高三数学一轮复习课件2:87-立体几何中的向量方法(二)-求空间角和距离.ppt
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- 数学 一轮 复习 课件 87 立体几何 中的 向量 方法 空间 距离
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1、第八章第八章 立体几何立体几何8.7 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法(二二)求空间角和距离求空间角和距离【知识梳理知识梳理】1.(1)异面直线所成角的求法异面直线所成角的求法设设a,b分别是两异面直线分别是两异面直线l1,l2的方向向量的方向向量,则则a与与b的夹角的夹角l1与与l2所成的角所成的角范围范围0,求法求法cos=|cos|=(0,2cos|a ba b|a ba b(2)直线和平面所成角的求法直线和平面所成角的求法:如图所示如图所示,设直线设直线l的方向向量为的方向向量为e,平面平面的法向量为的法向量为n,直线直线l与平面与平面所成的角为所成的角为,两向量两向量e与与n
2、的夹角为的夹角为,则有则有sin=|cos|=.|e ne n(3)二面角的求法二面角的求法:a.如图如图,AB,CD是二面角是二面角-l-两个半平面内与两个半平面内与棱棱l垂直的直线垂直的直线,则二面角的大小则二面角的大小=.b.如图如图,n1,n2分别是二面角分别是二面角-l-的两个半平面的两个半平面,的法向量的法向量,则二面角的大小则二面角的大小满足满足cos=_或或_.AB,CD cos-cos2.(1)利用利用 可以求空间中有向线段的长度可以求空间中有向线段的长度(2)点面距离的求法点面距离的求法.已知已知AB为平面为平面的一条斜线段,的一条斜线段,n为平面为平面的法向量,则的法向量
3、,则B到平面到平面的距离为的距离为 .2|AB|AB AB|BO|AB|cosAB|,n|AB|nn3.(1)常用方法常用方法:利用向量求异面直线所成角、线面角、二面角及空间距利用向量求异面直线所成角、线面角、二面角及空间距离的方法离的方法.(2)数学思想数学思想:转化与化归、数形结合、函数与方程转化与化归、数形结合、函数与方程.考点考点1 向量法求异面直线所成的角向量法求异面直线所成的角【典例典例1】(1)(2015上饶模拟上饶模拟)如图所示如图所示,已知三棱已知三棱柱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等的所有棱长都相等,且且AA1面面ABC,M是侧棱是侧棱CC1的中点的中点,则异面直线则
4、异面直线AB1和和BM所成的角所成的角的大小是的大小是.(2)(2015岳阳模拟岳阳模拟)如图如图,已知两个正四棱锥已知两个正四棱锥P-ABCD与与Q-ABCD的高分别为的高分别为1,2,AB=4.证明证明:PQ平面平面ABCD.求异面直线求异面直线AQ与与PB所成角的余弦值所成角的余弦值.【解答解答】(1)不妨设棱长为不妨设棱长为2,选择基底,选择基底则则故异面直线故异面直线AB1和和BM所成的角的大小是所成的角的大小是90.答案:答案:901BA BB BC ,1111ABBBBA BM BCBB2 ,1111(BBBA)(BCBB)2cosAB BM2 25022002 25 ,(2)如
5、图如图,连接连接AC,BD,设设ACBD=O,连接连接OP,OQ.因为因为P-ABCD与与Q-ABCD都是正四棱锥都是正四棱锥,所以所以PO平平面面ABCD,QO平面平面ABCD.从而从而P,O,Q三点在一条直线上三点在一条直线上,所以所以PQ平面平面ABCD.由题设知由题设知,四边形四边形ABCD是正方形是正方形,所以所以ACBD.由知由知,PQ平面平面ABCD,故可分别以故可分别以CA,DB,QP为为x,y,z轴建立空间轴建立空间直角坐标系直角坐标系O-xyz,由条件得由条件得P(0,0,1),A(2 ,0,0),Q(0,0,-2),B(0,2 ,0),所以所以于是于是 从而异面直线从而异
6、面直线AQ与与PB所成角的余弦值为所成角的余弦值为 .22AQ(2 2,02),PB0,2 2,1.,|AQ PB|3|cosAQ,PB|.9|AQ|PB|39【规律方法规律方法】1.向量法求异面直线所成角的思路及关注点向量法求异面直线所成角的思路及关注点(1)思路思路:选好基底或建立空间直角坐标系选好基底或建立空间直角坐标系;求出两直线的方向向求出两直线的方向向量量v1,v2;代入公式代入公式|cos|=求解求解.(2)关注点关注点:两异面直线所成角的范围是两异面直线所成角的范围是(0,两向量的夹角两向量的夹角的的范围是范围是0,当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时当异面直线的方向向量的
7、夹角为锐角或直角时,就是该就是该异面直线的夹角异面直线的夹角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是其补角才是异面直线的夹角异面直线的夹角.1212|v vvv22.建立空间直角坐标系的策略建立空间直角坐标系的策略(1)一般来说一般来说,如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时条直线时,就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系.(2)如果不存在这样的三条直线如果不存在这样的三条直线,则应尽可能找两条垂直相交的直线则应尽可能找两条垂直相交的直线,以以其
8、为两条坐标轴建立空间直角坐标系其为两条坐标轴建立空间直角坐标系,即坐标系建立时以其中的垂直即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点相交直线为基本出发点.(3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系,在没有现成的垂直关在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系系时要通过其他已知条件得到垂直关系.考点考点2 向量法求直线与平面所成的角向量法求直线与平面所成的角【典例典例2】(2014福建高考福建高考)在平面四边形在平面四边形ABCD中中,AB=BD=CD=1,ABBD,CDBD.将将ABD沿沿BD折起折起,使使得平面得平面ABD平面平面BCD,
9、如图如图.(1)求证求证:ABCD.(2)若若M为为AD中点中点,求直线求直线AD与平面与平面MBC所成角的正弦值所成角的正弦值.【解答解答】(1)因为平面因为平面ABD平面平面BCD,平面平面ABD平面平面BCD=BD,AB平面平面ABD,ABBD,所以所以AB平面平面BCD.又又CD平面平面BCD,所以所以ABCD.(2)过点过点B在平面在平面BCD内作内作BEBD,如图如图.由由(1)知知AB平面平面BCD,BE平面平面BCD,BD平面平面BCD,所以所以ABBE,ABBD.以以B为坐标原点为坐标原点,分别以分别以 的方向为的方向为x轴轴,y轴轴,z轴的正方向建立轴的正方向建立空间直角坐
10、标系空间直角坐标系.BE BD BA ,依题意,得依题意,得B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),则则设平面设平面MBC的法向量的法向量n=(x0,y0,z0),则则 即即1 1M(0,),2 21 1BC1,1,0,BM(0,),AD0,1,1.2 2 BC0,BM0,nn0000 xy0,11yz0,22取取z0=1,得平面得平面MBC的一个法向量的一个法向量n=(1,-1,1).设直线设直线AD与平面与平面MBC所成角为所成角为,则则即直线即直线AD与平面与平面MBC所成角的正弦值为所成角的正弦值为 .|AD|6sin|cos,AD|,3|AD|nnn6
11、3【易错警示易错警示】解答本题有三点容易出错解答本题有三点容易出错:(1)在第在第(1)问证明问证明ABCD时时,易忽视交待面面垂直性质定理的条件及易忽视交待面面垂直性质定理的条件及CD平面平面BCD.(2)将相关点将相关点,相关向量的坐标及平面的法向量计算错相关向量的坐标及平面的法向量计算错.(3)将直线的方向向量与平面的法向量的夹角误认为直线与平面所成将直线的方向向量与平面的法向量的夹角误认为直线与平面所成的角的角.【规律方法规律方法】1.平面法向量的求法平面法向量的求法若要求出一个平面的法向量的坐标若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系一般要建立空间直角坐标系,然后用待
12、定系数法求解然后用待定系数法求解,一般步骤如下一般步骤如下:设平面的法向量为设平面的法向量为n=(x,y,z).(1)找出找出(求出求出)平面内的两个不共线的向量平面内的两个不共线的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).(2)根据法向量的定义建立关于根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组的方程组(3)解方程组解方程组,取其中的一组解取其中的一组解,即得法向量即得法向量.0,0.n an b2.向量法求线面角的两大途径向量法求线面角的两大途径(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两转化为求两个方向向量的夹
13、角个方向向量的夹角(或其补角或其补角).(2)通过平面的法向量来求通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角取其余角就是斜线和平面所成的角.提醒提醒:在求平面的法向量时在求平面的法向量时,若能找出平面的垂线若能找出平面的垂线,则垂线上取两个点可则垂线上取两个点可构成一个法向量构成一个法向量.考点考点3 向量法计算与应用二面角的大小向量法计算与应用二面角的大小知知考情考情利用空间向量计算与应用二面角大小利用空间向量计算与应用二面角大小,是高考考查空间角的一个是高考考查空间角的一个热点考向热点考向,
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