高考数学试题中数学建模的考查趋势分析及其教学建议课件.ppt

1、 高考数学试题中数学建模的考查高考数学试题中数学建模的考查趋势分析及其教学建议趋势分析及其教学建议专题讲座：专题讲座：高考试题中数学建模的考查趋势分析及其教学建议高考试题中数学建模的考查趋势分析及其教学建议一、数学建模素养的意义一、数学建模素养的意义二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透三、高考试题中数学建模的考查趋势分析三、高考试题中数学建模的考查趋势分析四、对教学的建议四、对教学的建议一、数学建模素养的意义一、数学建模素养的意义（一）（一）数学建模的内涵数学建模的内涵（二）（二）数学建模的价值数学建模的价值（三）（三）数学建模的目标数学建模的目标（四）（四）数学建

2、模能力的构成数学建模能力的构成一、数学建模素养的意义一、数学建模素养的意义 数学建模是通过对实际问题的简化和抽象后，用数学原理建立模型，用数学方法解决问题，再回到实际情境中解释、验证所得结果的数学活动过程。它主要包括分析抽象、建立模型、求解模型和验证修改四个阶段。其过程大致可用下图表示:实际问题实际问题分析抽象分析抽象建立模型建立模型求解模型求解模型验证修改验证修改（一）（一）数学建模的内涵数学建模的内涵一、数学建模素养的意义一、数学建模素养的意义 数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，是推动数学发展的外部驱动力。（二）（二）数学建

3、模的价值数学建模的价值一、数学建模素养的意义一、数学建模素养的意义 通过数学建模核心素养的培养，学生能够掌握数学建模的过程，积累用数学的语言表达实际问题的经验，提升应用能力和创新意识。（三）（三）数学建模的目标数学建模的目标一、数学建模素养的意义一、数学建模素养的意义1、阅读理解能力2、抽象概括能力3、符号表示能力4、模型选择能力5、数学运算能力（四）（四）数学建模能力的构成数学建模能力的构成一、数学建模素养的意义一、数学建模素养的意义1 1、阅读理解能力。、阅读理解能力。阅读理解能力是学生按照一定思路、步骤感知实际问题的信息，在对信息分析和思考后，获得对问题感性认识的能力。阅读理解能力较好的

4、学生，读得准、读得快、理解快、理解深，这是数学建模的前提。如，1999年上海高考卷第22题的问题情境是冷轧钢板的过程，题中出现了“减薄率”这一专门术语，并给出了即时定义。能否深刻理解该定义，取决于学生阅读理解能力，这将直接影响该问题的数学建模。一、数学建模素养的意义一、数学建模素养的意义1 1、阅读理解能力。、阅读理解能力。（1999 上海卷 22）下图为一台冷轧机的示意图。冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出。（1）输入钢带的厚度为,输出钢带的厚度为，若每对轧辊的减薄率不超过0r，问冷轧机至少需要安 装 多 少 对 轧 辊？（一 对 轧 辊 减 薄 率 输入该对

5、的带钢厚度从该对输出的带钢厚度）输入该对的带钢厚度一、数学建模素养的意义一、数学建模素养的意义2 2、抽象概括能力。、抽象概括能力。将感性材料去伪存真，对问题适当简化，忽略次要因素，抓住主要矛盾，运用判断推理等发现问题本质，在提炼、抽象的基础上，将实际问题转化为数学问题的能力。抽象概括能力较强的学生很容易将实际问题抽象为数学问题，这是数学建模的基础。一、数学建模素养的意义一、数学建模素养的意义2 2、抽象概括能力。、抽象概括能力。如，将银行计息的“复利公式”类比和推广到计算细胞分裂、人口增长等实际问题，这不仅给了学生解决实际问题一把通用的钥匙，也是培养和提高学生抽象概括能力的重要方式。一、数学

6、建模素养的意义一、数学建模素养的意义3 3、符号表示能力。、符号表示能力。把实际问题中表示数量关系的文字、图像“翻译”成数学符号语言，即数、式子、方程、函数、不等式等的能力。这种“翻译”是数学建模的基础性工作。一、数学建模素养的意义一、数学建模素养的意义3 3、符号表示能力。、符号表示能力。如：假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案可供选择，它们的回报方式分别是：方案一，每天回报50元；方案二，第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三，第一天回报0.5元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，哪一种投资方案最佳。设第x天的回报为y元，则三个方案的回报率分为：150yxN，210

7、yx xN，130.5 2xyxN。将题设条件翻译成数学符号语言后，就可以结合实际情况选择最佳投资方案了。一、数学建模素养的意义一、数学建模素养的意义4 4、模型选择能力。、模型选择能力。选择数学模型是数学建模中最重要的能力。同一个数学问题可以有多个数学模型，同一个数学模型可以用于多个实际问题，怎样选择一个最佳的模型，直接关系到问题解决的质量，是学生的综合能力的体现，是数学建模的关键能力。一、数学建模素养的意义一、数学建模素养的意义4 4、模型选择能力。、模型选择能力。如，甲、乙两人相距10千米，他们同时相向而行，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为3千米/小时。两人出发时，甲身边的一只小狗以5

8、千米/小时的速度飞奔向乙，遇到乙后，又马上飞奔向甲，如此反复，问甲、乙相遇时小狗跑的总路程。如果把该问题建模为数列求和，求出每次小狗与乙或甲相遇时跑的路程，再求所有路程的总和，计算十分麻烦。如果把问题建模为总路程与总时间的关系，求出甲、乙相遇的时间，即小狗跑的总时间，用总时间乘以小狗的速度求得总路程，计算简单，这个模型十分简练。一、数学建模素养的意义一、数学建模素养的意义5 5、数学运算能力。、数学运算能力。复杂的建模问题一般运算量比较大，可能还有近似计算，图像分析等，所以即使数学模型正确合理，如果运算能力欠缺，有时也会前功尽弃。数学运算能力也是数学建模能力的重要构成，在建模教学中只重视抽象、

9、概括和推理，不重视计算的做法是不可取的。（一）新课标的要求一）新课标的要求二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透（二）高中常见数学模型（二）高中常见数学模型（一）新课标的要求（一）新课标的要求 新数学课程标准的一个重点是让学生全面了解数学背景、意义和价值，尤其是它的应用性与方法。数学建模是达到此目标的一个极好途径。在近几年的高考中，这方面题目的数量和分值逐渐增加，特别是考查的题材更贴近实际生活，灵活性也大大提高，那就要求在教学中更应注重培养学生的数学建模素养。因此，在高中阶段渗透建模思想是非常必要的。二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透数学

10、建模的教学重点在新课程中规定的应用：数学建模的教学重点在新课程中规定的应用：1、初步掌握建立函数模型解决问题的过程和方法，能应用导数等 解决一些简单的实际问题。2、等差数列和等比数列有着广泛的应用，教学中应重视通过具体 实例（如教育贷款、购房贷款、放射性物质的衰变、人口增长 等），使学生理解这两种数列模型的作用，培养学生从实际问 题中抽象出数列模型的能力。3、会从实际情境中抽象出一些简单的线性规划问题并加以解决；会用基本不等式解决实际中简单的最值问题.4、能运用三角函数知识分析处理实际问题,掌握利用正弦定理、余弦定理解决实际应用；二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透

11、数学建模的教学重点在新课程中规定的应用：数学建模的教学重点在新课程中规定的应用：5、了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本 几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问 题中的作用。6、几何教学应注意引导学生通过对实际模型的认识，并能 解决一些简单的推理论证及应用问题。7、初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机 现象的方法，并能用所学知识解决一些简单的实际问题；8、能用抽样方法解决简单的实际问题,会用样本估计总体 的思想解决一些简单的实际问题；能把一些实际问题抽象 成两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布等模型加 以解决。二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在

12、高中数学内容的渗透（二）高中常见数学模型：（二）高中常见数学模型：1 1、函数模型；、函数模型；2 2、数列模型；、数列模型；3 3、不等式、不等式(组组)模型；模型；4 4、三角模型；、三角模型；5 5、平面解析几何模型；、平面解析几何模型；6 6、立体几何模型；、立体几何模型；7 7、排列组合模型；、排列组合模型；8 8、概率统计模型。、概率统计模型。二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透1 1、函数模型、函数模型 高中常见的函数有：一次函数、二次函数、指数高中常见的函数有：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等。函数、对数函数、幂函数、分段函

13、数等。函数模型经常涉及到成本投入、利润产出及关于效益、价格、流量、面积、体积等实际问题。解答这类问题一般要利用数量关系,列出目标函数式,然后用函数有关知识和方法加以解决。大量的实际问题隐含着量与量之间的关系,建立量与量的函数关系,就成为解题的关键,一旦函数关系建立了，即可用函数知识来解决实际问题。二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透（1 1）一次函数模型）一次函数模型 例 1：（必修 3 第 90 页例题）有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：温度-504712151923273136杯数 1

14、56 150 132 128 130 116 104 89937654(1)画出散点图；(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；(3)求回归方程；(4)如果某天的气温是02 C,预测这天卖出的热饮杯数。二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透解:(1)散点图405060708090100110120130140150160-10010203040(2)气温与热饮杯数成负相关,即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。(3)代 入 公 式 计 算,b a的 值、写 出 回 归 直 线 方 程：2.352147.767yx;(4)当2x 时，143.063y。因此

15、，这天大约可以卖出 143杯热饮。二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透（2 2）二次函数模型）二次函数模型 例2:（必修1第39页B组第2题）如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30米，那么宽x（米）为多少才能使所建造的每间熊猫居室面积最大，每间居室的最大面积是多少？二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透（2 2）二次函数模型）二次函数模型 解析：根据实际背景解决时间最少，成本最小，利润最大，材料最省等优化问题一直是高考的重点.而很多情况都可以转化为二次函数问题。根据题意可构造出二次函数模

16、型：13032Sxx（010 x），进一步求出面积的最大值.二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透（3 3）指数函数模型）指数函数模型 例 3：（必修 1 第 57 页例 8）截住到 1999 年底，我国人口约 13 亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过 20 年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透（3 3）指数函数模型）指数函数模型 解析：设经过x年后，我国人口数y亿.根据题意，131 1%13 1.01xxy(亿).所以，经过 20 年后，我国人口最多为 16 亿.二、数学建模在高中

17、数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透设原有量为A,每次的增长率为p，经过x次增长到y，则 1xyAPxN.这是一种指数型函数，也是非常有用的函数模型.（4 4）对数函数模型）对数函数模型 例 4：（必修 1 第 67 页例 6）生物机体内碳 14 的“半衰期”为 5730 年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14 的残余量约占原始含量的 76.7%，试推算马王堆古墓的年代.二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透解析：设生物体死亡时，体内每克组织的碳 14 的含量为 1,1 年后的残留量为x,则t年后的含量为P.则573012x，1573012x,所以t年后的含

18、量为573012tP，所以573012logtP，当0.767P 时，2193t.马王堆古墓是近 2200 年前的遗址.二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透（5 5）幂函数模型）幂函数模型 例 5:（必修 1 第 79 页第 2 题）在固定压力差下，当气流通过圆形管道时，其气流速率v（单位：3/cms）与管道半径r（单位：cm）的四次方成正比.（1）写出气流速率v关于管道半径r的函数解析式；（2）若气体在半径为3cm的管道中，流速为3400/cms，求该气体通过半径r的管道时，其流量速率v的表达式.二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透（5

19、 5）幂函数模型）幂函数模型 解析：这是一题幂函数模型的题目，在求解函数表达式时经常使用待定系数法，可得440081vr，且当5r 时，该气体的流量速率约为 30863/cms二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透（6 6）分段函数模型）分段函数模型 例 6：（必修 1 第 45 页 B 组第 7 题）中华人民共和国个人所得税法规定，公民工资、薪金所得不超过 3500 元的部分不必纳税，超过 3500 元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率（%）不超过 1500 元的部分3超过 1500 元至 4500 元的部分10超过 4500

20、 元至 9000 元的部分20某人一月份应交纳款 303 元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透（6 6）分段函数模型）分段函数模型 解析：本题考查分段函数模型：设他当月的工资、薪金所得x元.0,035000.03105,350050000.1455,500080000.21255,800012500 xxxyxxxx，当303y 时，可求得7580 x.二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透2 2、数列模型、数列模型 生活中频频出现的存款利

21、息、分期付款、环境保生活中频频出现的存款利息、分期付款、环境保护、增长率、贷款、房贷等热点问题，常常需要用护、增长率、贷款、房贷等热点问题，常常需要用数列的知识来解答。通过数列模型的建立，将有助数列的知识来解答。通过数列模型的建立，将有助于我们在生活中更好地进行优化决策，培养我们的于我们在生活中更好地进行优化决策，培养我们的应用意识、主体意识和创新精神，真正做到应用意识、主体意识和创新精神，真正做到“学以学以致用致用”。常见的数列模型有：等差数列模型，等比。常见的数列模型有：等差数列模型，等比数列模型等。数列模型等。例 6：（必修 5 第 62 页 B 组第 5 题）购房问题：某家庭打算在 2

22、010 年的年底花 40 万元购一套商品房，为此，计划从 2004 年初开始，每年年初存入一笔购房专用存款，使这笔款到 2010 年连本带息共有 40 万元，如果每年的存款数额相同，依年利息 2%并按复利计算，问每年应该存入多少钱？二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透本题是一个典型的等比数列模型。考查了等比数列通项公式及等比数列前n项和.本题的难点在于函数模型的建构.解析：设每年应该存入x万元，271.02 1.021.0240 x.即5.27x，所以每年应该存入 5.27 万元.二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学

23、内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透3 3、不等式、不等式(组组)模型模型 不等式不等式(组组)模型经常涉及到统筹安排、最佳决策、模型经常涉及到统筹安排、最佳决策、最优化、水土流失等一些有关不等量或最值的实际最优化、水土流失等一些有关不等量或最值的实际问题。解答这类问题一般是先列出不等式问题。解答这类问题一般是先列出不等式(组组),),然后然后用不等式知识求解用不等式知识求解,关键是找出各变量的关系。关键是找出各变量的关系。例 7 某单位用 2160 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为(10)x x 层，则每平方米

24、的平均建筑费用为56048x(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用购地总费用建筑总面积)二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透解析：设楼房每平方米的平均综合费为 f x元，则 2160 10000560482000f xxx1080056048xx10,xxZ所以 108005602 482000f xxx，当且仅当1080048xx，即15x 时，平均综合费最少。二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透例 8 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一

25、个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物.6 个单位蛋白质和 6 个单位的维生素 C；一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物，42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透解析：设预订的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，依题意可得3216735270,0

26、,xyxyxyxxNyyN二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透目标函数为2.54zxy。让目标函数2.54zxy所表示的直线在可行域平移，由图可知，当直线2.54zxy经过可行域上的点 B(4,3)时，目标函数2.54zxy取得最小值。因此，应该为儿童预定 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐，就可满足要求。二、数学建模素养在高中数学内容的渗透二、数学建模素养在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透4 4、三角模型、三角模型 三角模型主要涉及求距离、高度、角度、视角、航向、与周期性振动有关或类似的问题，如电流、水流、声波等

27、。解决这类问题的关键在于：找出周期变化的函数表达式sin()yAxB，或画出三角形，确定边角关系，运用正弦、余弦定理、面积公式及三角变换公式求解。例 9（必修 4 第 62 页 例 4）货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时间与水深关系表:时刻0:00 3:00 6:00 9:00 12:0015:0018:0021:0024:00水深/米 5.07.55.02.55.07.55.02.55.0(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与

28、时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到 0.001).二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为 4 米,安全条例规定至少要有 1.5 米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为 4 米,安全间隙为 1.5 米,该船在2:00 开始卸货,吃水深度以每小时0.3 米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透解析:(1)根据图象,可以考虑用函数sinyAxh刻画水深与时间之间的对应关

29、系.从数据和图象可以得出:2.5A,5h,12T,0,由212T,得6.所以2.5sin5 0246yxx.二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透解析:(2)2.5sin56yx.货船需要的安全水深 为4+1.55.5(米),所以当 y5.5 时就可以进港.如图,在区间0,12内,函数2.5sin56yx的图象与直线 y5.5 有两个交点 A、B,利用计算器解得 xA0.384 8,xB5.615 2.货船可以在 0 时 30 分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进港,下午 17 时 30 分左右出港.每次在港口停留 5 小时左右.二、数学建模

30、在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透(3)设在时刻x货船的安全水深为y,那么5.50.322yxx.在同一坐标系内作出这两个函数的图象,可以看到在67时之间两个函数图象有一个交点.通过计算也可以得到这个结果.在 6 时的水深约为 5米,此时货船的安全水深约为4.3米;6.5时的水深约为4.2米,此时货船的安全水深约为 4.1 米;7 时的水深约为 3.8米,而货船的安全水深约为 4 米.因此为了安全,货船最好在 6.5 时之前停止卸货,将船驶向较深的水域.二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透例 10（2003 全国卷 理 20）在某海滨城市附近海面上

31、有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20/km h的速度向西偏北45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并且以10/km h的速度不断增大，问几小时后该城市开设受台风侵袭？2cos10其中：二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透解：本题考查三角模型和不等式模型.设t时刻台风中心位于Q点，先由三角恒等变化求出4coscos455OPQ,再有余弦定理求出t时刻OQ的长度为2900004009600tt，而t时刻的台风半径为1060t，所以令29000040096001060ttt，解得1224t.二、数

32、学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透5 5、平面解析几何模型、平面解析几何模型 解析几何型经常涉及到人造地球卫星、光的折射、反光灯、桥梁等实际问题。这类问题通常是通过建立直角坐标系,运用解析几何方面的有关知识来解决。常见的模型有椭圆模型、双曲线模型、抛物线模型等.例 11 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m，试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为340/m s，各

33、相关点均在同一平面上）二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透解析：设巨响位于点P，建立适当的平面直角坐标系，因此可知点P在以A、B为焦点的双曲线左支上，也在第二、第四的角平分线上，由题意可求得双曲线方程为2222106805 340 xyx，第二、第四的角平分线 方 程 为yx，联 立 两 方 程 解 得(680 5,680 5)P.故680 10PO。即巨响发生在接报中心的西偏北45距中心m10680处.二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透6 6、立体几何模型、立体几何模型

34、立体几何型经常涉及到空间观测、面积、体积、地球的经纬度等实际问题。这类问题主要是用立体几何、三角函数等方面的有关知识来解决。例 12（必修 2 第 37 页 B 组第 4 题）一块长为 10cm 的铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试把容器的容积表示为x的函数.二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透解析：由题意可知折叠后的正四棱锥是底面边长为x，高为225x，求出体积的函数为22125053Vxxx.二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数

35、学内容的渗透7 7、排列组合模型、排列组合模型 排列组合问题是高考中必考的一个类型题，常常单独命题或与概率等内容相结合，解题过程中通过分类、分布把复杂问题分解，找到问题的切入点，建立合理的数学模型，把问题简单化、常规化.如相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法，特殊元素（位置）优先考虑等.例 13：（选修 2-3 第 40 页 A 组第 7 题）书架上有 4本不同的数学书，5 本不同的物理书，3 本不同的化学书，全部排在同一层，如果不使同类的书分开，一共有多少种分法?二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透答案：45334533103680A A A A.二、数学建模在高

36、中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透8 8、概率统计模型、概率统计模型概率统计是高中数学的重要内容,也是高考的必考内容,它与日常生活、自然知识、社会生产实践的联系紧密,是培养学生数学建模能力的很好素材。常见的模型有古典概型、几何概型.8 8、概率统计模型、概率统计模型概率统计是高中数学的重要内容,也是高考的必考内容,它与日常生活、自然知识、社会生产实践的联系紧密,是培养学生数学建模能力的很好素材。常见的模型有古典概型、几何概型.例 14：（选修 2-3 第 48 页例 3）在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有 10 个红球和 20 个白球，这些球陈颜色外完全相同，

37、一次从中摸出 5 个球，至少摸到 3 个红球就 3 个红球就中奖，求中奖的概率.二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透解析：本题考查超几何分布概率模型。设一次性摸出 5 个球中含红球的个数为X,3345P XP XP XP X10201020103030303241555515140.1917917C CC CCCCC.二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透例 15:（选修 2-3 第 69 页 B 组第 2 题)一台机器在一天内发生故障的概率为0.1.若这台机器一周 5个工作日不发生故障，可获利 5 万元；发生 1 次故障仍可获利 2.5

38、万元；发生 2 次故障的利润为 0 元；发生3 次或3次以上故障要亏损 1万元.这台机器一周内可能获利的均值是多少？二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透解析：设一周内可能获利X万元，X的可能值为5,2.5,0,1，05550.90.59049P XC,1452.50.1 0.90.32805P XC,223500.10.90.0729P XC,332445555510.10.90.10.90.10.00856P XCCC,5 0.590492.5 0.328050 0.0729 1 0.00853.7640156E X 故：（万元）二、数学建模在高中数学内容的渗透二

39、、数学建模在高中数学内容的渗透例 16:（必修 3 第 137 页例 2)假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上 6:307:30 之间把报纸送到你 家，你 父亲离 开家去 工作的 时间在 早上7:008:00 之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透解析：这是一题几何概型，问题的关键在于基本事件是送报到达时间x与父亲离开家的时间y所构成的一个实数对,x y.事件A则表示亲在离开家 前 能 得 到 报 纸，所 表 示 的 区 域 为,6.57.5,78Ax y yxxy，由几何 概 型 概 率 公 式 求 出

40、 事 件A发 生 的 概 率 为 0.50.1254S AP AS.二、数学建模在高中数学内容的渗透二、数学建模在高中数学内容的渗透三、高考试题中数学建模的考查趋势分析三、高考试题中数学建模的考查趋势分析（一）（一）综合性综合性（二）（二）现实性现实性（三）（三）文化性文化性（四）（四）创新性创新性三、高考试题中数学建模的考查趋势分析三、高考试题中数学建模的考查趋势分析1 1、综合性、综合性近几年高考数学建模试题综合性强，已经由单纯的知识叠加型转化为知识、方法和能力综合型试题的考查，具有知识容量大、能力要求高，突显数学建模思想及应用意识。这类试题常作为压轴题，凸显选拔功能，在高考中举足轻重。三

41、、高考试题中数学建模的考查趋势分析三、高考试题中数学建模的考查趋势分析1 1、综合性、综合性近几年高考数学建模试题综合性强，已经由单纯的知识叠加型转化为知识、方法和能力综合型试题的考查，具有知识容量大、能力要求高，突显数学建模思想及应用意识。这类试题常作为压轴题，凸显选拔功能，在高考中举足轻重。三、高考试题中数学建模的考查趋势分析三、高考试题中数学建模的考查趋势分析例 17（2017 全国卷 I 理 16）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O，,D E F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别

42、以BC,CA,AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得,D E F重 合，得 到 三 棱 锥.当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单 位：3cm）的 最 大 值为.三、高考试题中数学建模的考查趋势分析三、高考试题中数学建模的考查趋势分析解：连接OD，交BC于点G，由题，ODBC，36OGBC，设OGx，则2 3BCx，5DGx，三棱锥的高225 10hDGOGx，212 3 33 32ABCSxx，2113 325 1033ABCVShxx4532510Vxx，三、高考试题中数学建模的考查趋势分析三、高考试题中数学建模的考查趋势分析令 452510f xxx，50,2x，3410050fx

43、xx，令 0fx，即4320 xx，得02x，f x单调递增；令 0fx，即4320 xx，得522x，fx单调递减；所以 280fxf，则3804 15V，所以体积的最大值为34 15 cm.三、高考试题中数学建模的考查趋势分析三、高考试题中数学建模的考查趋势分析2 2、现实性、现实性华罗庚先生在大哉，数学之为用一文中说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”数学应用于生活的各方面，因此命题专家选取现实生活的背景来考查学生的数学应用意识，让考生体会数学来源于生活，又服务于生活。三、高考试题中数学建模的考查趋势分析三、高考试题中数学建模的考查趋

44、势分析例 18（2017 全国卷 I 理 19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位cm），根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2,N.（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的 16个零件中其尺寸在3,3 之外的零件数，求1P X 及X的数学期望；（2）略.附：若随机变量Z服从正态分布2,N，则330.9974PZ.160.99740.9592三、高考试题中数学建模的考查趋势分析三、高考试题中数学建模的考查趋势分析解析：由题可知尺寸落在3,3 之内的概率为0.9974，落在3,3 之外

45、的概率为0.0026，所以16,0.0026XB.001616010.99740.99740.9592P XC,则11010.95920.0408P XP X .160.00260.0416E X.三、高考试题中数学建模的考查趋势分析三、高考试题中数学建模的考查趋势分析例 19（2017 江苏卷 10）某公司一年购买某种货物 600吨，每次购买x吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是.解析：总费用600900464240yxxxx，当且仅当900 xx即30 x 时等号成立.三、高考试题中数学建模的考查趋势分析三、高考试题中数学建

46、模的考查趋势分析例 20（2016 全 国 卷 I理 4）某 公 司 班 车 在7:00,8:00,8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时候是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率为（）A.13B.12C.23D.34答案：12，选 B.三、高考试题中数学建模的考查趋势分析三、高考试题中数学建模的考查趋势分析3 3、文化性、文化性南开大学数学科学学院的顾沛教授，对数学文化有这样的阐述：“数学一词的内涵，简单地说，是指数学的思想、精神、方法、观点，以及他们的形成和发展；广泛地说，除上述内涵以外，还包涵数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发

47、展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系等等。”在数学文化中体现数学建模思想，高考试题在背景素材上努力发掘我国古代数学的精髓。三、高考试题中数学建模的考查趋势分析三、高考试题中数学建模的考查趋势分析例 21（2017 全国卷 I 理 2）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A.14B.8C.12D.4答案：答案：B三、高考试题中数学建模的考查趋势分析三、高考试题中数学建模的考查趋势分析例 22（2017 全国卷 II 理 3）我国古代数学名著算法统宗中有

48、如下问题：“远望魏巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（）A.1 盏B.3 盏C.5 盏D.9 盏答案：答案：B三、高考试题中数学建模的考查趋势分析三、高考试题中数学建模的考查趋势分析例 23（2015 全国卷 I 理 6）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8尺，米堆的高为 5 尺，米堆的体积和堆放

49、的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米有（）A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛三、高考试题中数学建模的考查趋势分析三、高考试题中数学建模的考查趋势分析解析：设米堆底面半径为r，则1284r，故16163r，所以21116320354339V，故堆放的米约为3201.62229斛，选 B.三、高考试题中数学建模的考查趋势分析三、高考试题中数学建模的考查趋势分析4.4.创新性创新性高校既然要选拔具有创新潜质的人才，高考数学就必须重视对学生创新意识的考查，因此设计创新试题既是时代的要求，也是高校选拔高素质人才的要求。三、高考试题中数学建模的考

50、查趋势分析三、高考试题中数学建模的考查趋势分析例 24（2017 全国卷 I 理 12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,3,4,16.，其中第一项是02，接下来的两项是012,2，再接下来的三项是0122,2,2，以此类推。求满足如下条件的最小整数:100N N 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂，那么该款软件的激活码是（）A.440B.330C.220D.110三、高考试题中数学建模的考查趋势分析三、高考试