高等数学-不定积分及换元法课件.ppt
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- 高等数学 不定积分 换元法 课件
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1、第三章第三章 不定积分不定积分 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 不定积分的计算不定积分的计算高等数学高等数学2023-5-8一、原函数一、原函数二二 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念三三 不定积分的性质不定积分的性质四四 基本积分表基本积分表3.1 3.1 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质一、一、原函数的概念原函数的概念引例:已知物体的运动方程为引例:已知物体的运动方程为 ,则物体则物体运动的即时速度为运动的即时速度为 ;如果已知物体的如果已知物体的速度方程为速度方程为 ,则物体运动的位移如何计则物体运动的位移如何计算呢算呢?()ss t()()v ts t()v
2、v t?()v t例例 设曲线通过点(设曲线通过点(2 2,5 5),且其上任一点处的切),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线方程线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线方程.解设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知,2xdxdy 1、定义、定义 如果在区间如果在区间 内的每一点处内的每一点处,有有 或或 则称则称 是是 在区间在区间 内的内的一个原函数。一个原函数。I()f x()F x()(),dF xf x dxI()()F xf x例如例如:因为因为 sincos xxxR 所以所以 是是 在在 内的一个原函数内的一个原函数.sinxcosx,问题:
3、问题:(1)原函数是否唯一?原函数是否唯一?(2)若不唯一它们之间有什么关系若不唯一它们之间有什么关系?2、原函数的性质、原函数的性质1)如果有)如果有 ,则,则()()Fxf x()()F xCf x2)如果)如果 ,则,则 。()()()F xG xf x()()F xG xC(常数)I结论:如果函数结论:如果函数 在区间在区间 内有原函数内有原函数 ,则,则 有无穷多个原函数,且所有的原函数可用式子有无穷多个原函数,且所有的原函数可用式子 表示。表示。()f x()F x()f x()F xC原函数存在的充分条件原函数存在的充分条件 如果函数如果函数f(x)在区间在区间I内内连续连续,则
4、函数,则函数f(x)在该区间内在该区间内一定有原函数一定有原函数。二、不定积分的概念二、不定积分的概念 函数函数f(x)在区间在区间I内的所有的原函数构成的集合,称内的所有的原函数构成的集合,称为函数为函数 f(x)在区间在区间I内的不定积分,记作内的不定积分,记作 。()f x dx即即注:鉴于原函数不唯一,积分方法不同得到的原函数注:鉴于原函数不唯一,积分方法不同得到的原函数形式不一定相同,只要相差一个常数即可。形式不一定相同,只要相差一个常数即可。验证积分的方法:积分后的结果求导看是否等于被积函数验证积分的方法:积分后的结果求导看是否等于被积函数任意常数任意常数被积表达式被积表达式积分号
5、积分号积分变量积分变量 CxFdxxf)()(为被积函数为被积函数)(xf211dxx1、求解解由于由于 ,21(arctan)1xx所以所以 的一个原函数,的一个原函数,21arctan1xx是2arctan1dxxCx故 1d xx2、求所以所以1ln|,(0).dxxCxx1ln|xx解解因为因为由不定积分的定义,可知由不定积分的定义,可知,)()(dxxfdxxfd 结论:结论:微分运算与积分的运算是微分运算与积分的运算是的的.三、不定积分的性质.)()(CxFxdF或或 ),()(xfdxxfdxd 1、,)()(CxFdxxF2、)()()(.03kdxxfkdxxkfdxxgdx
6、xfdxxgxf)()()()(.4 设曲线通过点(设曲线通过点(2 2,5 5),且其上任一点处的切线),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线方程斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线方程.,22 Cxxdx解设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知,2xdxdy,)(2Cxxf .由曲线通过点(由曲线通过点(2 2,5 5),1 c所求曲线方程为所求曲线方程为.12 xy代入上式,得代入上式,得函数函数的原函数的图形称为的原函数的图形称为的的积分曲线积分曲线显然,求不定积分得到一积分曲线族显然,求不定积分得到一积分曲线族.)(xf)(xf基本积分表基本积分表
7、 P94 (1)0(2)(3)(1)1(4)(5)(6)xxdxkdxx dxdxxe dxa dx 22221(7)11(8)1(9)sin(10)cos(11)sec(12)csc(13)sec tan(14)csc cotdxxdxxxdxxdxxdxxdxxxdxxxdxCkxC111xCln xCxeClnxaCaarctan xCarcsin xCcosxC sin xCtan xCcot xC secxCcscxC arccot xC arccosxC 不定积分的计算方法不定积分的计算方法 直接积分法、换元积分法、分部积分法直接积分法、换元积分法、分部积分法第一类换元积分法第一类
8、换元积分法第二类换元积分法第二类换元积分法3.2 不定积分的计算不定积分的计算3(1)dxx3x dx212Cx 3 13 1xC 2(2)xxdx7227x52x dx512521xC不能漏写不能漏写积分常数积分常数一、直接积分法一、直接积分法 例题:例题:CCeedxexx)ln()()(222原式原式Cexx122lndxexx23、)(22315(5)3sin 2(1)3 1x dxxxx223111153 sin2311dxdxdxxdxxxx3cos x5ln|xC1arcsin3x3arctan2x22sin31()2cossinxdxxx222()3xxdxx1cos3tanc
9、ot2xxxC 3112()2ln|3ln2ln3 3xxxC42(6)1xdxx421 11xdxx 222(1)(1)11xxdxx221(1)1xdxx 2211x dxdxdxx31arctan3xxxC 2(7)tan xdx2(sec1)xdx2sec xdxdxtanxxC22cos2sincosxdxxx解解 原式原式 2211sincosdxxx22cscsecxx dxcottanxxC 2222cossinsincosxxdxxxdxxx22sincos1练习练习:222222cossincossin(cscsec)tancotxxdxxxxx dxxxC1(2)()dd
10、xx21(3)()1ddxx在括号中填入适当的函数,使等式成立在括号中填入适当的函数,使等式成立arctan xln xxdxd2cos)()4(x2sin21dxd5)()1(x53.2、换元积分法、换元积分法xdx5sin该复合函数不能直接积分该复合函数不能直接积分sincosxdxxC 我们有我们有形式不一致形式不一致公式公式被积函数被积函数 不能变不能变,x5sin变积分变量变积分变量)5(5sin515sinxxdxdxxu 5令udusin51dx形形式式凑凑成成)(xd 5Cu cos51Cx 5cos51)5(51xddx 22214 csc 2cossindxxdxxxdxx
11、x22sincos1214csc 222xd x22 csc2cot2cot2uduuCxC 2ux若被积表达式能凑成如下形式:若被积表达式能凑成如下形式:一般地,要求一般地,要求()g x dx积积分分,又不能直接利用公式又不能直接利用公式 ()()fxx dx 令令()()uxf u du CxF )(还原还原即即()g x dx ()()fxdx 因此,这种计算不定积分的方法又称为因此,这种计算不定积分的方法又称为凑微分法,凑微分法,积分公式积分公式CuF)(注意:使用此公式的关键在于从被积函数中分离出使用此公式的关键在于从被积函数中分离出因子因子)()(xddxx结合凑成微分结合凑成微
12、分与与该方法利用复合函数微分的逆过程该方法利用复合函数微分的逆过程)5(5sin515sinxxdxdx2214 csc 24csc 2(2)2xdxxdx22sincossin(sin)xxdxxdxudusin51duuxu2sin2ux22 csc uduxu 5令几个常用的三角公式几个常用的三角公式21 cos 2sin,2xx21 cos 2cos2xx1sinsincoscos21coscoscoscos21sincossinsin2)sin()sin(sincos21dxxx21)(21xd利用利用 凑出凑出 dxx与与)(2121xdxdxdxxex211xeC 1ux)(xd
13、dxx112)(xdex11原原式式cedueuu例:例:)(221121xdx原式原式Cx23213221)(.Cx232131)(duu2121xu22(arcsin)1dxxx1arcsinCx arcsinuxxdxxtansec2xutanCx2tan2)(arcsin xddxx211duu21)(tantanxdxCuduu22dxxx12)(1212xdxdx解解:)(1112122xdx原原式式Cx1212lndxxx)cos(2)(221xdxdx 解解:)()cos(2221xdx原原式式Cx)sin(221例 求求.2cos3cos xdxx解),cos()cos(21
14、coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx 22xadx22xadx21)(axadx原原式式21)()(axaxdCax arcsin)(22221axadxxadx原式原式)()(21axaaxdCaxaarctan1例 求证求证.cotcsclncscCxxxdx解(一)dxxsin1 xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxCx 2tanln.cotcsclnCxx (使用了三角函数恒等变形)xdxcsc解(
15、二)dxxsin1 dxxx2sinsin)(coscos112xdxxucos duu211)(duuduu111121.cos1cos1ln21Cxx )(uuu111121112Cuu1121ln.tanseclnsecCxxxdxdxxdxx)csc(sec2 由上题结果可知由上题结果可知Cxx)cot()csc(ln22 Cxxtansecln类似地可推出类似地可推出;tanseclnsec)15(Cxxxdx;cotcsclncsc)16(Cxxxdx;arctan11)17(22Caxadxxa;arcsin1)18(22Caxdxxa补充公示补充公示2、第二换元法、第二换元法
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