复变函数与积分变换课程3-3课件.ppt

1、()dCf zz Cyvxudd Cyuxvddi ttztzfzzfCd)()(d)(0101 d()nz zrzzz .0,0,0,2nniB柯西柯西积分积分定理定理 (),():()d0.cf zBf zBCf zz 如如果果函函数数在在单单连连通通域域内内处处处处解解析析那那么么函函数数沿沿内内的的任任何何一一条条封封闭闭曲曲线线的的积积分分为为零零C此定理也称为此定理也称为柯西柯西古萨古萨定理定理.复合闭路定理复合闭路定理,2121DCCCCCCCCDCnn为边界的区域全含于为边界的区域全含于并且以并且以互不包含也互不相交互不包含也互不相交它们它们内部的简单闭曲线内部的简单闭曲线是在

2、是在内的一条简单闭曲线内的一条简单闭曲线多连通域多连通域为为设设 ,)(内解析内解析在在如果如果DzfDC1C2C3C那么那么,d)(d)()1(1 nkCCkzzfzzf ;均取正方向均取正方向及及其中其中kCCDC1C2C3C.0d)()2(zzf).,:(,2121顺时针进行顺时针进行按按按逆时针进行按逆时针进行其方向是其方向是组成的复合闭路组成的复合闭路为由为由这里这里nnCCCCCCCC 第三节 柯西积分公式 一、问题的提出二、柯西积分公式三、最大模原理 6一、问题的提出一、问题的提出 .,0中一点中一点为为为一单连通域为一单连通域设设BzB ,d)(0 Czzzzf一般不为零一般不

3、为零所以所以 .)(,)(00不解析不解析在在那末那末内解析内解析在在如果如果zzzzfBzf 根据闭路变形原理知根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变的变化而改变,求这个值求这个值.0的闭曲线的闭曲线内围绕内围绕为为zBC7,00 zzzC的正向圆周的正向圆周半径为很小的半径为很小的为中心为中心取作以取作以积分曲线积分曲线 ,)(的连续性的连续性由由zf,)(0处的值处的值接近于它在圆心接近于它在圆心的缩小而逐渐的缩小而逐渐的值将随着的值将随着上函数上函数在在zzfC )(.d)(d)(000缩小缩小将接近于将接近于 CCzzzzfzzzzf Czzzzf

4、d)(00).(2d1)(000zifzzzzfC 8二、柯西积分公式二、柯西积分公式定理定理 CzzzzfizfCzDDCDzf.d)(21)(,)(000那末那末内任一点内任一点为为于于它的内部完全含它的内部完全含闭曲线闭曲线内的任何一条正向简单内的任何一条正向简单为为内处处解析内处处解析在区域在区域如果函数如果函数D 0zC证证 ,)(0连续连续在在因为因为zzf,0 则则,0)(9D 0zCK ,0时时当当 zz .)()(0 zfzf,:)(,00的内部的内部全在全在的正向圆周的正向圆周半径为半径为为中心为中心设以设以CRzzKRRz R Czzzzfd)(0则则 Kzzzzfd)(

5、0 KKzzzzfzfzzzzfd)()(d)(0000 Kzzzzfzfzifd)()()(200010 Kszzzfzfd)()(00.2d KsR上不等式表明上不等式表明,只要只要 R 足够小足够小,左端积分的模就左端积分的模就可以任意小可以任意小,根据闭路变形原理知根据闭路变形原理知,左端积分的值与左端积分的值与 R 无关无关,所以只有在对所有的所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能积分值为零时才有可能.证毕证毕 Czzzzfizfd)(21)(00柯西积分公式柯西积分公式柯西介绍柯西介绍 Kzzzzfzfd)()(0011关于柯西积分公式的说明关于柯西积分公式的说明:(1)把函

6、数在把函数在C内部任一点的值用它在边界上的内部任一点的值用它在边界上的值表示值表示.(这是解析函数的又一特征这是解析函数的又一特征)(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分而且给出了解析函数的一个积分表达式表达式.(这是研究解析函数的有力工具这是研究解析函数的有力工具)(3)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值的平均值.,0 ieRzzC 是圆周是圆周如果如果.d)(21)(2000 ieRzfzf教材教材67页页推论推论112D1C2CAA BB E

7、E FF ,AAEBAEB 显然曲线显然曲线 BFABFAA ,FFEE 添加字符添加字符为了讨论方便为了讨论方便 .均为封闭曲线均为封闭曲线0()d0,AEBB E A Af zzzz 00()d2()AA F B BFAf zzif zzz ,AAAEBBBAEBAAEBAEB ,BFABBBFAAABFABFAA 教材教材69页推论页推论21310()dCf zzzz 20()dCf zzzz 0()AAf zdzzz 0()A Af zdzzz 00()2()B Bf zdzif zzz 0()BBf zdzzz 10002()()dd2()CCf zf zzzif zzzzz 即即1

8、00021()1()()dd.22CCf zf zf zzzizzizz或或14例例1 1解解 44.d3211)2(;dsin21(1)zzzzzzzzi求下列积分求下列积分 4dsin21(1)zzzzi ,sin)(在复平面内解析在复平面内解析因为因为zzf ,4 0内内位于位于 zz15 4.d3211)2(zzzz 44d32d11zzzzzz2212 ii.6 i 4dsin21zzzzi;0 由柯西积分公式由柯西积分公式0sin221 zzii16例例2 2.d)1(1 212 izzzz计算积分计算积分解解 )1(12zz)(1izizz izizz )(1)(zf ,21 )

9、(内解析内解析在在因为因为 izzf,0iz 由柯西积分公式由柯西积分公式 212d)1(1izzzz 21d)(1izzizizzizizzi )(122212ii .i 17).1(,d173)(,3 222ifzzfyxCC 求求表示正向圆周表示正向圆周设设 例例3 3解解根据柯西积分公式知根据柯西积分公式知,内时内时在在当当Czzizf )173(2)(2),173(22 zzi),76(2)(zizf故故 ,1 内内在在而而Ci).136(2)1(iif 所以所以18例例4 4.d)cos(sin ,d0cos1 ezzezz并证明并证明求积分求积分解解根据柯西积分公式知根据柯西积分

10、公式知,1dzzzze02 zzei;2 i )(,irez令令,1 rz 1dzzzze diireirereei diee i 19 dsincosie i coscoscos(sin)dsin(sin)diee,2d 1izzezz 因为因为cos02cos(sin)die 1dzzzze比较两式得比较两式得.d)cos(sin0cos e20三、最大模原理三、最大模原理 1 ,DD推推论论在在区区域域内内解解析析的的函函数数 若若其其模模在在 的的内内点点达达到到最最大大值值，则则此此函函数数必必恒恒为为常常数数。定理定理 (),()()|f zDf zDf z设设函函数数在在区区域域

11、内内解解析析 又又不不是是常常数数，则则在在内内|没没有有最最大大值值。2 ()D()|f zDf zD推推论论若若在在有有界界区区域域内内解解析析，在在 上上连连续续，则则|必必在在 的的边边界界上上达达到到最最大大模模。21四、小结与思四、小结与思考考 Czzzzfizf.d)(21)(00柯西积分公式柯西积分公式:22练习练习.d)1(32 zzzzze计算积分计算积分答案答案1,1,0 zzz有三个奇点有三个奇点).2(d)1(132 eeizzzezz23作业作业课后课后10题题(1).(2)24Augustin-Louis CauchyBorn:21 Aug 1789 in Paris,FranceDied:23 May 1857 in Sceaux(near Paris),France柯西资料柯西资料