空间向量在立体几何中的应用(优秀经典公开课比赛课件).ppt

1、返回目录返回目录 1.1.平面的法向量平面的法向量 直线直线l，取直线，取直线l的的 ，则，则 叫叫做平面做平面的法向量的法向量.2.直线直线l的方向向量是的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面，平面的法向的法向量量v=(a2,b2,c2),则则l .方向向量方向向量a 向量向量a uv=0 a1a2+b1b2+c1c2=0 返回目录返回目录 3.设直线设直线l的方向向量是的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面，平面的法的法向量向量v=(a2,b2,c2),则则l .若平面若平面的法向量的法向量u=(a1,b1,c1)，平面，平面的法向量的法向量v=(a2,b2,c2)，则，则 .4.

2、4.空间的角空间的角 (1)若异面直线若异面直线l1和和l2的方向向量分别为的方向向量分别为u1和和u2，l1与与l2所成的角为所成的角为，则，则cos=.uv (a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2)a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2 uv=0 uv a1a2+b1b2+c1c2=0|cos|(2)已知直线已知直线l的方向向量为的方向向量为v,平面平面的法向量为的法向量为u,l与与的的夹角为夹角为，则，则sin=.(3)已知二面角已知二面角l的两个面的两个面和和的法向量分别为的法向量分别为v,u,则则与该二面角与该二面角 .5.空间的距离 (1)一个点到它在一个平面内一个点到它在一

3、个平面内 的距离，叫做的距离，叫做点到这个平面的距离点到这个平面的距离.(2)已知直线已知直线l平行平面平行平面，则，则l上任一点到上任一点到的距离的距离都都 ，且叫做，且叫做l到到的距离的距离.返回目录返回目录|cos|相等或互补相等或互补 正射影正射影 相等相等 (3)和两个平行平面同时和两个平行平面同时 的直线，叫做两的直线，叫做两个平面的公垂线个平面的公垂线.公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的个平面的 .两平行平面的任两条公垂线段的长两平行平面的任两条公垂线段的长都相等，公垂线段的都相等，公垂线段的 叫做两平行平面的距离，叫做两平行平面的距离，

4、也是一个平面内任一点到另一个平面的距离也是一个平面内任一点到另一个平面的距离.(4)若平面若平面的一个的一个 为为m，P是是外一外一点，点，A是是内任一点，则点内任一点，则点P到到的距离的距离d=.返回目录返回目录 垂直垂直 公垂线段公垂线段 长度长度 法向量法向量|m m|PAmPAm|返回目录返回目录 例例1 如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，中，PA平面平面ABCD，底面底面ABCD为矩形，且为矩形，且PA=AD，E,F分别为线段分别为线段AB,PD的中点的中点.求证：求证：(1)AF平面平面PEC;(2)AF平面平面PCD.返回目录返回目录 以以A为原点，为原点，AB,AD,A

5、P分别为分别为x轴，轴，y轴，轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示轴建立空间直角坐标系，如图所示.设设AB=a,PA=AD=1,则则P(0,0,1),C(a,1,0),E(,0,0),D(0,1,0),F(0,).(1)AF=(0,),EP=(-,0,1),EC=(,1,0),AF=EP+EC,又又AF平面平面PEC,AF平面平面PEC.可用空间向量的坐标运算来证明可用空间向量的坐标运算来证明.2 2a a2 21 12 21 12 21 12 21 12 2a a2 2a a2 21 12 21 1返回目录返回目录 用向量证明线面平行时，最后应说明向量用向量证明线面平行时，最后应说明向量所在

6、的基线不在平面内所在的基线不在平面内.(2)PD=（0,1,-1）,CD=(-a,0,0),AFPD=(0,)(0,1,-1)=0,AFCD=(0,)(-a,0,0)=0,AFPD,AFCD，又，又PDCD=D,AF平面平面PCD.2 21 12 21 12 21 12 21 1如图如图,在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中中,E,F,M分别为分别为棱棱BB1,CD,AA1的中点的中点.证证明：明：(1)C1M平面平面ADE；(2)平面平面ADE平面平面A1D1F.返回目录返回目录（1）以）以D为原点，为原点，DA,DC,DD1分别为分别为x轴，轴，y轴轴,z轴建轴建立坐标系如图，设正方

7、体的棱长为立坐标系如图，设正方体的棱长为1.则则DA=(1,0,0),DE=(1,1,),C1M=(1,-1,-).设平面设平面ADE的法向量为的法向量为m=(a,b,c),则则 mDA=0 a=0 mDE=0 a+b+c=0.令令c=2，得，得m=(0,-1,2).mC1M=(0,-1,2)(1,-1,-)=0+1-1=0,C1Mm.又又C1M平面平面ADE,C1M平面平面ADE.返回目录返回目录 2 21 12 21 12 21 12 21 1(2)D1A1=(1,0,0),D1F=(0,-1),设平面设平面A1D1F的法向量为的法向量为n=(x,y,z),则则 nD1A1=0 x=0 n

8、D1F=0 y-z=0.令令y=2，则，则n=(0,2,1).mn=(0,-1,2)(0,2,1)=0-2+2=0,mn.平面平面ADE平面平面A1D1F.返回目录返回目录 2 21 12 21 1返回目录返回目录 例例2 如图所示，已知点如图所示，已知点P在正方体在正方体ABCD-ABCD的对角线的对角线BD上，上，PDA=60.(1)求求DP与与CC所成角的大小；所成角的大小；(2)求求DP与平面与平面AA DD所成角的大小所成角的大小建立空间直角坐标系，利用空间向量方法求解建立空间直角坐标系，利用空间向量方法求解.返回目录返回目录 如图所示，以如图所示，以D为原点，为原点，DA为单位长度

9、建为单位长度建立空间直角坐标系立空间直角坐标系Dxyz.则则DA=(1,0,0),CC=(0,0,1).连接连接BD，BD.在平面在平面BBDD中，中，延长延长DP交交BD于于H.设设DH=（m，m，1）（）（m0）,由已知由已知=60,由由DADH=|DA|DH|cos,可得可得2m=.解得解得m=，所以，所以DH=（，1）.1 12m2m2 2+2 22 22 22 22 22 2返回目录返回目录（1）因为）因为cos=所以所以=45,即即DP与与CC所成的角为所成的角为45.（2）平面）平面AADD的一个法向量的一个法向量DC=(0,1,0).因为因为cos=所以所以=60,可得可得DP

10、与平面与平面AADD所成的角为所成的角为30.2 22 22 21 11 11 10 02 22 20 02 22 2=+2 21 12 21 10 01 11 12 22 20 02 22 2=+（1）异面直线的夹角与向量的夹角有所）异面直线的夹角与向量的夹角有所不同，应注意思考它们的区别与联系不同，应注意思考它们的区别与联系.（2）直线与平面的夹角可以转化成直线的方向向）直线与平面的夹角可以转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，由于向量方向的变化，所量与平面的法向量的夹角，由于向量方向的变化，所以要注意它们的区别与联系以要注意它们的区别与联系.返回目录返回目录 返回目录返回目录 如图，

11、四棱锥如图，四棱锥PABCD中，中，底面底面ABCD为矩形，为矩形，PD底面底面ABCD，AD=PD，E,F分别为分别为CD,PB的中点的中点.(1)求证：求证：EF平面平面PAB;(2)设设AB=BC，求，求AC与平面与平面AEF所成角的大小所成角的大小.2 2（1）证明：以）证明：以D为原点，为原点，DC,DA,DP的方向分别为的方向分别为x轴，轴，y轴，轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系轴的正方向建立空间直角坐标系.设设PD=1,AB=a，则，则C(a,0,0),A(0,1,0),P(0,0,1),E（,0,0）,B(a,1,0),F（,）.EF=（0,）,AB=(a,0,0),PA=(

12、0,1,-1).EFAB=0,EFPA=0.EFAB EFPA返回目录返回目录 2 2a a2 2a a2 21 12 21 12 21 12 21 1EF平面平面PAB.返回目录返回目录(2)AB=BC,a=.从而从而AC=(,-1,0)，AE=（,-1,0）,EF=（0,）.设平面设平面AEF的法向量为的法向量为n=(x,y,z),则则 nAE=0 x-y=0 nEF=0 y+z=0.令令x=,则则y=1,z=-1,平面平面AEF的一个法向量为的一个法向量为n=(2,1,-1).设设AC与平面与平面AEF所成角为所成角为,则则sin=|cos|=.AC与平面与平面AEF所成角为所成角为ar

13、csin .2 22 22 22 22 22 21 12 22 22 21 12 21 12 21 12 26 63 32 23 31 1|n n|A AC C|A AC Cn n|=6 63 3返回目录返回目录 例例3 如图，在正四棱柱如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中中,AA1=AB，点，点E,M分别图为分别图为A1B,C1C的中点，过的中点，过A1,B,M三点的平面三点的平面A1BMN交交C1D1于点于点N.(1)求证求证:EM平面平面A1B1C1D1;(2)求二面角求二面角BA1NB1的正切值的正切值.建立空间直角坐标系求之比较简单建立空间直角坐标系求之比较简单.2 21 1返

14、回目录返回目录 (1)证明证明:建立图所示空间直角坐标系建立图所示空间直角坐标系,设设AB=2a,AA1=a(a0)，则，则A1(2a,0,a),B(2a,2a,0),C(0,2a,0),C1(0,2a,a).E为为A1B的中点，的中点，M为为CC1的中点的中点,E（2a,a,）,M（0,2a,）.EM=(-2a,a,0).EM平面平面A1B1C1D1.2 2a a2 2a a(2)设平面设平面A1BM的法向量为的法向量为n=(x,y,z).A1B=(0,2a,-a),BM=（-2a,0,）,由由nA1B,nBM，2ay-az=0,x=,-2ax+=0.y=.令令z=a,则则n=（,a）.而平

15、面而平面A1B1C1D1的法向量为的法向量为n=(0,0,1)，设二面角为，设二面角为，则，则cos=又又二面角为锐二面角二面角为锐二面角,cos=从而从而tan=.即二面角即二面角BA1NB1的正切值为的正切值为 .2 2a a2 2azaz4 4z z2 2z z得得4 4a a2 2a a,212121214 421214 4|n n|n n|nnnn|1 11 1=,212121214 421214 4=返回目录返回目录 4 45 54 45 5返回目录返回目录 第第(2)问如果直接作二面角的平面角很复问如果直接作二面角的平面角很复杂，采用法向量起到了化繁为简的作用杂，采用法向量起到了

16、化繁为简的作用.这种求二面角这种求二面角的方法应引起我们重视的方法应引起我们重视.需要注意的是两平面法向量的需要注意的是两平面法向量的夹角可能与所求的二面角相等，也可能与所求的二面夹角可能与所求的二面角相等，也可能与所求的二面角互补，要注意所求角的范围角互补，要注意所求角的范围.返回目录返回目录 三棱锥被平行于底面三棱锥被平行于底面ABC的平面的平面所截得的几何体如图所示，截面所截得的几何体如图所示，截面为为A1B1C1，BAC=90,A1A平面平面ABC，A1A=，AB=，AC=2，A1C1=1，（1）证明：平面）证明：平面A1AD平面平面BCC1B1；（；（2）求二面角）求二面角ACC1B

17、的大小的大小.3 32 2.2 21 1DCDCBDBD=（1）如图，建立空间直角坐标系，则）如图，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），），B（，0，0），），C（0，2，0），），A1（0，0，），），C1（0，1，），），BD：DC=1：2，BD=BC,D点坐标为（点坐标为（，0）.AD=（，0），），BC=（-，2，0），），AA1=(0,0,),BCAA1=0，BCAD=0，BCAA1，BCAD，又又A1AAD=A,BC平面平面A1AD，又又BC平面平面BCC1B1，平面平面A1AD平面平面BCC1B1.返回目录返回目录 2 23 33 33 31 13 32 22 23 32 2

18、3 32 22 23 32 22 23 3（2）BA平面平面ACC1A1，取，取m=AB=（，0，0）为）为平面平面ACC1A1的一个法向量，设平面的一个法向量，设平面BCC1B1的一个法向的一个法向量为量为n=（l，m，n），则），则BCn=0，CC1n=0，-l+2m=0，l=m -m+n=0，n=m，取取m=1，则，则n=（,1,），），cos=即二面即二面ACC1B为为arccos .返回目录返回目录 2 23 33 32 23 32 22 23 33 3.5 51515)3 33 3(1 1)2 2(0 00 0)2 2(3 33 30 01 10 02 22 22 22 22 22

19、 22 22 2=+5 51515返回目录返回目录 里欧里欧4 在三棱锥在三棱锥SABC中中,ABC是边长为是边长为4的正三角形的正三角形,平面平面SAC平面平面ABC,SA=SC=2 ,M,N分别为分别为AB,SB的中点的中点,如图所示如图所示.求点求点B到平面到平面CMN的距离的距离.由平面由平面SAC平面平面ABC,SA=SC,BA=BC,可知本题可以取可知本题可以取AC中点中点O为坐标原点为坐标原点,分别以分别以OA,OB,OS所在直线为所在直线为x轴轴,y轴轴,z轴建立空间直角坐标轴建立空间直角坐标系系,用向量法求解用向量法求解.3 3返回目录返回目录 取取AC的中点的中点O,连接连

20、接OS,OB.SA=SC，AB=BC，ACSO，ACBO.平面平面SAC平面平面ABC，平面平面SAC平面平面ABC=AC，SO平面平面ABC，SOBO.如图所示，建立空间直角坐标系如图所示，建立空间直角坐标系O-xyz，则则B（0，2 ，0），），C（-2，0，0），S（0，0，2 ），），M（1，0），），N（0，）.3 32 23 33 32 2CM=(3,0),MN=(-1,0,),MB=(-1,0).设设n=（x，y，z）为平面）为平面CMN的一个法向量，的一个法向量，CM=3x+y=0 MNn=-x+z=0，则则x=，y=-，n=（，-，1）.点点B到平面到平面CMN的距离的距离d

21、=.返回目录返回目录 3 32 23 33 32 22 26 62 26 63 32 24 4|n n|nMBnMB|=取取z=1,则则点到平面的距离、直线到平面的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离、两平行平面间的距离、异面直线间的距离等都是高考两平行平面间的距离、异面直线间的距离等都是高考考查的重点内容，可以和多种知识相结合，是诸多知考查的重点内容，可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点识的交汇点.本题考查了点到平面的距离和垂直、夹角本题考查了点到平面的距离和垂直、夹角问题，这是命题的方向，要给予高度重视问题，这是命题的方向，要给予高度重视.返回目录返回目录 如图示，在三棱锥如图示，在

22、三棱锥P-ABC中，中，AC=BC=2，ACB=90,AP=BP=AB,PCAC.（1）求证：）求证：PCAB；（2）求二面角）求二面角B-AP-C的余弦的余弦值值.（3）求点）求点C到平面到平面APB的距离的距离.返回目录返回目录（1）证明）证明:AC=BC,AP=BP,APC BPC.又又PCAC,PCBC.ACBC=C，PC平面平面ABC.AB平面平面ABC,PCAB.返回目录返回目录（2）如图，以）如图，以C为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系Cxyz.则则C（0，0，0），），A（0，2，0），），B（2，0，0）.设设P（0，0，t），），|PB|=|AB|=2 ，t=

23、2，P（0，0，2）取取AP中点中点E，连接，连接BE，CE.|AC|=|PC|，|AB|=|BP|，CEAP，BEAP.BEC是二面角是二面角BAPC的平面角的平面角.E（0，1，1），），EC=(0,-1,-1),EB=(2,-1,-1),cosBEC=.二面角二面角BAPC的余弦值为的余弦值为 .返回目录返回目录 2 23 33 36 62 22 2|E EB B|E EC C|E EC CE EB B=3 33 3（3）AC=BC=PC，C在平面在平面APB内的射影为正内的射影为正APB的中心的中心H，且，且CH的长即为点的长即为点C到平面到平面APB的距离的距离.如（如（2）中建立的

24、空间直角坐标系）中建立的空间直角坐标系C-xyz.BH=2HE，点点H的坐标为（的坐标为（,）.|CH|=.点点C到平面到平面APB的距离为的距离为 .返回目录返回目录 3 32 23 32 23 32 23 33 32 23 33 32 2例例5 如图如图,四棱锥四棱锥PABCD中中,底面底面ABCD是矩形是矩形,PA底面底面ABCD,PA=AB=1,AD=,点点F是是PB的中点的中点,点点E在边在边BC上移动上移动.(1)点点E为为BC的中点时的中点时,试判断试判断EF与平面与平面PAC的位置关系的位置关系,并说明理由并说明理由;(2)求证求证:无论点无论点E在在BC边的何处边的何处,都有

25、都有PEAF;(3)当当BE为何值时为何值时,PA与平面与平面PDE所成角的大小为所成角的大小为45.返回目录返回目录 3 3(1)由由EF是是PBC的中位线可得的中位线可得EFPC,从从而可解答第而可解答第(1)问问.(2)可证可证AF与与PE所在的平面垂直来证明第所在的平面垂直来证明第(2)问问.也可也可转化为证明转化为证明AFPE=0.(3)设出设出BE的长度的长度,表示出平面表示出平面PDE的法向量的法向量,从而利从而利用求线面角的公式求出用求线面角的公式求出BE的长度的长度.返回目录返回目录 (1)证明证明:当点当点E为为BC的中点时的中点时,EF与平面与平面PAC平行平行.在在PB

26、C中中,E,F分别为分别为BC,PB的中点的中点,EFPC.又又EF平面平面PAC,而而PC平面平面PAC,EF平面平面PAC.(2)证明证明:以以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则则P(0,0,1),B(0,1,0),F（0,，）,D(,0,0).设设BE=x,则则E(x,1,0),PEAF=(x,1,-1)（0,）=0.PEAF.返回目录返回目录 2 21 12 21 12 21 12 21 13 3(3)设平面设平面PDE的法向量为的法向量为m=(p,q,1),mPD=0 mPE=0,而而AP=(0,0,1),依题意依题意PA与平面与平面P

27、DE所成角为所成角为45,sin45=得得BE=x=或或BE=x=(舍舍).故故BE=时时,PA与平面与平面PDE所成角为所成角为45.返回目录返回目录 得得m=（,1-,1）.由由,|APAP|m m|mAPmAP|2 22 2=2 21 11 1)3 3x x-1 1(3 31 11 12 2=+3 31 13 3x x2 2-3 33 32 23 3+2 2-3 3 1)开放性问题是近几年高考的一种常见开放性问题是近几年高考的一种常见题型题型.一般来说一般来说,这种题型依据题目特点这种题型依据题目特点,充分利用条件不充分利用条件不难求解难求解.(2)对于探索性问题对于探索性问题,一般先假

28、设存在一般先假设存在,设出空间点设出空间点坐标坐标,转化为代数方程是否有解问题转化为代数方程是否有解问题,若有解且满足题意若有解且满足题意则存在则存在,若有解但不满足题意或无解则不存在若有解但不满足题意或无解则不存在.返回目录返回目录 在直三棱柱在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以中，底面是以ABC为直角为直角的等腰直角三角形，的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D为为A1C1的中的中点，点，E为为B1C的中点的中点.（1）求直线）求直线BE与与A1C所成角的余弦值；所成角的余弦值；（2）在线段）在线段AA1上是否存在点上是否存在点F，使，使CF 平面平面B1DF？若不存在，求出

29、若不存在，求出AF ，若不存在，请说明理由，若不存在，请说明理由.返回目录返回目录（1）以）以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为AC=2a，ABC=90,所以所以AB=BC=a，所以，所以B（0，0，0），），C（0，a，0），），A（a，0，0），），A1（a，0，3a），），C1（0，a，3a），），B1（0，0，3a），），所以所以D（a,a,3a）,E（0,a，a），），所以所以CA1=（a，-a，3a），），BE=（0，a，a），），所以所以|CA1|=a，|BE|=a，CA1BE=a2，所以，所以cos=即直线即直线BE与与A1C

30、所成角的余弦值为所成角的余弦值为 .返回目录返回目录 2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 23 32 22 22 22 22 23 313132 211112 27 71 14 43 31 14 43 37 7|B BE E|C CA A|B BE EC CA A1 11 1=1 14 43 31 14 43 37 7(2)假设存在点假设存在点F,使使CF平面平面B1DF,只需只需CFB1F且且CFB1D即可即可.设设AF=b,则则F(a,0,b),CF=(a,-a,b),B1F=(a,0,b-3a),B1D=（a,a,0）,因为因为CFB1D=a2-a2=0，所以，所以CFB1D恒成立恒成立.由由B1FCF=2a2+b（b-3a）=0，解得，解得b=a或或b=2a，故当故当|AF|=a或或2a时，时，CF平面平面B1DF.返回目录返回目录 2 22 22 22 22 22 22 22 2返回目录返回目录 返回目录返回目录