微积分教学讲解课件.pptx

1、rxdtdx第二章第二章 极限与连续极限与连续 ),(nfyn 上的函数上的函数一个定义在正整数集合一个定义在正整数集合,3,2,1依次增大的顺序取值时依次增大的顺序取值时按正整数按正整数当自变量当自变量n:成一列数成一列数函数值按对应的顺序排函数值按对应的顺序排),(,),3(),2(),1(nffff。称数列，简记称数列，简记称为一个无穷数列，简称为一个无穷数列，简:ny。称为数列一般项或通项称为数列一般项或通项)(nf定义定义1 1：2.12.1数列的极限数列的极限;,161,81,41,21,21:1:数数列列为为一一般般项项为为例例数数列列的的例例子子nny ,11:2nyn 一一般

2、般项项为为例例;,45,34,23,2数数列列为为 ,1,1,1,1 数数列列为为;1,0,1,0数数列列为为,2:3nyn 一一般般项项为为例例,2)1(1:4nny 一一般般项项为为例例,)1(:51 nny一一般般项项为为例例;,8,6,4,2数数列列为为1 1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴可看作一动点在数轴上依次取上依次取.,21nyyy2 2.数列是整标函数：数列是整标函数：).(nfyn.数列的极限数列的极限 .)1(1时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn71-61-51-41-31-21-11-)1(65432101）（，）

3、（，）（，）（，）（，）（，）（写成如下形式：写成如下形式：将数列将数列nn 7161514131211，即：即：靠近！靠近！时数列无限向时数列无限向当当 0 n.0)1(1时无限趋于时无限趋于当当数列数列 nnn.101)1(11 时时无无限限趋趋于于当当观观察察数数列列nnn思考数列的有界性与有极限之间的关系思考数列的有界性与有极限之间的关系?32122limnnnn32421 321323232122222nnnnnnnnnnn324322122nnnnn32432212nnnn0322nn03242 nn132432212nnnn1.1.数列的极限存在情况与数列的前有限项无关，数列的极

4、限存在情况与数列的前有限项无关，v2 2、收敛数列不等于有限数列，比如收敛数列不等于有限数列，比如 .n)1(所以如果只改变一个数列的有限项则不会改所以如果只改变一个数列的有限项则不会改变数列的极限的存在情况以及极限值的大小！变数列的极限的存在情况以及极限值的大小！2定定义义 如如果果对对于于任任意意给给定定的的正正数数，总总存存在在正正整整数数N N，N-A()-,xXf x A 使使得得当当时时，则则称称当当x x时时，()Af x 以以 为为极极限限，lim()=.xf xA记记为为:.10情形情形x.)(,0,0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当:.20情形情形xAxfx)(lim.)

5、(,0,0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当Axfx)(lim的理解：x Axfx)(lim:定定理理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且22yxyarctanx由图容易看出：,2arctanlimxx ,2arctanlimxx .arctan lim 不存在由定理可知：xx例例1.01lim xx证证明明证证xx101 x1 X1,0 ,1 X取取时恒有时恒有则当则当Xx ,01 x.01lim xx故故例例0lim,10:xxqq时时当当用用定定义义证证明明证证,lnln,0ln,10.lnln,0)(,10,0因因此此于于是是知知由由于于得得要要使使qxqqqxqqAxfxx

6、0lim,10,0)(,lnln xxxxqqqqAxfXxqX时时当当所所以以有有时时当当取取 （二）（二）的极限的极限时函数时函数当当)(0 xfyxx 2)(xxfy0 x)(xf问题问题:函数函数在在的过程中的过程中,对应对应将如何表现？将如何表现？函数值函数值O Ox xy y0lim20 xx;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .000的过程的过程表示表示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0邻域邻域的去心的去心点点 x.0程度程度接近接近体现体现xx 2定定义义,如如果果对对于于任任意意给给定定的的正正数数,总总存存在在正正数数0-()-,x xf x A使使得得当当0

7、 0时时，满满足足00A(),lim()=.xxf xxxf xA则则 就就叫叫函函数数当当时时的的极极限限 记记作作定义定义 .)(,00,0,0 Axfxx恒有恒有时时使当使当000:000 xxxxxxxxx注意注意几何解释几何解释:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 Ayxfyxx 注意：注意：;0)(.1是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf.2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 例例3).(,lim0为常数为

8、常数证明证明CCCxx 证证Axf)(CC ,成立成立 ,0 任给任给0.lim0CCxx,0 任取任取,00时时当当 xx例例4.lim00 xxxx 证明证明证证,)(0 xxAxf ,0 任给任给,取取,00时时当当 xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx 例例5.211lim21 xxx证明证明证证211)(2 xxAxf,0 任给任给,只只要要取取,00时时当当 xx函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.1 x,)(Axf要使要使,2112 xx就有就有.211lim21 xxx左极限左极限.)(,0,000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当右极限右极限.)(

9、,0,000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记作记作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记作记作（三）（三）单侧极限单侧极限（左极限，右极限左极限，右极限）000:000 xxxxxxxxx注意注意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记作记作左极限左极限.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记作记作右极限右极限x x 从左侧无限趋近于从左侧无限趋近于 x x0 0 x x 从右侧无限趋近于从右侧无限趋近于 x x0 0yx11 o例例6.lim ).1(0 xxx.lim ).2

10、(0 xxx.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定理定理.lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例6证证1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x时时的的极极限限是是否否存存在在及及当当讨讨论论函函数数例例10,110011)(:72 xxxxxxxxf0lim)(lim;1)1(lim)(lim,0:20000 xxfxxfxxxxx时时解解不不存存在在即即极极限限但但不不相相等等左左极极限限和和右右极极限限存存在在)(lim:,0 xf

11、x.),()(),(,0.)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 则则有有若若设设定理定理(保序性保序性).()(),(,0,)(lim,)(lim0000 xgxfxUxBABxgAxfxxxx 有有则则且且设设推论推论).0)(0)(,),(,0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或时时当当则则或或且且若若定理定理(保号性保号性).0(0),0)(0)(,),(,0,)(lim000 AAxfxfxUxAxfxx或或则则或或时时当当且且若若推论推论);(,0lim)1(o记作记作高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比就说就说如果如果定义定义:

12、.0,且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设;),0(lim)2(是同阶的无穷小是同阶的无穷小与与就说就说如果如果 CC;,1lim 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地特殊地（3 3）如果）如果 ,则称则称是比是比低阶无穷小。低阶无穷小。lim 一、极限运算法则一、极限运算法则定理定理（1 1）（）（2 2）都可以推广到任意有限个函数的情形）都可以推广到任意有限个函数的情形.lim(),lim(),f xAg xB设设则则(1)lim()();f xg xAB(2)lim()();f xg xA B()(3)lim,0.()f xABg xB其其中

13、中2.52.5极限运算法则极限运算法则推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为常数为常数而而存在存在如果如果即常数因子可以提到极限记号外面即常数因子可以提到极限记号外面.)(lim)(lim,)(limnxfnxfnxf 则则是正整数是正整数而而存在存在如果如果推论推论2 2即乘方运算与极限运算可交换顺序即乘方运算与极限运算可交换顺序.)132(lim:122 xxx求求例例3123221lim3lim2lim:22222 xxxxx原原式式解解123lim:221 xxxx求求例例这这里里分分母母的的极极限限不不为为零零解解:)12(lim)3lim123l

14、im12121 xxxxxxxxx（414 11lim:3231 xxx求求例例 11lim231xxx因因此此要要化化简简这这里里分分母母的的极极限限为为零零解解,:)1)(1()1)(1(lim21 xxxxxx2311lim21 xxxx 42lim:44 xxx求求例例化化简简分分母母分分子子极极限限同同时时为为零零解解,:42lim4 xxx)2)(4()2)(2(lim4 xxxxx)2)(4(4lim4 xxxx)2(1lim4 xx41 1lim:521 xxx求求例例分分母母极极限限为为零零解解:01lim21 xxx无无穷穷小小量量倒倒数数无无穷穷大大量量即即无无穷穷小小量

15、量,1lim21xxx 13124lim:6423 xxxx求求例例:解解44213124limxxxxx 13124lim423 xxxx03000 0)01lim(xx 13124lim:7323 xxxxx求求例例:解解323113124limxxxxx 13124lim323 xxxxx003004 34 01lim xx 1313lim:834 xxxx求求例例:解解013124lim423 xxxx知知由例由例的次数的次数的次数高于分母的次数高于分母分子分子6,xx 1313lim34xxxx关关系系得得根根据据无无穷穷小小与与无无穷穷大大的的小结小结:为非负整数时有为非负整数时有

16、和和当当nmba,0,000 mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当 ,0 ,lim00110110无穷小分出法无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子以分母中自变量的最高次幂除分子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.1.1.夹逼准则夹逼准则.6.6.极限存在准则极限存在准则(),()()xf x g xh x如如果果在在 某某个个变变化化过过程程中中，函函数数和和()()(),lim()=lim()=A,g xf xh xg xh x满满足足且且lim()=A.f x则则2.62.6两个重要极限两个重要极限 0sinlim:10 xx证明证明

17、例例xABROBxxAOBx ,1),20(2:设圆心角设圆心角作单位圆作单位圆设设证明证明xxABABxxOBAB sin0,sin2sin.2大大于于线线段段弧弧oBDAx 00lim0,:lim sin0 xxxx而而夹夹逼逼定定理理可可知知,0,sin0,2xxx 同同理理 当当时时 有有00lim0,lim sin0 xxxx而而0limsin0 xx 故故 1coslim:20 xx证明证明例例2sin2cos10:2xx 因因为为证证明明,2时时当当 xxx sin2)2(22sin2222xxx :,02lim20夹夹逼逼定定理理可可知知而而 xx0)cos1(lim0 xx1

18、coslim0 xx2.单调有界准则单调有界准则满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列准则准则 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.:,1况况所所以以只只能能有有以以下下两两种种情情开开始始向向一一个个方方向向移移动动的的点点列列只只能能从从对对应应于于单单调调数数列列在在数数轴轴上上yynaxaxxnnn极极限限为为也也就就是是无无限限趋趋近近某某一一个个定定数数点点列列沿沿数数轴轴移移向向无无穷穷远远处处点点列列,)2()1(x1x2xAMnx1 nx几何解释几何解释:(1)1sinlim0 x

19、xx.6.6.两个重要极限两个重要极限(2)exxx )11(limxxxtanlim:30求求例例1cos1.sinlimtanlim:00 xxxxxxx解解xkxx)sin(lim:40求求例例kkkxkxx .)sin(lim0 xkxx)sin(lim:0解解例例.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 提高题：提高题：limx1sin(x1)x1yx1,x1,y0换元换元解：解：limx1sin(x1)x1 limy0sinyy1 30sintanlim:6

20、xxxx 求求例例 30sintanlim:xxxx解解30sincossinlimxxxxx 20cos1.sin.cos1limxxxxxx 21 nxn 3)11(lim:7 求求例例 nxn3)11(lim:解解ennnx )11.()11(lim3xxx3)11(lim:8 求求例例limx(11x)3xlimx(11x)x3e3 xxxx)1(lim:9 求求例例 xxxx)1(lim:解解exxx1)11(1lim xxx10)11(lim:10 求求例例 xxx10)11(lim:解解limx011(x)(x)(1)e1 lim(14x)x例例:解解:lim(14x)x lim

21、 11x4x lim 11x4x4i4 lim 11x4x44e4定义定义:.0,且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设;,1lim 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地特殊地2.7 2.7 利用等价无穷小代换求极限利用等价无穷小代换求极限定理定理 (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理).limlim,lim,则则存在存在且且设设证证 lim)lim(limlimlim.lim 常用等价无穷小常用等价无穷小:,0时时当当 x.21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx xxxarcsin

22、,0:1时时当当证证明明例例0,0.sin,arcsin:yxyxxy当当则则设设证证明明0arcsinlim1xxxyyysinlim01 例例2 2.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式.8 不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.等价无穷小的代换只能用于乘除运算，不等价无穷小的代换只能用于乘除运算，不可用于加减运算可用于加减运算.注意注意例例3 3.sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)(limxxxx 原式原式.0 解解,0时

23、时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,sinxx330)(21limxxx 原原式式.21 错错 )1ln(coslim:420 xxxeexxx 求求例例)1ln(,0()1ln(,0:22xxxxxx 时时当当解解)1,0cos1,0)1(coscoscoscosxexxxxexeeeexxxxxxxxxxxx （)1ln(lim2cos0 xxeexxxx )1ln(1(lim2coscos0 xxeexxxxxx ）2121.lim22cos0 xxexxx2cos0cos1(limxxexxx）2cos0cos(limxxxxxexxx ）在某过程中在某过程中

24、,变量变量 u 的终值的终值u2 2与它的初值与它的初值u1 1的差的差u2 2 u1 1,称为变量称为变量u在在u1 1处的增量处的增量,记为记为 u =u2 2u1.1.u u 是一个整体记号是一个整体记号,它可以取正值、负值或零它可以取正值、负值或零.有时我们也称有时我们也称 u u 为变量为变量 u u 在在 u u1 1 处的差分处的差分.1 函数的连续性函数增量概念：函数增量概念：2 2.8.8函数的连续性函数的连续性 设函数设函数 f(x)在在 U(x0)内有定义内有定义,x U(x0),则称则称 x=x x0 为自变量为自变量 x 在在 x0 点处的增量点处的增量.=f(x0+

25、x)f(x0)y=f(x)f(x0)x yOx0 xxyy=f(x)此时此时,x=x0+x,相应地相应地,函数在点函数在点 x0 点处点处有增量有增量 y2 连续函数的概念连续函数的概念,0 xxx 设设),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就是就是 有有处处在在函函数数例例如如,2,:02 xxy yx0lim)2()2(lim0fxfx 2)2(lim220 xx0)4(lim20 xxx 点点处处是是连连续续的的在在证证明明函函数数例例0sin:1xxy :,:0则则对对应应的的函函数数的的增增量量为为的的增增量量为为设设证证明明xx 00sin)

26、sin(xxxy )2cos(2sin20 xxx 1)2cos(0 xx而而2sin2sin)sin(00 xxxxy xxxx 2.22sin2,0 xxxxxy 2sin2sin)sin(000是是连连续续对对于于任任一一点点),(sin,0,0 xxyyx:定义定义 .)()(,0,000 xfxfxx恒有恒有时时使当使当 在在其其定定义义域域内内是是连连续续的的函函数数证证明明例例baxy :2),(),(:0 xbaxy的的定定义义域域为为函函数数证证明明)(lim)(lim00baxxfxxxx )(00 xfbax 在在其其定定义义域域内内是是连连续续的的函函数数所所以以bax

27、y :定义定义;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00处既左连续又右连续处既左连续又右连续在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf.)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 例例.0,0,0,0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf证证,01sinlim0 xxx,0)0(f又又由定义由定义2知知.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf),0()(lim0fxfx 例例

28、.1,1,1,1,1)(2连连续续性性处处的的在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解)1(lim)(lim211 xxfxx0),01(f)01(2)1(lim)(lim211 fxxfxx左连续但不右连续左连续但不右连续,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx).()(),()(,00或间断点或间断点的不连续点的不连续点为为并称点并称点或间断或间断处不连续处不连续在点在点函数函数则

29、称则称要有一个不满足要有一个不满足如果上述三个条件中只如果上述三个条件中只xfxxxf3 3 函数的间断点函数的间断点1.跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的跳跃间断点的跳跃间断点为函数为函数则称点则称点但但存在存在右极限都右极限都处左处左在点在点如果如果xfxxfxfxxf 例例4 4.0,0,1,0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解,0)00(f,1)00(f),00()00(ff.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy 处处的的连连续续性性试试判判断断函函数数在在设设例例0000101)(:6 xxxxxxxf)(lim)0(

30、00 xfxfx 1)1(lim0 xx)(lim)0(00 xfxfx 1)1(lim0 xx0)0(,0:fx时时当当解解)0()0(00 xfxfx 0为跳跃间断点为跳跃间断点2.可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例.11,11,12)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxf解解,1)1(f.1为函数的可去间断点为函数的可去间断点 x注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要

31、改变或者补充间断处函数的定义数的定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.1)1(1)12(lim1 fxx跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点特点.0处的左、右极限都存在处的左、右极限都存在函数在点函数在点 x3.第二类间断点第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点的第二类间断点为函数为函数则称点则称点在在右极限至少有一个不存右极限至少有一个不存处的左、处的左、在点在点如果如果xfxxxf例例.01)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解oxy,)00(f,)00(f.0为为函函数数的的第第二二类类间间断断点点 x.断点

32、断点这种情况称为无穷间这种情况称为无穷间例例.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x.断点断点这种情况称为的振荡间这种情况称为的振荡间一、四则运算的连续性一、四则运算的连续性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续在其定义

33、域内连续故故xxxx4 4 连续函数运算与初等函数的连续性连续函数运算与初等函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性定理定理2 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如例如,2,2sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy.1,1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy;1,1arccos上单调减少且连续上单调减少且连续在在同理同理 xy.,cot,arctan上单调且连续上单调且连续在在 xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.定理定理3 3).(

34、lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 则有则有连续连续在点在点函数函数若若证证,)(连续连续在点在点auuf.)()(,0,0成立成立恒有恒有时时使当使当 afufau,)(lim0axxx 又又,0,0,00时时使当使当对于对于 xx.)(成立成立恒有恒有 auax将上两步合起来将上两步合起来:,0,0,00时时使当使当 xx)()()()(afxfafuf .成立成立 )()(lim0afxfxx ).(lim0 xxx 意义意义1.1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;.)(.2的理论依据的理论依据变量代换变量代换xu 例例

35、1111.)1ln(lim0 xxx 求求.1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解定理定理4 4注意定理注意定理4 4是定理是定理3 3的特殊情况的特殊情况.例如例如,),0()0,(1内连续内连续在在 xu,),(sin内连续内连续在在 uy.),0()0,(1sin内连续内连续在在 xy0(),uxxx 设设函函数数在在点点连连续续000(),(),xuyf uuu 且且而而函函数数在在点点连连续续0().yfxxx 则则复复合合函函数数在在点点也也连连续续三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反

36、三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.)1,0(aaayx指数函数指数函数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1,0(log aaxya对数函数对数函数;),0(内单调且连续内单调且连续在在定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.xy xaalog ,uay .log xua ,),0(内连续内连续在在 ,不同值不同值讨论讨论(均在其定义域内连续均在其定义域内连续)定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.1.初等函数仅在其定义区间内连续初

37、等函数仅在其定义区间内连续,在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如,1cos xy,4,2,0:xD这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.,)1(32 xxy,1,0:xxD及及在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.),1上连续上连续函数在区间函数在区间注意注意定义定义:例如例如,1max y,sin xy ,2,0上上在在;1min y5 5 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质(),If x对对于于在在区区间间 上上有有定定义义的的函函数数0,xIxI如如果果有有使使得得对对于于任任一一都都有有00()()()()f xf xf xf x0()

38、()().f xf xI则则称称是是函函数数在在区区间间 上上的的最最大大 小小 值值定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理)在闭区间上连续在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值.ab2 1 xyo)(xfy 注意注意:1.若区间是开区间若区间是开区间,定理不一定成立定理不一定成立;2.若区间内有间断点若区间内有间断点,定理不一定成立定理不一定成立.(),f xC a b 若若12,a b 则则,xa b 使使得得12()(),()().ff xff x 有有xyo)(xfy 211xyo2)(xfy 推论推论(有界性定理有界性定理)在闭区间上连续的函

39、数一定在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在该区间上有界.证证,)(上连续上连续在在设函数设函数baxf,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 则有则有.,)(上有界上有界在在函数函数baxfxyo)(xfy 211定义定义:.)(,0)(000的零点的零点称为函数称为函数则则使使如果如果xfxxfx.),(0)(内至少存在一个实根内至少存在一个实根在在即方程即方程baxf ab3 2 1 几何解释几何解释:.,)(轴至少有一个交点轴至少有一个交点线弧与线弧与则曲则曲轴的不同侧轴的不同侧端点位于端点位于的两个的两个连续曲线弧连续曲线弧xxxfy 定理定理 4(4(介值

40、定理介值定理)设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba,上连续，上连续，xyo)(xfy 且在这区间的端点取不同的函数值且在这区间的端点取不同的函数值 Aaf)(及及 Bbf)(,那末，那末，对于对于A与与B之间的任意一个数之间的任意一个数C，在开区间在开区间 ba,内至少有一点内至少有一点，使得，使得Cf)()(ba .几何解释几何解释:MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 证证,)()(Cxfx 设设,)(上连续上连续在在则则bax Cafa )()(且且,CA Cbfb )()(,CB ,0)()(ba 由零点定理由零点定理,使使),(ba ,0)(,0)()(Cf 即即

41、.)(Cf .)(至少有一个交点至少有一个交点直线直线与水平与水平连续曲线弧连续曲线弧Cyxfy 推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值.例例1313.)1,0(01423至少有一根至少有一根内内在区间在区间证明方程证明方程 xx证证,14)(23 xxxf令令,1,0)(上连续上连续在在则则xf,01)0(f又又,02)1(f由零点定理由零点定理,使使),(ba ,0)(f,01423 即即.)1,0(01423 内至少有一根内至少有一根在在方程方程 xxMm例例1414.)(),(.)(,)(,)(fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函数设函数证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而,0 由零点定理由零点定理,使使),(ba ,0)()(fFbbfbF )()(,0.)(f即即