高等流体力学第二讲课件.ppt

1、1北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二讲第二讲 流体运动基本方程流体运动基本方程一、一、基本方程推导的基础知识基本方程推导的基础知识二、二、基本方程的推导基本方程的推导三、三、NS方程的求解途径方程的求解途径四、四、经典问题的解析解经典问题的解析解五、五、小雷诺数下小雷诺数下NS方程的近似解方程的近似解2北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二讲第二讲 流体运动基本方程流体运动基本方程一、基本方程推导的基础知识一、基本方程推导的基础知识1、质量体与控制体的概念、质量体与控制体的概念（1）定义）定义1）质量体：选定的具有确定不变的流体质点所组成的流体）质量体：

2、选定的具有确定不变的流体质点所组成的流体团团对应于拉氏描述。对应于拉氏描述。2）控制体：依据研究问题而选定的，相对于所选定的坐标）控制体：依据研究问题而选定的，相对于所选定的坐标系固定不动的有限空间系固定不动的有限空间相应于欧拉描述。相应于欧拉描述。（2）特点与区别）特点与区别几个方面比较：几个方面比较：1）相对于所选定的坐标系是否有运动？）相对于所选定的坐标系是否有运动？2）体内流体体积是否变化？）体内流体体积是否变化？3）自身形状是否变化？）自身形状是否变化？4）通过界面是否有质量交换？）通过界面是否有质量交换？5）通过界面是否有动量交换？）通过界面是否有动量交换？6）通过界面是否有能量交

3、换？）通过界面是否有能量交换？3北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程2、雷诺输运定理（、雷诺输运定理（Reynolds Transport Theorem）考虑一物理量在质量体上的体积分的随时间的变化率与相应控制体考虑一物理量在质量体上的体积分的随时间的变化率与相应控制体上体积分随时间的变化率间的关系。上体积分随时间的变化率间的关系。（1）定义）定义对一物理量对一物理量（x,yx,y,z,t,z,t），），质量体体积为：质量体体积为：V VM M；t t时刻，对应控制的体积为：时刻，对应控制的体积为：V VC C；此时取控制体的截面

4、积为质量体的界面：此时取控制体的截面积为质量体的界面：S S质量体内总量：质量体内总量：控制体内总量：控制体内总量：MVdtrtI),()(CVdtrtI),()(4北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程对质量体的导数对质量体的导数对控制体的导数对控制体的导数ttMtMtMVVttVdtrdttrtttIttIdtrDtDtIDtD,),(),(1lim )()(lim),()(00 CCCVVttVdtrdttrtttIttIdtrttIt ),(),(1lim )()(lim),()(005北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(

5、水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程（2）推证结果）推证结果当控制体的体积当控制体的体积Vc不变时，有：不变时，有：当当为矢量时，须注意通量项的表示（面的法线方为矢量时，须注意通量项的表示（面的法线方向与速度矢量的点积）：向与速度矢量的点积）：SVVdsnvdtdDtDCM)(SVVdsnvdtdDtDCM)(cVijjSijjSdvx)ds(vn)dsv(n 6北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程3、体积分与面积分的转换关系、体积分与面积分的转换关系广义高斯公式广义高斯公式（1）标量函数）标量函数（2）对矢量

6、函数）对矢量函数VSdadsan VSdvdsnv)()(dxaxdadsanijViVS)()(VSdadsan 7北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程4、基本定律的概念、基本定律的概念基本定律的质量体形式表示基本定律的质量体形式表示拉格朗日描述法的表现形式拉格朗日描述法的表现形式（1）质量守恒定律的概念）质量守恒定律的概念微体积的质量：微体积的质量：质量体的总质量：质量体的总质量：质量守恒的表示：质量守恒的表示：ddm constddmMMMVV 0MVdDtDDtDM 8北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二

7、章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程（2）动量平衡的概念）动量平衡的概念牛顿第二定律：牛顿第二定律：微体积的动量：微体积的动量：质量体的总动量：质量体的总动量：动量平衡的表示：动量平衡的表示：dvMVdv dspdfdvDtDSnVVMM Fvmdtdam)(9北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程（3）动量矩平衡的概念）动量矩平衡的概念动量矩对时间的导数：动量矩对时间的导数：微体积的动量矩：微体积的动量矩：质量体的总动量矩：质量体的总动量矩：动量矩平衡的表示：动量矩平衡的表示：dvrMVdvr dsprdfrdvrDtDSnV

8、VMM Frvrmdtd)(10北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程（4）能量守恒的概念）能量守恒的概念热力学第二定律：热力学第二定律：微体积流体的能量：微体积流体的能量：质量体的总能量：质量体的总能量：外界对质量体所做的功率外界对质量体所做的功率单位时间内输入质量体的热量单位时间内输入质量体的热量 dgzvedes)21(2dsnTkqdQSVM QdtdWdtdEsMVdgzve )21(2dspvdvfDtDWSnVM 11北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程二、基

9、本方程的推导二、基本方程的推导用控制体描述的基本定律用控制体描述的基本定律欧拉描述法的表现形式。欧拉描述法的表现形式。1、质量守恒、质量守恒连续性方程连续性方程1）积分形式）积分形式2）微分形式）微分形式3）不可压缩流体的概念）不可压缩流体的概念4）不可压缩流体连续性方程）不可压缩流体连续性方程0dsnvdtSV 0)(vt 守恒形式守恒形式0vDtD 非守恒形式非守恒形式0DtD 0 v矢量表示：矢量表示：0iixu；i=1，2，3张量表示：张量表示：12北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程5）应用举例）应用举例确定沿变深度矩形截

10、面河道的水面波动运动，其在一维假设下的连确定沿变深度矩形截面河道的水面波动运动，其在一维假设下的连续方程表达形式。续方程表达形式。解：解：1、描述参数、描述参数设河道宽：设河道宽：B，河道静止水深：，河道静止水深：h(x);波面高度：波面高度：(x,t)(x,t)，一维断面均匀流速，一维断面均匀流速u(x,t)u(x,t)；控制体及坐标选择如图。控制体及坐标选择如图。2 2、由积分形式的连续方程：、由积分形式的连续方程：3 3、结果：、结果：0dsnvdtSV 0)(xhut 0 xuht 对深水小波幅有：对深水小波幅有：例图例图13北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第

11、二章 流体运动基本方程流体运动基本方程2、动量平衡、动量平衡流体运动方程流体运动方程1）积分形式）积分形式2）微分形式）微分形式dspdfdsvvndvtSnVSV )(守恒形式守恒形式非守恒形式非守恒形式张量表示：张量表示：iijjjiijxPfvvxtv )(Pfvvtv )(矢量表示：矢量表示：PfvvtvDtvD )(矢量表示：矢量表示：张量表示：张量表示：iijjijijjxPfxvvtvDtDv )(14北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程3）NS方程（方程（NavierStokes Equations）引进牛顿流体本构

12、方程，运动方程称为引进牛顿流体本构方程，运动方程称为NS方程。方程。、为常数，在直角坐标下有为常数，在直角坐标下有ijijijijvspP )(2)(2vspP 矢量表示：矢量表示：)(2 2lljiijjijllijijiiijxvxxsxpxvspxxP 15北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程当流体不可压时，有：当流体不可压时，有：NS方程为方程为vvxvxxvxvxxssijiijjiiiij)()(21)(21)(1ijijjijijxvxxpfxvvtv 张量表示：张量表示：vpfvvtv 1)(矢量表示：矢量表示：16

13、北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程3、动量矩平衡、动量矩平衡1）积分形式：）积分形式：2）微分形式）微分形式未增加独立方程，仅证明应力张量的对称性。未增加独立方程，仅证明应力张量的对称性。dsprd frdsvrvndvrtSnVSV )(jiijP 17北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程4、能量守恒、能量守恒1）积分形式：）积分形式：2）微分形式）微分形式其中对牛顿流体其中对牛顿流体耗散函数，为不可逆过程。耗散函数，为不可逆过程。dsnTkqddspvdfvdsev

14、ndetSVSnVbSsVs )(vPTkqDtDTcDtDeV:)(vpssvvpvP):(2)(:2 18北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程3）耗散函数耗散函数 在直角坐标中的表示在直角坐标中的表示取：取：=-2=-2/3/3表示的损失包括：表示的损失包括：非对称膨胀或压缩非对称膨胀或压缩 +流体形状改变两部分流体形状改变两部分)()()()()()(32222222zuxwywzvxvyuxuzwzwyvyvxu 19北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程三、三、N

15、S方程的求解途径方程的求解途径1、流体力学方程组的封闭性、流体力学方程组的封闭性当设当设k k、c cV V、及及为常数下，有未知量为常数下，有未知量1212个：个：、u u、v v、w w、T T、p p及六个及六个ijij 需补充需补充7 7个方程，即：个方程，即：状态方程：状态方程：本构方程：本构方程：0)(vt PfvvtvDtvD )(运动方程：运动方程：vPTkqDtDTcDtDeV:)(连续方程：连续方程：能量方程：能量方程：ijijijijvspP )(2),(Tp 20北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程2、NS方

16、程的属性（千禧年方程的属性（千禧年7大数学难题之一）大数学难题之一）非定常、非线性、二阶对流扩散偏微分方程组。非定常、非线性、二阶对流扩散偏微分方程组。基本简化思路基本简化思路（1）忽略非定常、非线性项）忽略非定常、非线性项对质量力仅有重力作用情况：对质量力仅有重力作用情况：（2）忽略粘性项）忽略粘性项欧拉方程欧拉方程（3）解决流体问题的基本手段（方法）：）解决流体问题的基本手段（方法）：解析法；数值法；实验法。解析法；数值法；实验法。0)(vvpfvvtv 1)(运动方程：运动方程：连续方程：连续方程：vp 0运动方程：运动方程：pfvvtv 1)(运动方程：运动方程：vpf 0运动方程：运

17、动方程：21北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程3、NS方程的解析法求解途径方程的解析法求解途径（1）特定的、简单问题的解析解）特定的、简单问题的解析解仅有有限的几个解析解，其成果为近似解的构建方法，验证数值解仅有有限的几个解析解，其成果为近似解的构建方法，验证数值解法提供依据。法提供依据。（2）近似解法）近似解法NS方程的无量纲形式方程的无量纲形式参照量：长度参照量：长度L0；速度；速度U0；压强；压强p0；时间；时间T0=L0/U0。1）小雷诺数小的近似解）小雷诺数小的近似解蠕动问题（蠕动问题（Creeping Flowing）

18、2）大雷诺数下的近似解）大雷诺数下的近似解有势流动与边界层的衔接解法有势流动与边界层的衔接解法)(00200200000vLUpUpfUgLvvtvTUL 运动方程：运动方程：0)(v连续方程：连续方程：11)(vRpEfFvvtvSeurt即：即：22北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程四、经典问题的解析解四、经典问题的解析解1、两无限大平行板间的流动、两无限大平行板间的流动库特库特泊肃叶流（泊肃叶流（CouettePoiseuille）（1）问题分析）问题分析平面（平面（xoy）定常流动，）定常流动，v=0，w=0，u(x,y)

19、=u(y)上平板速度：上平板速度：U，下平板静止。，下平板静止。（2）笛卡尔坐标系）笛卡尔坐标系NS方程分析方程分析0yvxu题图题图)(12222yuxuxpyuvxuu )(12222yvxvypgyvvxvu 23北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程（3）得方程）得方程（4）边界条件）边界条件y=0，u=0；y=h，u=U。（5）方程的解）方程的解（6）解的分析）解的分析是是Couette流动解与流动解与Poiseuille流动界的叠加。流动界的叠加。dxdpxpyu22 ypg 10压强沿压强沿y y方向静压分布方向静压分布

20、ghgh，当当h h很小时可认为沿很小时可认为沿y y不变不变yhUyhydxdpyu)(21)(24北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程2、水平无限长柱体内的流动、水平无限长柱体内的流动哈根哈根泊肃叶流动（泊肃叶流动（HagenPoiseuille）（1）流动分析）流动分析柱坐标下，定常轴对称流动，柱坐标下，定常轴对称流动，笛卡尔坐标下，有：笛卡尔坐标下，有：不计重力作用下有：不计重力作用下有：0 ,0 ,0 uur题图题图),(),(00zyuxzy,u,wv0 ;)0(,0dxdpxpzpypprp 25北京工业大学市政学科部

21、马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程（2）柱坐标下）柱坐标下NS方程方程01ruxuurrurxr 连续方程：连续方程：运动方程：运动方程：)2(1222 urruurpruxuuururuuturrrxrrrr)2(122ruururpruuxuuururuuturrxr xxxxxrxuxpxuuururuutu 1)(1)(122xrxrrrrr 其中：其中：26北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程（3）得方程）得方程（4）边界条件）边界条件（5）方程的解）方程的解（6）最大流速）最大流

22、速（7）流量）流量 （8）平均流速）平均流速)(1drdurdrdrudxdpxx xxuruRr ,0 ,0 ,：值有限：值有限)1(4)(222RrdxdpRrux dxdpRuux 4)0(2maxdxdpRQ 84max2218udxdpRU 27北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程直角坐标系下的解法直角坐标系下的解法（1）方程）方程（2）边界条件）边界条件（3）待定系数解）待定系数解解得解得uruRzy ,0 ,0 ,22：值有限：值有限)1(4),(2222RzydxdpRzyu dxdpzuyu)(2222)1(),(

23、222Rzyzyu dxdpR 4228北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程3、两无限长同心圆柱间的流动问题、两无限长同心圆柱间的流动问题Couette流动流动（1）流动分析）流动分析（2）方程组）方程组（3）边界条件）边界条件 ,0 ,0 ,0 zruu题图题图)(),(),(),(rpzrpruzru 2 urdrdp0)(rudrdurdrd 0,;,211 uRrRuRr29北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程（4）方程的解）方程的解（5）剪应力计算）剪应力计算（

24、6）计算单位长度圆柱的阻力矩）计算单位长度圆柱的阻力矩)()(22212221rRrRRRru )(rurur?21RrRrTT30北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程五、小雷诺数下五、小雷诺数下NS方程的近似解方程的近似解1、小雷诺数近似下的、小雷诺数近似下的NS方程方程 式中压强项包含了质量力式中压强项包含了质量力-gzz。2 2、下雷诺数球体绕流问题的解（、下雷诺数球体绕流问题的解（StokesStokes流动，流动，18511851）（1 1）问题分析）问题分析与流动有关的变数（与流动有关的变数（R R，）；）；0)(vvp

25、 运动方程：运动方程：连续方程：连续方程：0 ,0 u题图题图31北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程（2）球坐标系问题的）球坐标系问题的NS方程方程（3）边界条件）边界条件 1）求面无滑动：）求面无滑动：2）无穷远来流体条件：）无穷远来流体条件：021RctguRuuRRuRR 连续方程：连续方程：222222222222 uRctgRuuRuRctgRuRRuRuRpRRRRR运动方程：运动方程：sin22222222222 RuuRuRctgRuRRuRuRpR0 ,0 ,uuaRRppUuUuRR ,sin ,cos ,32

26、北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程3）解具有的形式）解具有的形式对应边界条件对应边界条件4）解出的结果）解出的结果 cos)(,sin)(,cos)(RhppRguRfuR0)(;0)(,agafaRUgUfR)(;)(,)21231(cos33RaRaUuR)41431(sin33RaRaUu cos232RaUpp33北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程5）球体所受阻力的合力）球体所受阻力的合力以来流方向为以来流方向为z向，向，由压强差产生的阻力：由压强差产生的阻力

27、：由切应力产生的阻力：由切应力产生的阻力：阻力合力大小：阻力合力大小：阻力系数：阻力系数：6）适用条件）适用条件aUFz2)1(aUFz4)2(ezDRaUFC242122 aUFz 61.0 dURe34北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程7）奥森（）奥森（Oseen）修整（）修整（1910）提出考虑主要项，方程修整为：提出考虑主要项，方程修整为：计算阻力大小：计算阻力大小：适用条件：适用条件：8）White（1974）经验公式）经验公式适用范围：适用范围：0)(vvpzvU 运动方程：运动方程：连续方程：连续方程：)831(6e

28、zRaUF 6 dURe4.0Re1624eDRC5102 eR35北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程2、垂直壁面流动问题、垂直壁面流动问题（1）问题要求）问题要求粘性流体从平面垂直壁溢出，要求确定溢出单宽流粘性流体从平面垂直壁溢出，要求确定溢出单宽流量及沿壁面厚度的流速分布。量及沿壁面厚度的流速分布。（2）问题分析）问题分析满足小雷诺数条件，且有：满足小雷诺数条件，且有：（3）适用方程）适用方程 )(),(),(,0 ,0constxyuzyxuwv 题图题图dxdpgdyud 22运动方程：运动方程：constxxuzwyvx

29、u)(0 连续方程：连续方程：36北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程（4）所得结果）所得结果（5）试验验证，确定适用条件）试验验证，确定适用条件当满足当满足适用。适用。)(22g)(22 yyyu 3g)(30dyyuQ单宽流量：单宽流量：5.2 URe37北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程本讲内容小结本讲内容小结1、雷诺数运定理、雷诺数运定理2、流体运动基本方程、流体运动基本方程3、NS方程的解析解法方程的解析解法（1）NS方程方程SVVdsnvdtdDtDCM)(

30、0)(vvpfvvtv 1)(运动方程：运动方程：连续方程：连续方程：PfvvtvDtvD )(（2）运动方程：）运动方程：0)(vt （1）连续方程：）连续方程：vPTkqDtDTcDtDeV:)(（3）能量方程：）能量方程：38北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程（1）简单为题的解析解）简单为题的解析解1）两平板间的）两平板间的CouettePoiseuille流动流动2）圆柱内的）圆柱内的HagenPoiseuille流动流动3）同心圆柱内的）同心圆柱内的Couette流动流动（2）小雷诺数下的近似解析解）小雷诺数下的近似解析解1）基本方程）基本方程2）球体绕流问题）球体绕流问题3）重力作用下的直壁流动问题）重力作用下的直壁流动问题0)(vvp 运动方程：运动方程：连续方程：连续方程：39北京工业大学市政学科部马长明 高等流体(水）力学讲稿第二章第二章 流体运动基本方程流体运动基本方程本讲结束本讲结束