)=nP。得得则由则由,11CCknk

6、nnk knknkknqpkXEC 0)()1(11111 knknkknqpnpCknknkknqpnpC 1101np 归纳求离散型随机变量的均值归纳求离散型随机变量的均值(期望期望)的步骤的步骤：、确定离散型随机变量可能的取值。、确定离散型随机变量可能的取值。、写出分布列，并检查分布列的正确与否。、写出分布列，并检查分布列的正确与否。、求出均值、求出均值(期望期望)。1：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1，X2分布列如下：分布列如下：从以数据你能否说明谁的射击水平高？从以数据你能否说明谁的射击水平高？X18910P0.20.60.2X2

7、8910P0.40.20.4解解9,921 EXEX表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，平均得分差别不会很大，2.2.有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1 1，你赢，你赢1010元；出现元；出现2 2或或3 3或或4 4，你输，你输3 3元；出现元；出现5 5或或6 6，不输不赢这，不输不赢这场场赌博赌博对你是否有利对你是否有利?11111030.6236E 对你不利对你不利!劝君莫参加赌博劝君莫参加赌博.X10-30P6121313、某商场要将单价分别为、某商场要将单价分别

8、为18元元/kg，24元元/kg，36元元/kg的的3种糖果按种糖果按3：2：1的比例混合销售，的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？如何对混合糖果定价才合理？X182436P解：把解：把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：636261)/(23613631242118kgX元元 不一定不一定,其含义是在多次类似的测试中其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是他的平均成绩大约是9090分分例例2 2.一次单元测验由一次单元测验由2020个选择题构成个选择题构成,每个选择题有每个选择题有4 4个选项个选项,其其中有且仅有一个选项正确中有且仅有一

9、个选项正确,每题选对得每题选对得5 5分分,不选或选错不得分不选或选错不得分,满满分分100100分分.学生甲选对任一题的概率为学生甲选对任一题的概率为0.9,0.9,学生乙则在测验中对每学生乙则在测验中对每题都从题都从4 4个选项中随机地选择一个个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次测验求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值中的成绩的均值.解解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个数分别是个数分别是和和,则则 B(20B(20,0.9)0.9),B(20B(20,0.25)0.25)，所以所以EE20200.90.91818，E

10、E20200.250.255 5 由于答对每题得由于答对每题得5 5分，学生甲和学生乙在这次测验分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是中的成绩分别是55和和5.5.这样，他们在测验中的成绩这样，他们在测验中的成绩的期望分别是的期望分别是E(5)E(5)5E5E5 518189090，E(5)E(5)5E5E5 55 52525思考思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是学生甲在这次测试中的成绩一定会是9090分吗分吗?他的他的均值为均值为9090分的含义是什么分的含义是什么?，无无大大洪洪水水，有有大大洪洪水水2000620002X ，无无洪洪水水，有有小小洪洪水水；有有大大洪洪水水；010

11、000,600003X1口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，以表示取出球的最大号码，则E值的是()A4B4.5 C4.75 D53若随机变量B(n,0.6)，且E3，则P(1)的值是()A20.44 B20.45 C30.44 D30.64BAC4已知X的概率分布如下，E(X)7.5，则a_.X4a910P0.30.1b0.274Ck5若随机变量X的分布列是P(xk)0.1k0.94k，k0,1，2,3,4.则EX_.0.4离散型随机变量的均值的理解(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均(2)E(X)是一个实数，是由X的概率分布唯一确定的，它描述X取值的平均

12、状态(3)变量YaXb的均值E(aXb)aE(X)b说明随机变量X的线性函数YaXb的均值(或数学期望)等于随机变量X的均值(或数学期望)的线性函数，此式可有以下几种特殊形式：三维目标三维目标:1.通过实例理解离散型随机变量方差的概念，能计算简单通过实例理解离散型随机变量方差的概念，能计算简单离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 2.理解离散型随机变量方差的性质并掌握两点分布、二项理解离散型随机变量方差的性质并掌握两点分布、二项分布的方差分布的方差 3.会利用离散型随机变量的方差会利用离散型随机变量的方差，反映离散型随机变量，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题取值水平，解决

13、一些相关的实际问题.教学重难点教学重难点：重点：重点：离散型随机变量方差的概念与计算方法离散型随机变量方差的概念与计算方法难点：离散型随机变量方差的性质及应用题难点：离散型随机变量方差的性质及应用题教学时间：教学时间：2012年年5月月7日第十四周星期一日第十四周星期一课题：课题：离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差温故而知新温故而知新1、离散型随机变量、离散型随机变量 X 的的均值均值（数学期望）（数学期望）1niiiEXx p2、均值的性质、均值的性质()E aXbaEXb3、两种特殊分布的均值、两种特殊分布的均值（1）若随机变量若随机变量X服从两点分布，则服从两点分布，则EXp（2）

14、若若 ，则，则(,)XB n pEXnp反映了离散型随机变量取值的反映了离散型随机变量取值的平均水平平均水平.要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数 的分布列为的分布列为1X1XP56789100.030.090.200.310.270.10第二名同学击中目标靶的环数第二名同学击中目标靶的环数 的分布列为的分布列为2X2XP567890.010.050.200.410.33请问应该派哪名同学参赛？请问应该派哪名同学参赛？1,EX 2EX 88发现两

15、个均值发现两个均值相等相等因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.探究探究（1）分别画出分别画出 的分布列图的分布列图.12,XXO5 6 71098P1X0.10.20.30.40.5O5 6 798P2X0.10.20.30.40.5（2）比较两个分布列图形，哪一名同学的成绩更稳定？比较两个分布列图形，哪一名同学的成绩更稳定？除平均中靶环数以外，还有其他刻画两名同学各自除平均中靶环数以外，还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗？射击特点的指标吗？第二名同学的成绩更稳定第二名同学的成绩更稳定.怎样刻画随机变量的稳定性？怎样刻画随机变量的稳定性？

16、一组一组数据的方差：数据的方差：方差反映了这组方差反映了这组数据的波动情况数据的波动情况 在一在一组组数：数：x1 1,x2 2,xn 中，各数据的平均数为中，各数据的平均数为 ，则这组数据的方差为：则这组数据的方差为：x2222121()()()nSxxxxxxn 类似于这个概念类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差我们可以定义随机变量的方差.新课新课 离散型离散型随机变量取值的方差和标准差随机变量取值的方差和标准差:22211()()()iinnDxEpxEpxEp 则称则称为为随机变量随机变量 的方差的方差.21()niiixEp 一般地一般地,若离散型随机变量若离散型随机变量 的概

17、率分布列为：的概率分布列为：P1xix2x1p2pipnxnp 称称D 为为随机变量随机变量 的标准差的标准差.定义定义 注意：注意：它们都是反映离散型随机变量偏离于均值它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量的平均程度的量,它们的值越它们的值越小小,则随机变量偏离于则随机变量偏离于均值的平均程度越小均值的平均程度越小,即越即越集中集中于均值于均值,稳定性越稳定性越大大 练习练习 1、请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差、请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差.1XP56789100.030.090.200.310.270.102XP567890.010.050.200

18、.410.33102115(8)()iD XiP Xi92225(8)()iD XiP Xi因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于成绩稳定性较好，稳定于8环左右环左右.如果其他班级参赛选手的射击成绩都在如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班环左右，本班应该派哪一名选手参赛？如果其他班级参赛选手的成绩应该派哪一名选手参赛？如果其他班级参赛选手的成绩在在7环左右，又应该派哪一名选手参赛？环左右，又应该派哪一名选手参赛？1.50,0.82随机变量随机变量X的方的方差与差与X可能取值可能取值的方差相同吗的

19、方差相同吗X的分布列可能取值可能取值的方差为的方差为XX8912P61263696112629638 EX261)912(62)99(63)98(222 DX310)912()99()98(31222 DX随机变量随机变量X的方差的方差与与X可能取值的方可能取值的方差差何时相等何时相等X的分布列X8912P3131313293112319318 EX31)32912(31)3299(31)3298(222 DX可能取值可能取值的方差为的方差为X)32912()3299()3298(31222 DX随机变量的方差与样本的随机变量的方差与样本的方差有何区别和联系方差有何区别和联系课本课本P66 随

20、机变量的方差是常数随机变量的方差是常数,样本的方差是随机变量样本的方差是随机变量;对于简单随机样本对于简单随机样本,随着样本容量的增加随着样本容量的增加,样本平均样本平均值越来越接近于总体方差，值越来越接近于总体方差，因此常用样本方差来估计总体因此常用样本方差来估计总体方差方差样本样本离散型随机变量离散型随机变量均均值值公公式式意意义义方方差差或或标标准准差差公公式式意意义义n ni ii i=1 11 1x x=x xn nipn niiii=1 1E E(X X)=x x随着不同样本值随着不同样本值的变化而变化的变化而变化是一个常数是一个常数随着不同样本值的随着不同样本值的变化而变化，变化

21、而变化，反映反映数据数据偏离平均数的偏离平均数的平均程度平均程度，方差越，方差越小，偏离程度越小小，偏离程度越小.n1 1i i2 2i i2 2)x x(x(xn n1 1s s)()2 2i ii i 1 1D D(x x)nXE Xiip p是一个常数，是一个常数，反映随反映随变量取值变量取值偏离均值的偏离均值的平均程度平均程度，方差越小，方差越小，偏离程度越小偏离程度越小.1.已知随机变量已知随机变量X的分布列的分布列X01P0.30.7求求DX.解：解：2.若随机变量若随机变量X 满足满足P（Xc）1，其中，其中c为常数，为常数，求求EX 和和 DX.EXc1cDX（cc）210 练

22、习练习 7.0 EX21.07.03.07.0)7.01(3.0)7.00(22 DX小结：小结：(1)若若 X 服从两点分布，则服从两点分布，则(1)D Xpp（2）若若 ，则，则(,)XB n p(1)D Xnpp解：解：结论结论1：则则 ;,ab若若EaEb结论结论2：若：若B(n，p)，则，则E=np.可以证明可以证明,对于方差有下面三个重要性质：对于方差有下面三个重要性质：2()D aba D 结论结论 结论结论2：若：若服从两点分布，则服从两点分布，则 E=np.（2）若）若 X 服从两点分布，则服从两点分布，则(1)D Xpp（3）若若 ，则，则(,)XB n p(1)D Xnp

23、p例如：已知某离散型随机变量的分布列如下，则a_，数学均值(期望)E_，方差D_.2.一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么DX_.3一般地：随机变量与随机变量满足关系ab，其中a，b为常数，则D_.012Pa0.20.4n6p0.40.410.8p(1p)a2D4若B(n，p)，则D_.例如：设B(n，p)，且E2.4，D1.44，求n，p.np(1p)例题例题 例例1随机抛掷一枚质地均匀的骰子随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点求向上一面的点数数X X的均值、方差和标准差的均值、方差和标准差.课本课本P66例例4解：抛掷骰子所得点数解：抛掷骰子所得点数X X 的分布列为的分布列为1

24、61616161616P6 65 54 43 32 21 1X1111111234563.5666666E X 2222221111(1 3.5)(23.5)(33.5)(43.5)666611(53.5)(63.5)2.9266D X 从而从而1.71DX 1已知随机变量的分布列为：P(k)，k1,2,3，则D(35)()A6 B9 C3 D4132设B(n，p)，且E12，D4，则n与p的值分别为()AC4设随机变量XB(n，p)，且EX1.6，DX1.28，则()An8，p0.2 Bn4，p0.4Cn5，p0.32 Dn7，p0.45A3.已知3 ，且D13，那么D的值为()A39 B1

25、17 C39 D117 解析：DD(3 )9D913117.答案：B5已知离散型随机变量X的分布列如下表若EX0，DX1，则a_，b_.题型四题型四 期望与方差的综合应用期望与方差的综合应用【例4】(14分)（2008广东）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位：万元）为.(1)求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%,一等品率提高为70%,如果此时

26、要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？分析 求的分布列时，要先求取各值时的概率.解 （1）的所有可能取值有6,2,1,-21P(=6)=0.63,.2P(=2)=0.25,.3P(=1)=0.1,4P(=-2)=.5故的分布列为 71260.63200500.25200200.120040.02200621-2p0.630.250.10.02(2)E()=60.63+20.25+10.1+（-2）0.02=4.34.9(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为E()=60.7+2(1-0.7-0.01-x)+1x+(-2)0.01=4.76-x(0 x0.29).12依题意，E()4.73,即4.76-x4.73,解得x0.0313所以三等品率最多为3%.14