沪科版八年级上册数学：角平分线的性质定理(公开课课件).ppt

1、义务教育课程标准教科书（义务教育课程标准教科书（沪科版）沪科版）15.4 角的平分线（角的平分线（1）八年级数学（上册）八年级数学（上册）马鞍山市博望初级中学马鞍山市博望初级中学 刘刘 君君 “三月三，放风筝三月三，放风筝”，如图是小明同学自己做，如图是小明同学自己做的风筝，他根据的风筝，他根据AB=AD，BC=DC，不用度量，不用度量，就知道就知道AC是是BAD的角平分线，你知道其中的的角平分线，你知道其中的道理吗？道理吗？请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角，你有什么办法？你有什么办法？AOBC1.对折对折角是轴对称图形，角平分线角是轴对称图形，角

2、平分线所在的直线是它的对称轴。所在的直线是它的对称轴。2.度量法度量法 如图是一个角平分仪，其中如图是一个角平分仪，其中AB=AD，BC=DC。将点将点A放在角的顶点，放在角的顶点，AB和和AD沿着角的两边放下沿着角的两边放下,沿沿AC画一条射线画一条射线AE，AE就是就是BAD的角平分线，的角平分线，你能说明它的道理吗你能说明它的道理吗?如果前面活动中的纸片换成木板、如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？钢板等没法折的角，又该怎么办呢？ABDCE 根据角平分仪的根据角平分仪的制作原理制作原理(AB=AD，BC=DC)怎样作一个角的怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或

3、量角器）平分线？（不用角平分仪或量角器）ANMCEDABCEDB作法：作法：1 1、以、以_ _为圆心，为圆心，_长为半径作圆弧，长为半径作圆弧，与角的两边分别交于与角的两边分别交于M M、N N两点；两点；2 2、分别以、分别以_为圆心，为圆心，_的长为半径的长为半径作弧，两条圆弧交于作弧，两条圆弧交于AOB内一点内一点_；3 3、作射线、作射线_；_就是所求作就是所求作AOB的平分线。的平分线。点点O任意任意M、N大于大于POPOP 利用利用尺规作图尺规作图的方法作出已知角的角平分线的方法作出已知角的角平分线 适当适当MN21已知：已知：AOB求作：求作：AOB的角平分线的角平分线1.平分

4、平角平分平角AOB2.通过上面的步骤，得到射线通过上面的步骤，得到射线OC以后，把以后，把它反向延长得到直线它反向延长得到直线CD，直线，直线CD与直线与直线AB有什么位置关系？有什么位置关系？3.结论：作平角的平分线即可平分平角，结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到经过直线上一点作这条直线的由此也得到经过直线上一点作这条直线的垂线的方法。垂线的方法。ABOCDMNDE21作法：作法：1)1)任意取一点任意取一点K K，使，使K K和和C C在在ABAB的两旁；的两旁；2)2)以点以点C C为圆心，为圆心，CKCK长为半径作弧，交长为半径作弧，交ABAB于点于点D D和和E;E;3)3

5、)分别以点分别以点D D和点和点E E为圆心，大于为圆心，大于 的长为半径的长为半径作弧，两弧交于点作弧，两弧交于点F F；4)4)作直线作直线CF.CF.直线直线CFCF是所求的垂线。是所求的垂线。2.2.经过直线外一点作这条直线的垂线的方法。经过直线外一点作这条直线的垂线的方法。当点当点C C在直线在直线ABAB外时：外时：ABCDEF角平分线的性质角平分线的性质 1.操作：操作：将将AOB对折，再折出一个直角三对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？两次折叠形成的三条折痕，你能得出

6、什么结论？2.猜想猜想:问题问题1：第一次的折痕和：第一次的折痕和AOB有什么关系？有什么关系？问题问题2：第二次折叠形成的两条折痕与：第二次折叠形成的两条折痕与AOB的两边有的两边有何位置关系，它们的长度有何关系？何位置关系，它们的长度有何关系？A角平分线上的点到角的两边的距离相等。角平分线上的点到角的两边的距离相等。你能写出猜想的条件和结论，并能证明你你能写出猜想的条件和结论，并能证明你的猜想吗？的猜想吗？探究角平分线的性质探究角平分线的性质 猜想猜想:角平分线上的点到角的两边的距离相等。角平分线上的点到角的两边的距离相等。证明：证明：OC平分平分 AOB（已知）（已知）1=2（角平分线的

7、定义）（角平分线的定义）PD OA，PE OB（已知）（已知）PDO=PEO（垂直的定义）（垂直的定义）在在PDO和和PEO中中 PDO=PEO（已证）（已证）1=2（已证）（已证）OP=OP（公共边）（公共边）PDO PEO（AAS）PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）P PB BOOA AC CDDE E12已知：如图，已知：如图，OC平分平分AOB，点，点P是是OC上任意上任意一点，一点，PDOA于点于点D，PEOB于点于点E 求证求证:PD=PE验证猜想验证猜想:探究角平分线的性质探究角平分线的性质 利用此性质怎样利用此性质怎样书写推理过程书写推理过程?1=2

8、,PD OA，PE OB（已知已知）PD=PE（角平分线上角平分线上的点到角的两边的距离相的点到角的两边的距离相等等）P PB BOOA AC CDDE E12角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：1.下面四个图中，点下面四个图中，点P都在都在AOB的平分线的平分线OC上，上，根据图形一定能得到根据图形一定能得到PDPE 的是的是_。P PO OA AB BC CE ED DP PO OA AB BC CE ED DP PO OA AB BC CE ED DB BP PO OA AC CE ED D（A）（B）（C）（D）D D2.（1）如图，如图，ABC中，中，C90，AD平分平分BAC，

9、CD2cm，则点，则点D到到AB的距离为的距离为 cm（2）如图，如图，ABC中，中，C90，AD平分平分BAC，DEAB，垂足为点，垂足为点E，BC=5cm，则则BD+DE=cm.（3）如图，如图，ABC中，中，C90，AD平分平分BAC，DEAB于点于点E，F在在AC上，上，BD=DF求证：求证：CF=EB CDABEF第第(3)题图题图2 25 5CDB第第(1)(1)题图题图AEBDC第第(2)题图题图A2.（3）如图，）如图，ABC中，中，C90，AD平分平分BAC，DEAB于点于点E，F在在AC上，上，BD=DF求证：求证：CF=EB ACDEBF 分析分析:要证要证CF=EB,首

10、先我们想到的是要证它首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等们所在的两个三角形全等,即即RtCDF RtEDB.现已有一个条件现已有一个条件BD=DF(斜边相等斜边相等),还需还需要我们找什么条件要我们找什么条件DC=DE(因为角的平分线的性质因为角的平分线的性质)再用再用HL证明证明.试试自己写试试自己写证明。你一证明。你一定行！定行！课堂小结课堂小结主要知识内容：主要知识内容：1.角平分线的角平分线的三种作法。（折叠法，度量法，尺规作图法）三种作法。（折叠法，度量法，尺规作图法）2.利用利用尺规作图法尺规作图法完成完成经过一点经过一点作已知直线的垂线作已知直线的垂线3.角平分线的性质定

11、理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。角平分线上的点到角的两边的距离相等。方法总结：方法总结：用角平分线的性质定理可证明线用角平分线的性质定理可证明线段（距离）相等；有角平分线时可考虑运用。段（距离）相等；有角平分线时可考虑运用。布置作业布置作业1.必做题：必做题：课本第课本第143页：练习第页：练习第1题；题；第第145页：练习第页：练习第2题题 第第146页：习题页：习题15.4 第第1，2题。题。2.选做题：已知选做题：已知ABC中，中，C90，AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，点，点P为为ABC中两个内角的角中两个内角的角平分线的交点，求点平分线的交点，求点P到到ABC 各边的距离。各边的距离。结束寄语 严格性之于数学家，犹如道德之于人。条理清晰，因果相应，言必有据，是学习证明者谨记和遵循的原则。希望每一位同学都能用聪明、智慧希望每一位同学都能用聪明、智慧和汗水编织出更加精彩的人生！和汗水编织出更加精彩的人生！