高三数学一轮复习课件2：87-立体几何中的向量方法(二)-求空间角和距离.ppt

1、第八章第八章 立体几何立体几何8.7 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法(二二)求空间角和距离求空间角和距离【知识梳理知识梳理】1.(1)异面直线所成角的求法异面直线所成角的求法设设a,b分别是两异面直线分别是两异面直线l1,l2的方向向量的方向向量,则则a与与b的夹角的夹角l1与与l2所成的角所成的角范围范围0,求法求法cos=|cos|=(0,2cos|a ba b|a ba b(2)直线和平面所成角的求法直线和平面所成角的求法:如图所示如图所示,设直线设直线l的方向向量为的方向向量为e,平面平面的法向量为的法向量为n,直线直线l与平面与平面所成的角为所成的角为,两向量两向量e与与n

2、的夹角为的夹角为,则有则有sin=|cos|=.|e ne n(3)二面角的求法二面角的求法:a.如图如图,AB,CD是二面角是二面角-l-两个半平面内与两个半平面内与棱棱l垂直的直线垂直的直线,则二面角的大小则二面角的大小=.b.如图如图,n1,n2分别是二面角分别是二面角-l-的两个半平面的两个半平面,的法向量的法向量,则二面角的大小则二面角的大小满足满足cos=_或或_.AB,CD cos-cos2.(1)利用利用 可以求空间中有向线段的长度可以求空间中有向线段的长度(2)点面距离的求法点面距离的求法.已知已知AB为平面为平面的一条斜线段，的一条斜线段，n为平面为平面的法向量，则的法向量

3、，则B到平面到平面的距离为的距离为 .2|AB|AB AB|BO|AB|cosAB|，n|AB|nn3.(1)常用方法常用方法:利用向量求异面直线所成角、线面角、二面角及空间距利用向量求异面直线所成角、线面角、二面角及空间距离的方法离的方法.(2)数学思想数学思想:转化与化归、数形结合、函数与方程转化与化归、数形结合、函数与方程.考点考点1 向量法求异面直线所成的角向量法求异面直线所成的角【典例典例1】(1)(2015上饶模拟上饶模拟)如图所示如图所示,已知三棱已知三棱柱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等的所有棱长都相等,且且AA1面面ABC,M是侧棱是侧棱CC1的中点的中点,则异面直线则

4、异面直线AB1和和BM所成的角所成的角的大小是的大小是.(2)(2015岳阳模拟岳阳模拟)如图如图,已知两个正四棱锥已知两个正四棱锥P-ABCD与与Q-ABCD的高分别为的高分别为1,2,AB=4.证明证明:PQ平面平面ABCD.求异面直线求异面直线AQ与与PB所成角的余弦值所成角的余弦值.【解答解答】(1)不妨设棱长为不妨设棱长为2，选择基底，选择基底则则故异面直线故异面直线AB1和和BM所成的角的大小是所成的角的大小是90.答案：答案：901BA BB BC ，1111ABBBBA BM BCBB2 ，1111(BBBA)(BCBB)2cosAB BM2 25022002 25 ，(2)如

5、图如图,连接连接AC,BD,设设ACBD=O,连接连接OP,OQ.因为因为P-ABCD与与Q-ABCD都是正四棱锥都是正四棱锥,所以所以PO平平面面ABCD,QO平面平面ABCD.从而从而P,O,Q三点在一条直线上三点在一条直线上,所以所以PQ平面平面ABCD.由题设知由题设知,四边形四边形ABCD是正方形是正方形,所以所以ACBD.由知由知,PQ平面平面ABCD,故可分别以故可分别以CA,DB,QP为为x,y,z轴建立空间轴建立空间直角坐标系直角坐标系O-xyz,由条件得由条件得P(0,0,1),A(2 ,0,0),Q(0,0,-2),B(0,2 ,0),所以所以于是于是 从而异面直线从而异

6、面直线AQ与与PB所成角的余弦值为所成角的余弦值为 .22AQ(2 2,02),PB0,2 2,1.，|AQ PB|3|cosAQ,PB|.9|AQ|PB|39【规律方法规律方法】1.向量法求异面直线所成角的思路及关注点向量法求异面直线所成角的思路及关注点(1)思路思路:选好基底或建立空间直角坐标系选好基底或建立空间直角坐标系;求出两直线的方向向求出两直线的方向向量量v1,v2;代入公式代入公式|cos|=求解求解.(2)关注点关注点:两异面直线所成角的范围是两异面直线所成角的范围是(0,两向量的夹角两向量的夹角的的范围是范围是0,当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时当异面直线的方向向量的

7、夹角为锐角或直角时,就是该就是该异面直线的夹角异面直线的夹角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是其补角才是异面直线的夹角异面直线的夹角.1212|v vvv22.建立空间直角坐标系的策略建立空间直角坐标系的策略(1)一般来说一般来说,如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时条直线时,就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系.(2)如果不存在这样的三条直线如果不存在这样的三条直线,则应尽可能找两条垂直相交的直线则应尽可能找两条垂直相交的直线,以以其

8、为两条坐标轴建立空间直角坐标系其为两条坐标轴建立空间直角坐标系,即坐标系建立时以其中的垂直即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点相交直线为基本出发点.(3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系,在没有现成的垂直关在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系系时要通过其他已知条件得到垂直关系.考点考点2 向量法求直线与平面所成的角向量法求直线与平面所成的角【典例典例2】(2014福建高考福建高考)在平面四边形在平面四边形ABCD中中,AB=BD=CD=1,ABBD,CDBD.将将ABD沿沿BD折起折起,使使得平面得平面ABD平面平面BCD,

9、如图如图.(1)求证求证:ABCD.(2)若若M为为AD中点中点,求直线求直线AD与平面与平面MBC所成角的正弦值所成角的正弦值.【解答解答】(1)因为平面因为平面ABD平面平面BCD,平面平面ABD平面平面BCD=BD,AB平面平面ABD,ABBD,所以所以AB平面平面BCD.又又CD平面平面BCD,所以所以ABCD.(2)过点过点B在平面在平面BCD内作内作BEBD,如图如图.由由(1)知知AB平面平面BCD,BE平面平面BCD,BD平面平面BCD,所以所以ABBE,ABBD.以以B为坐标原点为坐标原点,分别以分别以 的方向为的方向为x轴轴,y轴轴,z轴的正方向建立轴的正方向建立空间直角坐

10、标系空间直角坐标系.BE BD BA ，依题意，得依题意，得B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),则则设平面设平面MBC的法向量的法向量n=(x0,y0,z0),则则 即即1 1M(0,),2 21 1BC1,1,0,BM(0,),AD0,1,1.2 2 BC0,BM0，nn0000 xy0,11yz0,22取取z0=1,得平面得平面MBC的一个法向量的一个法向量n=(1,-1,1).设直线设直线AD与平面与平面MBC所成角为所成角为,则则即直线即直线AD与平面与平面MBC所成角的正弦值为所成角的正弦值为 .|AD|6sin|cos,AD|,3|AD|nnn6

11、3【易错警示易错警示】解答本题有三点容易出错解答本题有三点容易出错:(1)在第在第(1)问证明问证明ABCD时时,易忽视交待面面垂直性质定理的条件及易忽视交待面面垂直性质定理的条件及CD平面平面BCD.(2)将相关点将相关点,相关向量的坐标及平面的法向量计算错相关向量的坐标及平面的法向量计算错.(3)将直线的方向向量与平面的法向量的夹角误认为直线与平面所成将直线的方向向量与平面的法向量的夹角误认为直线与平面所成的角的角.【规律方法规律方法】1.平面法向量的求法平面法向量的求法若要求出一个平面的法向量的坐标若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系一般要建立空间直角坐标系,然后用待

12、定系数法求解然后用待定系数法求解,一般步骤如下一般步骤如下:设平面的法向量为设平面的法向量为n=(x,y,z).(1)找出找出(求出求出)平面内的两个不共线的向量平面内的两个不共线的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).(2)根据法向量的定义建立关于根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组的方程组(3)解方程组解方程组,取其中的一组解取其中的一组解,即得法向量即得法向量.0,0.n an b2.向量法求线面角的两大途径向量法求线面角的两大途径(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两转化为求两个方向向量的夹

13、角个方向向量的夹角(或其补角或其补角).(2)通过平面的法向量来求通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角取其余角就是斜线和平面所成的角.提醒提醒:在求平面的法向量时在求平面的法向量时,若能找出平面的垂线若能找出平面的垂线,则垂线上取两个点可则垂线上取两个点可构成一个法向量构成一个法向量.考点考点3 向量法计算与应用二面角的大小向量法计算与应用二面角的大小知知考情考情利用空间向量计算与应用二面角大小利用空间向量计算与应用二面角大小,是高考考查空间角的一个是高考考查空间角的一个热点考向热点考向,

14、常与线线、线面、面面位置关系等知识综合以解答题第常与线线、线面、面面位置关系等知识综合以解答题第(2)或或(3)问的形式出现问的形式出现.明明角度角度命题角度命题角度1:计算二面角的大小计算二面角的大小【典例典例3】(2014山东高考山东高考)如图如图,在四棱柱在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中中,底面底面ABCD是等腰梯形是等腰梯形,DAB=60,AB=2CD=2,M是线段是线段AB的中点的中点.(1)求证求证:C1M平面平面A1ADD1.(2)若若CD1垂直于平面垂直于平面ABCD且且CD1=,求平面求平面C1D1M和平面和平面ABCD所成所成的角的角(锐角锐角)的余弦值的余弦值.3【解

15、答解答】(1)连接连接AD1,因为因为ABCD-A1B1C1D1为四棱柱为四棱柱,所以所以CDC1D1,CD=C1D1,又因为又因为M为为AB的中点的中点,AB=2CD=2,所以所以AM=1,所以所以CDAM,CD=AM,所以所以AMC1D1,AM=C1D1,所以四边形所以四边形AMC1D1为平行四边形为平行四边形,所以所以AD1MC1,又因为又因为C1M 平面平面A1ADD1,AD1平面平面A1ADD1,所以所以C1M平面平面A1ADD1.(2)因为因为ABA1B1,A1B1C1D1,所以平面所以平面D1C1M与与ABC1D1共面共面,作作CNAB,连接连接D1N,则则D1NC即为所求二面角

16、的平面角即为所求二面角的平面角,在四边形在四边形ABCD中中,DC=1,AB=2,DAB=60,所以所以CN=,32在在RtD1CN中，中，所以所以D1N=,所以所以cosD1NC=13CD3,CN,21521CN5.D N5令令y1=2,所以所以n1=(0,2,1),显然平面显然平面ABCD的法向量为的法向量为n2=(0,0,1),所以所以显然二面角为锐二面角，显然二面角为锐二面角，所以平面所以平面C1D1M和平面和平面ABCD所成角的余弦值为所成角的余弦值为12121215cos,|55，n nn nnn5.5命题角度命题角度2:应用二面角的大小或范围应用二面角的大小或范围【典例典例4】(

17、2014新课标全国卷新课标全国卷)如图如图,四棱锥四棱锥P-ABCD中中,底面底面ABCD为矩形为矩形,PA平面平面ABCD,E为为PD的中点的中点.(1)证明证明:PB平面平面AEC.(2)设二面角设二面角D-AE-C为为60,AP=1,AD=,求三棱锥求三棱锥E-ACD的体积的体积.3【解答解答】(1)连接连接BD,设设AC与与BD的交点为的交点为G,则则G为为CA,BD的中点的中点,连连接接EG.在三角形在三角形PBD中中,中位线中位线EGPB,且且EG在平面在平面AEC内内,所以所以PB平平面面AEC.(2)设设CD=m,分别以分别以AB,AD,AP所在直线为所在直线为x,y,z轴建立

18、空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系,则则A(0,0,0),D(0,0),所以所以33 1E(0,),C(m3,0).22，3 1AD0,3,0,AE(0,),AC(m,3,0).22 设平面设平面ADE的法向量为的法向量为n1=(x1,y1,z1),则则解得一个解得一个n1=(1,0,0).同理设平面同理设平面ACE的法向量为的法向量为n2=(x2,y2,z2),则则解得一个解得一个11AD0,AE0,nn22AC0,AE0,nn2(3m,3m).，n因为因为=解得解得m=.设设F为为AD的中点，连接的中点，连接EF，则，则PAEF,且且EF=,EF平面平面ACD,所以所以EF为三棱锥为三棱锥

19、E-ACD的高的高.所以所以所以三棱锥所以三棱锥E-ACD的体积为的体积为 121212|cos 60|cos,|n nn nnn2231,23m3m32AP122E ACDACD11131VSEF3332223.83.8悟悟技法技法1.利用向量法计算二面角大小的常用方法利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法找法向量法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际但要注意结合实际图形判断所求角的大小图形判断所求角的大小.(2)找与棱

20、垂直的方向向量法找与棱垂直的方向向量法:分别在二面角的两个半平面内找到与棱分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小面角的大小.2.向量法应用二面角大小向量法应用二面角大小(范围范围)的技巧的技巧建立恰当的空间直角坐标系建立恰当的空间直角坐标系,将两平面的法向量用与待求相关的参数将两平面的法向量用与待求相关的参数(字母字母)表示表示,利用两向量的夹角公式构建方程或不等式或函数利用两向量的夹角公式构建方程或不等式或函数,进而求进而求解解.考点考点4 向量法计算空间距离向量法计算

21、空间距离【典例典例5】(1)(2013北京高考北京高考)如图如图,在棱长为在棱长为2的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中中,E为为BC的中点的中点,点点P在线段在线段D1E上上,点点P到直线到直线CC1的的距离的最小值为距离的最小值为.(2)已知已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为是底面边长为1的正四棱柱的正四棱柱,O1是是A1C1和和B1D1的的交点交点.若点若点C到平面到平面AB1D1的距离为的距离为 ,求正四棱柱求正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的的高高.43【解答解答】(1)方法一：如图，建立空间直角坐标系方法一：如图，建立空间直角坐标系D-xyz，则则D1(0,0,2

22、)，E(1,2,0)，=(-1,-2,2).设设P(x,y,z),0,1,则则 =(x-1,y-2,z).所以所以(x-1,y-2,z)=(-1,-2,2).1ED 1EPED,EP解得解得x=1-,y=2-2,z=2P(1-,2-2,2)设点设点P在直线在直线CC1上的垂足为上的垂足为Q，得，得Q(0,2,2),当当=时，时，答案：答案：22214PQ145().55 15min2 5PQ5 2 55方法二方法二:取取B1C1的中点的中点E1,连接连接D1E1,E1E,则则CC1平面平面D1EE1.所以点所以点P到直线到直线CC1的距离的的距离的最小值即为最小值即为CC1与平面与平面D1EE

23、1的距离的距离.过点过点C1作作C1FD1E1于于F,线段线段C1F的长即为所求的长即为所求.在直角在直角C1D1E1中中,C1F=答案答案:2 5.52 55(2)建立如图空间直角坐标系，设建立如图空间直角坐标系，设AA1=h,有有A(0,0,h),B1(1,0,0),D1(0,1,0)，C(1,1,h).=(1,0,-h),=(0,1,-h),=(1,1,0).设平面设平面AB1D1的一个法向量为的一个法向量为n=(x,y,z),因为因为 所以所以所以所以 取取z=1，得，得n=(h,h,1),所以点所以点C到平面到平面AB1D1的距离为的距离为1AB 1AD AC 11ABAD,，nn1

24、1AB0,AD0,nnxhz0yhz0.22|AC|hh04d,h2.|3hh1 则nn【规律方法规律方法】1.空间中两点间的距离的求法空间中两点间的距离的求法两点间的距离就是以这两点为端点的向量的模两点间的距离就是以这两点为端点的向量的模.因此因此,要求两点间的距要求两点间的距离除了使用距离公式外离除了使用距离公式外,还可转化为求向量的模还可转化为求向量的模.2.求点求点P到平面到平面的距离的三个步骤的距离的三个步骤:(1)在平面在平面内取一点内取一点A,确定向量确定向量 的坐标的坐标.(2)确定平面确定平面的法向量的法向量n.(3)代入公式代入公式d=求解求解.PA|PA|nn【解析解析】

25、取取CD中点中点O,连接连接OB,OM,则则OBCD,OMCD.又平面又平面MCD平面平面BCD,则则MO平面平面BCD.取取O为原点为原点,直线直线OC,BO,OM为为x轴、轴、y轴、轴、z轴轴,建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系.OB=OM=,则各点坐标分别为则各点坐标分别为C(1，0，0)，M(0，0，)，B(0，-，0)，A(0，-，2 ).33333设设n=(x,y,z)是平面是平面MBC的法向量，的法向量，由由n ,得得x+y=0;由由n ,得得取取n=(,-1,1),=(0,0,2 ),则则答案：答案：BC 3BM3y3z0.3BA 3|BA|2 32 15

26、d.|55 nn2 155BC=(13 0)BM=(033)，则则把握规则争取满分把握规则争取满分1.恰当建系恰当建系,准确确定相关点的坐标准确确定相关点的坐标在解题过程中在解题过程中,要充分利用题设中的垂直关系要充分利用题设中的垂直关系,尽量使相关点在轴上尽量使相关点在轴上,建建立空间直角坐标系立空间直角坐标系,看清题目中给出的各线段的长度看清题目中给出的各线段的长度,根据图形的性质根据图形的性质,准确求出相关点的坐标准确求出相关点的坐标.2.准确求出直线的方向向量或平面的法向量准确求出直线的方向向量或平面的法向量在解题过程中在解题过程中,应熟练运用求方向向量及法向量的方法应熟练运用求方向向量及法向量的方法,准确计算准确计算,如本例中如本例中,n,n1,n2的坐标的坐标.确定一定要准确定一定要准,否则前功尽弃否则前功尽弃.3.关注所求为空间的什么角及范围关注所求为空间的什么角及范围解题过程中解题过程中,要随时关注是二面角还是线面角要随时关注是二面角还是线面角,特别求特别求cos后后应结合实际验证二面角的具体取值如何应结合实际验证二面角的具体取值如何,如本例如本例(3).BE DC ，