(典型题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(包含答案解析).doc

1、一、选择题1中，是中点，是线段上任意一点，且，则的最小值为（ ）A-2B2C-1D12已知函数，点A，B分别为图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O为坐标原点，若为钝角三角形，则a的取值范围为（ ）ABCD3若是夹角为的两个单位向量，则向量的夹角为（ ）ABCD4在中，若，则向量在上的投影是（ ）ABCD5在矩形ABCD中，|6，|3.若点M是CD的中点，点N是BC的三等分点，且BNBC，则（ ）A6B4C3D26已知，为单位向量，则在上的投影为（ ）ABCD7已知向量，则（ ）A3BC4D8设为内一点,已知,则 （ ）ABCD9中，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是ABCD

2、10设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（ ）A6BCD411在中，为所在平面上任意一点，则的最小值为（ ）A1BC1D-212在中，是边上的一点，是上的一点，且满足和，连接并延长交于，若，则的值为（ ）ABCD二、填空题13在矩形中，已知、分别是、上的点，且满足，若，则的值为_14设，是单位向量，且，的夹角为，若，则在方向上的投影为_15如图，设圆M的半径为2，点C是圆M上的定点，A，B是圆M上的两个动点，则的最小值是_.16如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最大值为_.17已知，则在的方向上的投影为_18已知平面向量，满足，则向量与夹角的取值范围是

3、_.19在中，且，其中，且，若，分别为线段，中点，当线段取最小值时_.20在中，已知，点是边的中点，则的值为_.三、解答题21已知向量.（1）求向量与的夹角；（2）若，求实数的值.22已知 是平面内两个不共线的非零向量，=，且A，E，C三点共线（1）求实数的值；（2）若，求的坐标；（3）已知，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标23已知向量与的夹角为，且，.（1）求；（2）求向量与向量的夹角的余弦值.24如图，正六边形的边长为1，分别是，上的动点，且满足（1）若，分别是，的中点，求的值；（2）求的取值范围25已知，.（1）若向量与向量的夹角为，求及在方向上的投影；（

4、2）若向量与向量垂直，求向量与的夹角.26已知中，角，的对边分别为，且满足（1）求的大小；（2）设，为边上的点，满足，求的最小值【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1C解析：C【分析】根据向量求和的平行四边形法则可以得出，再利用向量的数量积的运算可以得到，因为，代入计算可求出最小值.【详解】解：在直角三角形中，则，因为M为BC的中点，所以.设， 所以当，即时，原式取得最小值为.故选：C.【点睛】方法点睛：（1）向量求和经常利用平行四边形法则转化为中线的2倍；（2）利用向量三点共线，可以将向量的数量积转化为长度的乘积；（3）根据向量之间模的关系，二元换一元，转化为二次函数求最值即可.

5、2B解析：B【分析】首先根据题的条件，将三角形三个顶点的坐标写出来，之后根据三角形是钝角三角形，利用向量夹角为钝角的条件，从而转化为向量的数量积或，找出所满足的条件，最后求得结果.【详解】由题意得，因为为钝角三角形，所以或，即，或，从而或故选：B.【点睛】该题考查的是有关利用钝角三角形求对应参数的取值范围，涉及到的知识点有正弦型函数图象上的特殊点的坐标，钝角三角形的等价转化，向量的数量积坐标公式，属于中档题.3B解析：B【分析】首先分别求出与的数量积以及各自的模，利用数量积公式求之【详解】由已知，所以(=，|=，|=,设向量的夹角为，则.故答案为B【点睛】(1)本题主要考查向量的夹角的求法，意

6、在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一：,方法二：设=,=，为向量与的夹角，则.4B解析：B【解析】由正弦定理得，,由余弦定理得，,则 ，故选B.5C解析：C【分析】根据向量的运算法则，求得，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由题意，作出图形，如图所示：由图及题意，根据向量的运算法则，可得，所以.故选C【点睛】本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.6C解析：C【分析】由题意结合平面向量数量积的运算可得，进而可得、

7、，代入投影表达式即可得解.【详解】因为，为单位向量，所以，又，所以所以，即，所以，则，所以在上的投影为.故选：C.【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了一个向量在另一个向量上投影的求解，属于中档题.7B解析：B【分析】首先设出点A（0,0）、C（x，y）的坐标，由已知条件，列出关于x、y的方程组，然后根据向量的差的计算性质表示出向量的坐标形式，并表示出向量的模，将以上列出的关于x、y的式子整体带入即可求得.【详解】设 , 即 （1） （2） 将（1）（2）代入上式解得：故选B【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及向量模的计算，其中考查了整体代换的思想方法，属于中档题目，计算中选择合适的解

8、题方法，尽量要避免通过解方程求解点C的坐标然后再求解向量 的模，否则就会大大的增加计算量，甚至出现解题错误.8B解析：B【分析】根据，化简得到，设，则为的重心，有，则求解.【详解】由，得，整理得：，设，则，即为的重心，则，故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量的平面几何中的应用，属于中档题.9B解析：B【分析】以为原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，根据向量的坐标运算求得，当该直线与直线相交时，取得最大值【详解】解：中，；以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，如图所示，设点为，直线的方程为，联立，得，此时最大，故选：B【点睛】本题考查了向量在几何中的应用问题，建立直角坐标系

9、是解题的关键，属于中档题10A解析：A【分析】作，由已知可得是的重心，由重心性质可得所求面积比【详解】作，如图，是的重心，则，设，设，即，同理，故选：A【点睛】本题考查三角形面积的计算，考查向量的加法与数乘法则，体现了向量在解决平面图形问题中的优越性11C解析：C【分析】以为建立平面直角坐标系，设，把向量的数量积用坐标表示后可得最小值【详解】如图，以为建立平面直角坐标系，则，设，当时，取得最小值故选：C【点睛】本题考查向量的数量积，解题方法是建立平面直角坐标系，把向量的数量积转化为坐标表示12C解析：C【分析】首先过做，交于，根据向量加法的几何意义得到为的中点，从而得到为的中点，再利用相似三角

10、形的性质即可得到答案.【详解】如图所示，过做，交于.因为，所以为的中点.因为，所以为的中点，因为，所以.因为，所以，即.又因为，所以，故.故选：C【点睛】本题主要考查了向量加法运行的几何意义，同时考查了相似三角形的性质，属于中档题.二、填空题13【分析】本题首先可根据题意得出然后将转化为再然后根据列出算式最后通过计算即可得出结果【详解】如图结合题意绘出图像：因为所以则故因为所以解得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查向量的相关运算主要考查解析：【分析】本题首先可根据题意得出、，然后将转化为，再然后根据列出算式，最后通过计算即可得出结果.【详解】如图，结合题意绘出图像：因为，所以，则，故，因为

11、，所以，解得，故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查向量的相关运算，主要考查向量的三角形法则以及平行四边形法则的应用，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.14【分析】根据平面向量数量积的定义求出与并计算出平面向量的模再利用公式即可求解【详解】由平面向量的数量积的定义可得即所以在方向上的投影为故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的定义以及向量的解析：【分析】根据平面向量数量积的定义求出与，并计算出平面向量的模，再利用公式，即可求解.【详解】由平面向量的数量积的定义，可得，即，所以在方向上的投影为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的定义，以及向量的投影的应用，

12、其中解答中熟记平面向量的数量积的计算公式，以及向量的投影的计算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.15【分析】延长BC作圆M的切线设切点为A1切线与BD的交点D结合数量积的几何意义可得点A运动到A1时在上的投影最小设将结果表示为关于的二次函数求出最值即可【详解】如图延长BC作圆M的切线设切点为A1切解析：【分析】延长BC，作圆M的切线，设切点为A1，切线与BD的交点D，结合数量积的几何意义可得点A运动到A1时，在上的投影最小，设，将结果表示为关于的二次函数，求出最值即可.【详解】如图，延长BC，作圆M的切线，设切点为A1，切线与BD的交点D，由数量积的几何意义，等于在上的

13、投影与之积，当点A运动到A1时，在上的投影最小；设BC中点P，连MP，MA1，则四边形MPDA1为矩形；设CP=x，则CD=2-，CB=2，=，所以当时，最小，最小值为，故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积的几何意义，考查了学生的作图能力以及分析问题解决问题的能力，属于中档题.16【分析】以为原点和分别为和轴建立的平面直角坐标系求得设得到即可求解【详解】以为原点和分别为和轴建立如图所示的平面直角坐标系设则因为可得联立方程组解答所以设则当时取得最大值最大值为故答案为：【点睛】本解析：【分析】以为原点，和分别为和轴建立的平面直角坐标系，求得，设，得到，即可求解.【详解】以为原点，和分别为和轴

14、建立如图所示的平面直角坐标系，设，则，因为，可得，联立方程组，解答，所以，设，则，当时，取得最大值，最大值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，此类问题通常采取建立直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求解，着重考查转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题.172【分析】根据向量在的方向上的投影为结合向量的数量积的坐标运算和模的计算公式即可求解【详解】由题意向量可得则在的方向上的投影为故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算和模计算公式的应解析：2【分析】根据向量在的方向上的投影为，结合向量的数量积的坐标运算和模的计算公式，即可求解.【详解】由题意，向

15、量，可得，则在的方向上的投影为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算和模计算公式的应用，以及向量的投影的概念与计算，其中解答熟记平面向量的数量积、模及投影的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.18【分析】由已知得由得由不等式可知再由得最后由可得解【详解】由得即由得即由得由得所以故答案为：【点睛】本题考查了向量及其模的运算考查了向量的夹角公式和基本不等式考查了计算能力属于中档题解析：【分析】由已知，得，由，得，由不等式可知，再由，得，最后由可得解.【详解】由，得 ，即由，得，即由，得由，得所以，.故答案为：【点睛】本题考查了向量及其模的运算，考查了向量的夹角公式和

16、基本不等式，考查了计算能力，属于中档题.19【分析】根据平面向量的数量积运算求得的值再利用中线的性质表示出由此求得计算当的最小时的值即可【详解】解：连接如图所示：由等腰三角形中知所以是的中线同理可得又故当时有最小值此时故答案为：【点睛解析：【分析】根据平面向量的数量积运算求得的值，再利用中线的性质表示出、，由此求得，计算当的最小时的值即可【详解】解：连接，如图所示：由等腰三角形中，知，所以.是的中线，.同理可得.，又，.故当时，有最小值，此时.故答案为：.【点睛】本题考查了平面向量数量积公式及其运算性质问题，也考查了二次函数求最值的应用问题，属于中档题206【分析】根据平方处理求得即可得解【详

17、解】在中已知点是边的中点解得则故答案为：6【点睛】此题考查平面向量的基本运算关键在于根据向量的运算法则求出模长根据数量积的运算律计算求解解析：6【分析】根据，平方处理求得，即可得解.【详解】在中，已知，点是边的中点，解得则.故答案为：6【点睛】此题考查平面向量的基本运算，关键在于根据向量的运算法则求出模长，根据数量积的运算律计算求解.三、解答题21（1）；（2）【分析】（1）由向量的夹角公式计算可得答案； （2）由向量垂直的坐标表示可得答案.【详解】（1）因为向量，所以，又，所以.所以向量与的夹角；（2）因为向量，所以，又，则，解得，所以实数的值为.【点睛】方法点睛：设=,=，则，.22（1）

18、；（2）(7，2)；（3）(10，7)【分析】（1）=k， 得到.由不共线，得到，求解得到的值；（2）利用平面向量的坐标运算计算即可；（3）设A(x，y)，由，利用向量的坐标运算求解即可.【详解】（1）.因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得=k， 即，得.因为是平面内两个不共线的非零向量，所以解得.（2）（3）因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以.设A(x，y)，则，因为，所以解得即点A的坐标为(10，7)【点睛】本题考查平面向量的基本定理的应用，平面向量的坐标运算，属基础题.根据平面向量的基本定理中的唯一性可得若不共线，由，则.这是在已知三点共线或向量共线求参数值的

19、常用方法.23（1）；（2）.【分析】（1）由已知利用平面向量数量积公式可得，平方后根据向量数量积的运算可求的值（2）结合（1），根据已知条件，由向量夹角的余弦公式即可求解【详解】（1）向量与的夹角为，且，（2）设向量与向量的夹角，【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的余弦公式，属于中档题24（1）；（2）.【分析】（1）首先以点为坐标原点建立平面直角坐标系求，的坐标，再求数量积；（2）首先利用，设，表示向量，利用数量积的坐标表示转化为二次函数求取值范围.【详解】（1）如图，以所在直线为轴，以为坐标原点建立平面直角坐标系因为是边长为1的正六边形，且，分别是，的中点，所以，

20、所以（2）设，则所以，所以当时，取得最小值1；当时，取得最大值所以的取值范围为【点睛】本题考查数量积的坐标表示，重点考查计算能力，属于基础题型.25（1）；-1；（2）.【分析】（1）根据平面向量数量积的运算律求出，再根据平面向量的几何意义求出在方向上的投影；（2）根据向量垂直，则数量积为零，即可得到，再根据夹角公式计算可得；【详解】解：（1）由已知得，；在方向上的投影为（2）由已知得，即，向量与的夹角为.【点睛】本题考查平面向量的数量积及夹角的计算，属于中档题.26（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理化简已知等式，结合，可得，利用两角差的余弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理可求，结合范围由，可得的值；（2）利用平面向量数量积的运算可求，由题意利用平面向量的运算可得，两边平方利用基本不等式可求的最小值.【详解】（1）由，得，又在中，即，而，故.（2），当且仅当时取到故的最小值为.【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角差的余弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理，平面向量的运算以及基本不等式的应用，考查了转化思想，属于中档题