(压轴题)高中数学必修五第三章《不等式》测试题(答案解析).doc

1、一、选择题1已知，则的最小值为（ ）ABCD2已知x，y满足约束条件，若的最大值为9，则m的值为（ ）ABC2D33已知实数满足条件，则的最大值是（ ）ABCD4若实数x，y满足约束条件，则的最大值是（ ）A1B20C28D325已知正实数，满足，则的最小值为（ ）A15BC16D6己知x，y满足，且，若z的最大值是其最小值的倍，则a的值为（ ）A1B2C3D47某校的一个者愿者服务队由高中部学生组成，成员同时满足以下三个条件：（1）高一学生人数多于高二学生人数；（2）高二学生人数多于高三学生人数；（3）高三学生人数的3倍多于高一高二学生人数之和.若高一学生人数为7，则该志愿者服务队总人数为（

2、 ）A15人B16人C17人D18人8设，满足约束条件，则的最小值为（ ）A-1B2C4D59设，满足约束条件，若目标函数的最大值为12，则的最小值为（ ）ABCD10已知，则m，n之间的大小关系是AmnBmnCmnD不确定11若实数满足约束条件，则的最大值为（ ）A5B4C3D212已知正数，满足，则的最小值为A36B42C49D60二、填空题13已知，则的最小值为_14已知变量，满足，则点对应的区域的的最大值为_15已知实数满足，则的最大值为_16已知，若a，1，b依次成等差数列，则的最小值为_17已知正实数满足，则的最小值为_18已知实数满足不等式组，则的取值范围为_19已知只有一个零点

3、，则_20某港口的水深（米）随着时间（小时）呈现周期性变化，经研究可用来描述，若潮差（最高水位与最低水位的差）为3米，则的取值范围为_三、解答题21已知，命题：对任意，不等式恒成立；命题：存在，使得成立（1）若为真命题，求的取值范围；（2）当时，若为真，为假，求的取值范围22（1）若，求证：.（2）已知实数，且，若不等式，对任意的正实数恒成立，求实数的取值范围23小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，

4、其销售价格为(25x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润累计收入销售收入总支出)24已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且，（1）写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.25已知，且（）求的最大值及此时a，b的值；（）求的最小值

5、及此时a，b的值26已知，.（1）求证：；（2）若，求ab的最小值.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1B解析：B【分析】由对数运算可得出，利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为，即，所以，且有，由基本不等式可得，所以，所以，且，当且仅当时等号成立.因此，的最小值为.故选：B.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条

6、件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2D解析：D【分析】作出x，y满足约束条件，表示的可行域如图中阴影部分所示，再利用数形结合分析得，解得参数即可.【详解】作出x，y满足约束条件，表示的可行域如图中阴影部分所示，由z3x-4y得，它表示斜率为纵截距为的一系列直线，当直线经过点时，直线的纵截距最小，最大.由，解得A(3，m3)，故，解得.故选：D.【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系

7、为参数).3C解析：C【分析】画出满足条件的目标区域，将目标函数化为斜截式，由直线方程可知，要使最大，则直线的截距要最大，结合可行域可知当直线过点时截距最大，因此，解出点坐标，代入目标函数，即可得到最大值.【详解】画出满足约束条件的目标区域，如图所示:由,得，要使最大，则直线的截距要最大，由图可知,当直线过点时截距最大，联立,解得，所以的最大值为：，故选:：C.【点睛】方法点睛：求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐

8、标代入目标函数求出最值.4C解析：C【分析】画出可行域，向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，如下图所示的阴影部分：其三角形区域（包含边界），由得点，由图得当目标函数经过平面区域的点时，取最大值.故选：C.【点睛】方法点睛：求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5D解析：D【分析】妙用“1”的代换，利用拼凑基本

9、不等式，求和式的最小值即可.【详解】正实数，满足，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故选：D.【点睛】思路点睛：利用基本不等式求最值时，需注意取等号条件是否成立.（1）积定，利用，求和的最小值；（2）和定，利用，求积的最大值；（3）已知和式（倒数和）或为定值时，妙用“1”拼凑基本不等式求最值.6A解析：A【分析】作出不等式组表示的图象，可看作可行域内的点到原点距离的平方，由图可观察出最远的点和最近的点，分别求出距离做比值列出等式可得答案.【详解】根据不等式组作出图象，则阴影部分即为可行域，由解得，即，恒过且，因为， z的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方，由图点到原点的距离的平方最

10、大，的最小值为原点到直线的距离的平方，根据题意可得，整理得，解得或（舍去）.故选：A.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，关键点是作出可行域，利用z的几何意义确定点，考查了数形结合思想，属于基础题.7D解析：D【分析】设高二学生人数为，高三学生人数为，根据题意列不等式组，画出不等式组表示的平面区域，根据不等式的解为整数，可得结果.【详解】设高二学生人数为，高三学生人数为，则，画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，根据不等式的解为整数，则阴影部分只有满足，该志愿者服务队总人数为人.故选：D.【点睛】本题主要考查二元一次不等式组的解的问题，于基础题.8B解析：B【分析】由约束条件作出可行域，化

11、目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数为，由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最小，有最小值联立，解得，的最小值为故选：【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题9C解析：C【分析】根据的最大值求得的关系式，结合点到直线的距离公式，求得的最小值.【详解】由解得.画出可行域如下图所示，由于，所以目标函数在点取得最大值.的最小值等价于原点到直线的距离的平方，原点到直线的距离为，所以的最小值为.故选：C【点睛】本小题主要考查根据线性规划的最值求参数，考查数形结合的数学思想方法，属

12、于中档题.10C解析：C【解析】因为a2，所以a20，所以 ，当且仅当a3时取等号，故，由b0得b20，所以2b22，所以4，即n4，故综上可得mn，故选C11B解析：B【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求目标函数的最大值【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大由解得代入目标函数得即目标函数的最大值为4故选：B【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键，属于中档题12C解析：C【分析】由已知可得，然后结合基本

13、不等式即可求解【详解】解：因为正数，满足，所以，当且仅当，时取等号故选：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题二、填空题13【分析】依题意可得再利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为所以所以所以所以所以所以所以当且仅当即时取等号；故答案为：【点睛】在应用基本不等式求最值时要把握不等式成立的三个条件就是一正各项均为正解析：【分析】依题意可得，再利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即，时取等号；故答案为：【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取

14、得”，若忽略了某个条件，就会出现错误14【分析】作出可行域令所以利用函数的单调性即可求最值【详解】由解得：所以由解得：所以表示可行域内的点与原点连线的斜率所以令所以在单调递减在单调递增当时当时所以的最大值为故答案为：【点睛】思路点睛：非线解析：【分析】作出可行域，令，所以，利用函数的单调性即可求最值.【详解】由解得：，所以，由解得：，所以，表示可行域内的点与原点连线的斜率，所以,，令，所以，在单调递减，在单调递增，当时，当时，所以的最大值为，故答案为：.【点睛】思路点睛： 非线性目标函数的常见类型及解题思路：1.斜率型：表示的是可行域内的点与点连线所在直线的斜率的倍；2.距离型：（1）表示的是

15、可行域内的点与之间距离的平方；（2）表示的是可行域内的点到直线的距离的倍.15【分析】根据约束条件画出可行域目标函数可以看成是可行域内的点和的连线的斜率从而找到最大值时的最优解得到最大值【详解】根据约束条件可以画出可行域如下图阴影部分所示目标函数可以看成是可行域内的点和的连线解析：【分析】根据约束条件，画出可行域，目标函数可以看成是可行域内的点和的连线的斜率，从而找到最大值时的最优解，得到最大值.【详解】根据约束条件可以画出可行域，如下图阴影部分所示，目标函数可以看成是可行域内的点和的连线的斜率，因此可得，当在点时，斜率最大联立，得即所以此时斜率为 ，故答案为.【点睛】本题考查简单线性规划问题

16、，求目标函数为分式的形式，关键是要对分式形式的转化，属于中档题.16【分析】由a1b依次成等差数列可得再利用乘1法及基本不等式计算即可求得答案【详解】且a1b依次成等差数列当且仅当即取等号故的最小值为故答案为：【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用涉及等差中项的定解析：【分析】由a，1，b依次成等差数列，可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算，即可求得答案【详解】，且a，1，b依次成等差数列，当且仅当，即，取等号，故的最小值为故答案为：【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及等差中项的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题17【详解】正实数满足故得到等号成立的条件为点睛：在利用基本

17、不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得的条件)的条件才解析：.【详解】正实数满足， 故得到 等号成立的条件为.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.18【分析】作出可行域表示与（00）连线的斜率结合图形求出斜率的最小值最大值即可求解【详解】如图不等式组表示的平面区域（包括边界）所以表示与（00）连线的斜率因为所以故【点睛】本题主要考查了简

18、单的线性规解析：【分析】作出可行域，表示与（0，0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小值，最大值即可求解.【详解】如图，不等式组表示的平面区域（包括边界），所以表示与（0，0）连线的斜率，因为，所以，故.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中档题.19【分析】由函数只有一个零点转化为方程有唯一的实数解结合基本不等式求得得到即可求解【详解】由题意函数只有一个零点即有唯一的实数根即方程有唯一的实数解令因为所以当且仅当时即等号成立因为方程有唯一的实数解解析：【分析】由函数只有一个零点，转化为方程有唯一的实数解，结合基本不等式，求得，得到，即可求解.【详解

19、】由题意，函数只有一个零点，即有唯一的实数根，即方程有唯一的实数解，令因为，所以，当且仅当时，即等号成立，因为方程有唯一的实数解，所以，即.故答案为：.【点睛】本题主要考查了根据函数的零点公式求解参数问题，以及基本不等式的应用，其中解答中把函数的零点个数转化为方程解得个数，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.20【分析】由已知结合辅助角公式可求然后结合基本不等式即可求解【详解】由题意可知（为辅助角）由题意可得故由解得故答案为【点睛】本题主要考查了正弦函数的性质及基本不等式在求解最值中的应用属于中档题解析：【分析】由已知结合辅助角公式可求，然后结合基本不等式即可求解.【详解】

20、由题意可知，（为辅助角）由题意可得，故，由，解得，故答案为.【点睛】本题主要考查了正弦函数的性质及基本不等式在求解最值中的应用，属于中档题.三、解答题21（1）；（2）【分析】（1）由为真命题，若，只需恒成立，即可求的取值范围；（2）若为真时，结合已知条件：讨论真假、假真，分别求得的范围，取并集即可.【详解】解：（1）对任意，不等式恒成立，令，则，当时，即，解得因此，当为真命题时，的取值范围是（2）当时，若为真命题，则存在，使得成立，所以；故当命题为真时，又，中一个是真命题，一个是假命题当真假时，由，得；当假真时，有或，且，得综上所述，的取值范围为【点睛】关键点点睛：（1）函数不等式在闭区间内

21、恒成立，有求参数范围.（2）由复合命题的真假讨论简单命题的真假组合，并求对应参数范围取并集即可.22（1）见解析；（2）.【详解】试题分析：（1）第（1）问，利用常量代换和基本不等式证明. （2）第（2）问，利用基本不等式求解.试题（1）证明： 当且仅当时，等号成立.（2）因为为正实数，所以 ，当且仅当，即，时等号成立，故只要即可，所以实数的取值范围是23(1)3.(2)5.【解析】试题分析：（1）求出第年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论；（2）利用利润=累计收入+销售收入-总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论试题（1）设大货车运输到第年年底，该车运输累计

22、收入与总支出的差为万元，则由,可得，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）利润=累计收入+销售收入总支出，二手车出售后,小张的年平均利润为，当且仅当时，等号成立小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大考点：根据实际问题选择函数类型, 基本不等式24（1）；（2）当x32时，W取得最大值为6104万美元.【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论【详解】（1）利用利润等于收入减去成本，可得当时，；当时，；（2）当时，时，；当时，当且仅当，即时，时，的最大值为6104万美元【点睛】本题考查分段函数模型的构建，考查利

23、用均值不等式求最值，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.25（）时，取得最大值为；（），最小值为；【分析】（）利用“乘1法”与基本不等式的性质，对数函数的单调性即可得出；（）先对已知式子进行化简，然后结合基本不等式即可求解【详解】解：（），当且仅当且，即时取等号，即最大值为，（），当且仅当且，即，时取等号，【点睛】本题考查了基本不等式的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题26（1）证明见解析；（2）1.【分析】（1）对不等式两边式子作差，分解因式，判断作差的结果的符号，可得证.（2）根据，可得，从而得到，进而求得，注意等号成立的条件，得到结果.【详解】证明：（1），.（2），即，.当且仅当时取等号，此时ab取最小值1.【点睛】该题主要是考查不等式的证明和运用基本不等式求最值，在证明不等式时，可以运用综合法也可以运用分析法，一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明，属于中档题.