(名师整理)数学九年级上册第21章《21.2解一元二次方程》优秀教案.doc

1、降次教学设计教学课时建议：本小节新授课可分为六学时，其中第一二学时主要让学生理解一元二次方程的解法配方法；第三四学时主要让学生理解一元二次方程的解法公式法；第五六学时主要让学生理解一元二次方程的解法因式分解法.具体的教学设计如下：一、教学目标知识技能：理解掌握一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.通过对一元二次方程解法的探索,体会“降次转换”的基本思想.数学思考：通过配方过程将一元二次方程分解为两个一元一次方程,从而达到降次的目的,体会转化的数学思想方法;通过求根公式的推导过程体会由特殊到一般的数学思想方法,领会配方法事推导求根公式的关键;通过总结解一元二次方程的因

2、式分解法,进一步体会解方程过程中所蕴含的化归思想.问题解决：会用配方技巧将方程变形为(x+m)2=n的形式,明确这一变形的关键是配常数;会准确运用求根公式求解一元二次方程.通过解一元二次方程来提高运算技能.情感态度：感悟数学问题的探索性与条理性,分享成功的喜悦;通过观察、运算和归纳总结的过程,体验数学问题的探究性与规律性,增强学习数学的兴趣;体会知识间的互相联系、互相转化的辩证关系.二、重难点分析教学重点：用配方法解一元二次方程应用公式法求一元二次方程的解.用因式分解法解一元二次方程.配方法是初中教学中的重要内容，也是一种重要的数学方法.配方的方法在以后的学习中经常用到，如在二次根式、代数式的

3、变形及二次函数中有广泛应用.对于一元二次方程，配方法是解法中的通法，它的推导建立在直接开平方法的基础上，同时它又是推导公式法的基础.公式法的意义在于:对任意的一元二次方程,只要将方程化为一般形式,然后确定a、b、c的值，在b2-4ac0的前提条件下，将a、b、c的值代入公式即可求出解.因式分解法是解某些一元二次方程较为简便且灵活的一种特殊方法.用配方法解一元二次方程比较麻烦,在解一元二次方程时一般不用配方法,这是为公式法作准备的一种方法.但在今后的学习中,配方法经常用到,因而必须正确掌握配方法的方法. 配方的关键是在二次项系数为1的形式下,方程两边同时加上一次项系数一半的平方. 在此基础上，介

4、绍了用配方法解字母系数的一般形式的一元二次方程ax2 + bx + c = 0 的要求和步骤.教学时，要按照由具体到抽象，前后呼应的特点，讲清用配方法解一元二次方程的基本思路和步骤.另外要理解因式分解法解一元二次方程的根据:如果两个因式的积等于0,那么这两个因式至少有一个为0,反过来,如果两个因式中有一个因式为0那么它们之积为0.教学难点：配方法解一元二次方程的步骤.求根公式在解决实际问题过程中的应用.掌握用因式分解法解一元二次方程.灵活运用各种方法解一元二次方程.学生可以比较容易的掌握直接开平方解一边是完全平方式的一元二次方程的方法，可是大部分一元二次方程方程不具备上述结构特点，需要合理添加

5、条件进行转化，即“配方”，而学生在以前的学习中没有类似经验，因此对配方方法的探索是本节课的教学难点.掌握了配方法后学生可以很容易的理解求根公式的推导.为了突破本节的教学难点：发现和理解配方的方法，在教学中主要以启发学生进行探究的形式展开，目的是想通过学生对方程解法的探索，能够体会和联想到完全平方公式，从而对配方法的完全理解.所以在知识的探索阶段，应该设计几个既有联系又逐步递进的方程,本课的重点放在探究这几个方程的解法上，让学生从特殊方程的配方法进而转化到一般化的一元二次方程的配方，归纳出配方法的基本方法，这也体现了数学教学中从特殊到一般，从具体到抽象的思维过程.在教学中，开展自主探究，合作交流

6、的学习方式，通过学生的主动探究，掌握和理解配方法. 三、学习者学习特征分析由一次方程到二次方程是个质的转变，通常情况下，二次方程无论是在概念上还是解法上都比一次方程要复杂得多.一元二次方程是初中数学的重点内容，学好一元二次方程意义深远许多同学由于对这一部分内容理解不透，知识掌握不系统，以致学习中形成很大的学习障碍，常出现畏难情绪教师在教学中应多注意观察学生的反馈情况，有针对性的解决.四、教学过程（一）创设情境，引入新课同学们，我们已经认识了一元二次方程，你知道如何解一元二次方程吗?本节课我们将要利用原有的知识储备来探索一元二次方程的解法.方程 分别适宜于直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法

7、（二）合作交流，探索新知1.配方法：链接多媒体素材动画：配方法解一元二次方程我们知道x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=2，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？ （学生分组讨论） 老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=2 即2t+1=2，2t+1=-2 方程的两根为t1=-，t2=- 问题(1)（学生活动）请同学们解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p0）的形式，那么可得x=或mx+n=（p0） 如：4x2

8、+16x+16=（2x+4）2问题（2）：探索的求解过程和方法.这里要给学生充分的时间进行思考和交流，教师在学生小组交流后，组织全班进行讨论，通过观察方程的结构与完全平方式的联系找到问题的突破口.在问题（1）、（2）的基础上，学生获得了解决问题的基本思路，即将方程转化成的形式.学生通过观察方程结构，发现虽然不是完全平方式，但前两项具有完全平方式的特征，只要通过添加条件即可凑成完全平方式即“配方”.因此，为避免干扰，先将常数项16移项至方程右边，此时方程化为.对比完全平方式，学生不难发现，方程左边加上一个常数9，就能凑成完全平方式，因此可以根据等式性质在方程两边都加上9，将方程化为，即，从而成功

9、地完成了由“不会解”到“会解”的转化.问题（3）用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的步骤：1、 化1：把二次项系数化为1；2、 移项：把常数项移到方程的右边；3、 配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方；4、 变形：方程左边分解因式，右边合并同类项；5、 开方：根据平方根的意义，方程两边开平方；6、 求解：解一元一次方程；7、 定解：写出原方程的解.2.公式法. 链接：多媒体素材动画求根公式的推导问题1：已知ax2+bx+c=0（a0）且b2-4ac0，试推导它的两个根x1=，x2= 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤

10、就可以一直推下去解：移项，得：ax2+bx=-c 二次项系数化为1，得x2+x=- 配方，得：x2+x+（）2=-+（）2 即（x+）2= b2-4ac0且4a20 0 直接开平方，得：x+= 即x= x1=，x2= 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根 （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式 （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根3.判别一元二次方程根

11、的情况：我们已经学过了一元二次方程的求根公式，现在我们从求根公式的角度来分析： 求根公式：x=，当b2-4ac0时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=x1=，即有两个不相等的实根当b2-4ac=0时，根据平方根的意义=0，所以x1=x2=，即有两个相等的实根；当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个不相等实数根即x1=，x2= （2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个相等实数根即x1=x2= （3）当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）没有实数根4.因式分解法：链接：多媒体素材动画因式分解法

12、解一元二次方程教师提问： （1）2x2+x=0，3x2+6x=0上面两个方程中有没有常数项？ （2）等式左边的各项有没有共同因式？ （学生先答，老师解答）上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2） 因此，上面两个方程都可以写成： （1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0 因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=- （2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2 因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一

13、次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.（三）应用新知，体验成功1.典型例题：利用媒体资源中的典型例题进行教学，2.练一练解下列方程1）2x2+1=2x2）2（x-2）2+5(x-2)-3=03）(x-5)(x-1)=104) x - 5）4（x-1）2=49x26）5（x-1）2=x2-1（四）课堂小结，体验收获通过本节学习你有哪些收获？教师可以进行引导和提示，让学生自主进行总结，并且教师应给予肯定.1直接开平方法解一元二次方程.2配方法解一元二次方程.3公式法解一元二次方程.4判别一元二次方程根的情况.5因式分解法解一元二次方程.（五）拓展

14、延伸，布置作业1、解下列方程1） 3x2+5x-2=02） (2x-3)(x-1)=23） 2x（x+5）=7x-14） 2x - 5） x2-4x -3=02、已知（x2+y2）（x2+y2+1）=20，求x2+y2的值.分析：将x2+y2视为整体，将方程化为关于x2+y2的一元二次方程，再求解.注意验根.3、解关于x的方程：ax2+c=0（a0） 注意：分类讨论解：方程ax2+c=0（a0）可变形为x2= 当a、c异号时，0，方程有两个实数根 x= ；当a、c同号时，0，方程无实数根；当c=0时， =0，方程有两个相等的实数根 x1=x2=0五.教学评价（一）选择题1.方程x2-0.36=

15、0的解是（ ）（A）0.6 （B）-0.6. （C）6. （D）0.6.2.解方程:4x2+8=0的解为（ ）（A）x1=2 x2=-2. （B）.（C）x1=4 x2=-4. （D）此方程无实根.3方程2x(x-3)=5(x-3)的根为( )（A）. （B）x=3. （C）. （D）.4.若代数式4x2-2x-5与2x2+1的值互为相反数,则x的值为( )（A）1或. （B）1或 . （C）-1或. （D）1或.5.解方程2(5x-1)2=3(5x-1)的最适当的方法是( )（A）直接开平方法. （B）配方法.（C）公式法. （D）因式分解法.6.方程的根是( )（A）x=1. （B）. （

16、C）. （D）以上均不对.（二）填空题7.方程x2=5的解是 ,方程(x-1)2=5的解是 ,方程(3x-1)2=5的解是 .8. =(x- )2 =(x+ )29.把化成ax2+bx+c=0(a0)的形式后,则a= ,b= ,c= .10.一元二次方程当一边是 ,而另一边是 时,方程就可以用因式分解法来解.11.方程的根是 .（三）解答题12.设a、b为实数,求a2+2ab+b2-4b+5的最小值,并求此时a与b的值.13.一次会议上,每两个参加会议的人都相互握了一次手,有人统计一共握了210次手,你能根据上述提供的信息求出参加此次会议的有多少人吗?答案与提示（一）选择题1.D 2.D 3.C 4.B 5.D 6.C（二）填空题7.;8. 9.1, 10.两个关于未知数的一次因式之积,0 11. （三）解答题12.解:a2+2ab+2b2-4b+5=(a2+2ab+b2)+b2-4b+4+1=(a+b)2+(b-2)2+1 当a+b=0,b-2=0时,原式有最小值, 即当a=-2,b=2时,原式有最小值113设参加会议的有x人，则每个人与除自己以外的(x-1) 人均握一次手，而握手又是相互的，故共握手x(x-1)/2次，因而可列方程： x2-x-420=0 解得：x1=21,x2=-20但x2=-20不符合题意，故x=21 答：参加会议的有21人