区间估计;75正态总体均值与方差的区间估计课件.ppt

1、2023-5-71上次课复习上次课复习两种求点估计的方法两种求点估计的方法:矩估计法矩估计法最大似然估计法最大似然估计法 在统计问题中往往先使用最大似然估计法在统计问题中往往先使用最大似然估计法,在最大似然估计法使用不方便时在最大似然估计法使用不方便时,再用矩估计法再用矩估计法.;);();,()();();,()(121121 niinniinxfxxxLLxpxxxLL或或似然函数似然函数2023-5-72估计量的评选的三个标准估计量的评选的三个标准 无偏性无偏性有效性有效性相合性相合性 相合性是对估计量的一个基本要求相合性是对估计量的一个基本要求,不具备不具备相合性的估计量是不予以考虑的

2、相合性的估计量是不予以考虑的.由最大似然估计法得到的估计量由最大似然估计法得到的估计量,在一定条在一定条件下也具有相合性件下也具有相合性.估计量的相合性只有当样本估计量的相合性只有当样本容量相当大时容量相当大时,才能显示出优越性才能显示出优越性,这在实际中这在实际中往往难以做到往往难以做到,因此因此,在工程中往往使用无偏性和在工程中往往使用无偏性和有效性这两个标准有效性这两个标准.2023-5-73第四节第四节 区间估计区间估计一、区间估计的基本概念一、区间估计的基本概念二、典型例题二、典型例题2023-5-74一、区间估计的基本概念一、区间估计的基本概念1.置信区间的定义置信区间的定义,1)

3、,(),(),(),(,1),(0 ,);(2121212121 nnnnnXXXXXXPXXXXXXXXXxFX满满足足和和确确定定的的两两个个统统计计量量若若由由样样本本对对于于给给定定值值数数含含有有一一个个未未知知参参的的分分布布函函数数设设总总体体.1 ,1 ,1),(为为置置信信度度的的置置信信下下限限和和置置信信上上限限的的双双侧侧置置信信区区间间分分别别称称为为置置信信度度为为和和间间的的置置信信区区的的置置信信度度为为是是则则称称随随机机区区间间 2023-5-75关于定义的说明关于定义的说明.),(,是是随随机机的的而而区区间间没没有有随随机机性性但但它它是是一一个个常常数

4、数虽虽然然未未知知被被估估计计的的参参数数 :1),(),(2121的本质是的本质是因此定义中下表达式因此定义中下表达式 nnXXXXXXP).,(1 ,1 ),(的的概概率率落落入入随随机机区区间间以以而而不不能能说说参参数数的的真真值值的的概概率率包包含含着着参参数数以以随随机机区区间间 2023-5-76 :1),(),(2121还可以描述为还可以描述为另外定义中的表达式另外定义中的表达式 nnXXXXXXP若反复抽样多次若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等各次得到的样本容量相等,都是都是n),(间间每每个个样样本本值值确确定定一一个个区区按按伯努利大数定理伯努利大数定理,在这样多的区

5、间中在这样多的区间中,.%100,)%1(100 不不包包含含的的约约占占真真值值的的约约占占包包含含,的的真真值值的的真真值值或或不不包包含含每每个个这这样样的的区区间间或或包包含含 2023-5-77例如例如 ,1000 0.01,次次反复抽样反复抽样若若 .10 1000 个个真值的约为真值的约为个区间中不包含个区间中不包含则得到的则得到的 2023-5-782.求置信区间的一般步骤求置信区间的一般步骤(共共3步步)1212(1),:(,;),().nnXXXZZ XXXZ 寻寻求求一一个个样样本本的的函函数数其其中中仅仅包包含含待待估估参参数数并并且且的的分分布布已已知知且且不不依依赖

6、赖于于任任何何未未知知参参数数 包包括括12(2)1,(,;)1.na bP aZ XXXb 对对于于给给定定的的置置信信度度定定出出两两个个常常数数使使121212(3)(,;),(,),(,),(,)1.nnnaZ XXXbXXXXXX 若若能能从从得得到到等等价价的的不不等等式式其其中中都都是是统统计计量量 那那么么就就是是的的一一个个置置信信度度为为的的置置信信区区间间2023-5-79.,1,区间估计精度降低区间估计精度降低可信程度增大可信程度增大间长度增大间长度增大置信区置信区增大增大置信水平置信水平固定固定样本容量样本容量 n.,1区间估计精度提高区间估计精度提高可信程度不变可信

7、程度不变间长度减小间长度减小置信区置信区增大增大样本容量样本容量固定固定置信水平置信水平n 2023-5-710解解.1,),(,2221的置信区间的置信区间为为的置信水平的置信水平求求为未知为未知为已知为已知其中其中的样本的样本是来自正态总体是来自正态总体设设 NXXXn ,的无偏估计的无偏估计是是因为因为 X),1,0(/NnXU 且且 ,)1,0(/数的数的是不依赖于任何未知参是不依赖于任何未知参NnX 例例1二、典型例题二、典型例题2023-5-711 ,1/2/znXP,1 2/2/znXznXP即即 分位点的定义知分位点的定义知由标准正态分布的上由标准正态分布的上 2023-5-7

8、12.,1 2/2/znXznX的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为于是得于是得这样的置信区间常写成这样的置信区间常写成/2.Xzn 其置信区间的长度为其置信区间的长度为.22/zn 2023-5-7131 16,1,0.05,n如如果果在在例例 中中取取,96.1 025.02/zz 查表可得查表可得.1.961610.95 X的置信区间的置信区间得一个置信水平为得一个置信水平为由一个样本值算得样本均值的观察值由一个样本值算得样本均值的观察值,20.5 x则置信区间为则置信区间为),49.020.5().69.5,71.4(即即 .1 :的置信区间是不唯一的的置信区间是不唯一

9、的置信水平为置信水平为注意注意 2023-5-7141 0.05,在在例例 中中如如果果给给定定 ,95.0/01.004.0 znXzP 则又有则又有,95.0 04.001.0 znXznXP 即即 .0.95,04.001.0的置信区间的置信区间为为的置信水平的置信水平也是也是故故 znXznX其置信区间的长度为其置信区间的长度为.)(01.004.0zzn 2023-5-715比较两个置信区间的长度比较两个置信区间的长度,4.08)(01.004.02nzznL ,3.922025.01nznL .21LL 显然显然置信区间短表示估计的精度高置信区间短表示估计的精度高.说明说明:对于概

10、率密度的图形是单峰且关于纵坐标对于概率密度的图形是单峰且关于纵坐标轴对称的情况轴对称的情况,易证取易证取a和和b关于原点对称时关于原点对称时,能使能使置信区间长度最小置信区间长度最小.2023-5-716今抽今抽9件测量其长度件测量其长度,得数据如下得数据如下(单位单位:mm):142,138,150,165,156,148,132,135,160.解解/2/2 1 ,XzXznn 根根据据例例1 1得得 的的置置信信度度为为的的置置信信区区间间,333.147,96.1,05.0,4,9025.0知知由由 xzn 149.946).(144.720,0.95的置信区间为的置信区间为的置信度为

11、的置信度为),16,(NX 服从正态分布服从正态分布设某工件的长度设某工件的长度.95 的的置置信信区区间间的的置置信信水水平平为为试试求求参参数数 例例22023-5-717第五节第五节 正态总体均值与方差正态总体均值与方差的区间估计的区间估计一、单个总体的情况一、单个总体的情况二、两个总体的情况二、两个总体的情况2023-5-718.,),(,12221本方差本方差分别是样本均值和样分别是样本均值和样的样本的样本总体总体为为并设并设设给定置信水平为设给定置信水平为SXNXXXn 一、单个总体一、单个总体 的情况的情况),(2 N ,)1(2为已知为已知 由上节例由上节例1可知可知:1 的置

12、信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为 .2/znX 的置信区间的置信区间均值均值 1.2023-5-719 包糖机某日开工包了包糖机某日开工包了12包糖包糖,称得质量称得质量(单位单位:克克)分别为分别为506，500，495，488，504，486，505，513，521，520，512，485.假设重量服从正态分布假设重量服从正态分布,解解,12,10 n,92.502 x计算得计算得,10.0)1(时时当当 05.02/zz 查表得查表得0.05).0.10(1 10,和和分别取分别取置信区间置信区间的的试求糖包的平均质量试求糖包的平均质量且标准差为且标准差为附表附表2-12

13、-1,95.021 ,645.1例例1 2/znx645.1121092.502 ,17.498 2/znx645.1121092.502 ,67.507 2023-5-720 025.02/zz 95%的置信区间为的置信区间为的置信度为的置信度为同理可得同理可得).58.508,26.497(.,1 ;,1,置信区间也较小置信区间也较小较小时较小时当置信度当置信度置信区间也较大置信区间也较大较大时较大时当置信度当置信度从此例可以看出从此例可以看出 附表附表2-22-2,96.1查表得查表得 90%的置信区间为的置信区间为的置信度为的置信度为即即).67.507,17.498(,05.0)2(

14、时时当当 ,975.021 2023-5-721 ,)2(2为未知为未知 ,2/直直接接使使用用此此区区间间不不能能中中含含有有未未知知参参数数由由于于区区间间 znX ,222 替换替换可用可用的无偏估计的无偏估计是是但因为但因为SSS 1 的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为 .)1(2/ntnSX 推导过程如下推导过程如下:2023-5-722,1)1()1(2/2/ntnSXntnSXP即即 1 的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为于是得于是得 .)1(2/ntnSX ),1(/ntnSX 又根据第六章定理三知又根据第六章定理三知 ,1)1(/)1(2/2/ntnSXntP则则

15、2023-5-723解解 有一大批糖果有一大批糖果,现从中随机地取现从中随机地取16袋袋,称得重称得重量量(克克)如下如下:496509502506496493505514512497510504503499508506设袋装糖果的重量服从正态分布设袋装糖果的重量服从正态分布,试求总体均值试求总体均值,151 0.05,n :)1(分布表可知分布表可知查查 nt)15(025.0t,2022.6,75.503 sx计算得计算得 .0.95 的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为 附表附表3-13-1,1315.2例例22023-5-724 5%9 的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为得得

16、 1315.2162022.675.503).1.507,4.500(即即就是说估计袋装糖果重量的均值在就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与克与507.1克之间克之间,这个估计的可信程度为这个估计的可信程度为95%.).(61.621315.2162022.6 克克其误差不大于其误差不大于 ,的近似值的近似值为为若依此区间内任一值作若依此区间内任一值作 这个误差的可信度为这个误差的可信度为95%.2023-5-725 .95%,),(2的置信区间的置信区间的的试求糖包重量试求糖包重量 N解解,12,n未知未知此时此时,92.502 0.05,x,35.12 s :)1(分布表可知分布表

17、可知查查 nt)11(025.0t,85.7201.21235.12)1(2/ntns 于是于是 5%9 的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为得得).77.510,07.495(,201.2附表附表3-23-2例例3(续例续例1)1)如果只假设糖包的重量服从正态分布如果只假设糖包的重量服从正态分布2023-5-726推导过程如下推导过程如下:,22的无偏估计的无偏估计是是因为因为 S),1()1(222 nSn 根据第六章第二节定理二知根据第六章第二节定理二知 1 2的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为方差方差 .)1()1(,)1()1(22/1222/2 nSnnSn .,未知的情

18、况未知的情况只介绍只介绍根据实际需要根据实际需要 2的置信区间的置信区间方差方差 2.2023-5-727 1 2的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为于是得方差于是得方差 ,1)1()1()1(22/2222/1 nSnnP则则 ,1)1()1()1()1(22/12222/2 nSnnSnP即即 .)1()1(,)1()1(22/1222/2 nSnnSn 2023-5-728 1 的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为标准差标准差 .)1(1,)1(122/122/nSnnSn 进一步可得进一步可得:注意注意:在密度函数不对称时在密度函数不对称时,2分布分布分布和分布和如如F

19、 习惯上仍取对称的分位点来习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间确定置信区间(如图如图).2023-5-729 (续例续例2)求例求例2中总体标准差中总体标准差 的置信度为的置信度为0.95的置信区间的置信区间.解解,151 0.975,21 0.025,2 n :)1(2分布表可知分布表可知查查 n )15(2025.0,2022.6 s计算得计算得)15(2975.0 代入公式得标准差的置信区间代入公式得标准差的置信区间).60.9,58.4(附表附表4-14-1,488.27,262.6附表附表4-24-2例例42023-5-730解解,111 0.975,21 0.025,2 n );6

20、4.453,97.78().30.21,87.8(.0.95 1 2的置信区间的置信区间置信度为置信度为的的和标准差和标准差中总体方差中总体方差求例求例 2的置信区间的置信区间方差方差 的置信区间的置信区间标准差标准差 例例5 (续例续例1):)1(2分布表可知分布表可知查查 n,816.3)11(2975.0 ,920.21)11(2025.0 2023-5-731二、两个总体二、两个总体 的情况的情况),(),(222211 NN.,),(,),(,122212222121121的样本方差的样本方差分别是第一、二个总体分别是第一、二个总体总体的样本均值总体的样本均值分别是第一、二个分别是第

21、一、二个的样本的样本个总体个总体为第二为第二的样本的样本第一个总体第一个总体为为并设并设设给定置信度为设给定置信度为SSYXNYYYNXXXnn 讨论两个整体总体均值差和方差比的估计问题讨论两个整体总体均值差和方差比的估计问题.2023-5-732均为已知均为已知和和2221)1(1 21的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为 .2221212/nnzYX ,21的无偏估计的无偏估计分别是分别是因为因为 YX推导过程如下推导过程如下:,21的无偏估计的无偏估计是是所以所以 YX 21的置信区间的置信区间两个总体均值差两个总体均值差 1.,的独立性及的独立性及由由YX,1211 nNX

22、 ,2222 nNY 2023-5-733,22212121 nnNYX 可知可知 ,1,0 22212121NnnYX 或或 1 21的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为于是得于是得 2212/212.XYznn 2023-5-734 ,)3(222221为未知为未知但但 1 21的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为 .11)2(21212/nnSnntYXw.,2)1()1(2212222112wwwSSnnSnSnS 其中其中 ,)2(2221均均为为未未知知和和 ),50(21则有则有即可即可实用上实用上都很大都很大和和只要只要 nn 1 21的近似置信区间的近

23、似置信区间的一个置信度为的一个置信度为 .2221212/nSnSzYX 2023-5-735例例6为比较为比较,两种型号步枪子弹的枪口速度两种型号步枪子弹的枪口速度,随机地取随机地取型子弹型子弹10发发,得到枪口速度的平均值为得到枪口速度的平均值为),s/m(5001 x),s/m(10.1 1 s标准差标准差随机地取随机地取型子弹型子弹20发发,得枪口速度平均值为得枪口速度平均值为),s/m(4962 x),s/m(20.1 2 s标准差标准差假设两总体都可认为近似假设两总体都可认为近似地服从正态分布地服从正态分布,且由生产过程可认为它们的方差且由生产过程可认为它们的方差相等相等,求两总体

24、均值差求两总体均值差 .950 21的置的置的置信度为的置信度为 信区间信区间.解解 由题意由题意,两总体样本独立且方差相等两总体样本独立且方差相等(但未知但未知),2023-5-736 0.025,2 ,20,1021 nn,28221 nn :)1(分布表可知分布表可知查查 nt,0484.2)28(025.0 t,2820.11910.19 222 ws,1688.12 wwSs .950 21的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为于是得于是得 201101)28(025.021tSxxw),93.04().93.4,07.3(即即所所求求置置信信区区间间为为2023-5-73

25、7解解 由题意由题意,两总体样本独立且方差相等两总体样本独立且方差相等(但未知但未知),例例7为提高某一化学生产过程的得率为提高某一化学生产过程的得率,试图采用试图采用一种新的催化剂一种新的催化剂,为慎重起见为慎重起见,在试验工厂先进行在试验工厂先进行81 n.73.911 x,75.932 x体都可认为近似地服从正态分布体都可认为近似地服从正态分布,且方差相等且方差相等,求求两总体均值差两总体均值差 .950 21信区间信区间的置的置的置信水平为的置信水平为 试验试验.设采用原来的催化剂进行了设采用原来的催化剂进行了次试验次试验,得到得率的平均值得到得率的平均值,89.3 21 s样本方差样

26、本方差又采用新的催化剂进行了又采用新的催化剂进行了82 n次试验次试验,得到得率得到得率的平均值的平均值,02.4 22 s样本方差样本方差假设两总假设两总2023-5-738,3.962)1()1(212222112 nnSnSnsw且且 .950 21的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为于是得于是得 8181)14(025.021tsxxw),13.202.2().11.0,15.4(即所求置信区间为即所求置信区间为2023-5-739 .,21为未知的情况为未知的情况仅讨论总体均值仅讨论总体均值 1 2221的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为 .)1,1(1

27、,)1,1(1212/12221212/2221 nnFSSnnFSS推导过程如下推导过程如下:),1()1(1221211 nSn 由于由于 ),1()1(2222222 nSn 2221的置信区间的置信区间两个总体方差比两个总体方差比 2.2023-5-740 ,)1()1(2222221211相互独立相互独立与与且由假设知且由假设知 SnSn 根据根据F分布的定义分布的定义,知知 ),1,1(2122222121 nnFSS 22222121 SS即即 )1()1()1()1(222222121211 nSnnSn ),1,1(21 nnF2023-5-741,1 )1,1()1,1(2

28、12/22222121212/1 nnFSSnnFP ,1)1,1(1)1,1(1212/122212221212/2221 nnFSSnnFSSP 1 2221的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为于是得于是得 2211222/21221/21211,.(1,1)(1,1)SSSFnnSFnn 2023-5-742解解,181 n,132 n,10.0 ),mm(34.0 221 s),mm(29.0 222 s例例8 研究由机器研究由机器 A 和机器和机器 B 生产的钢管内径生产的钢管内径,随随机抽取机器机抽取机器 A 生产的管子生产的管子 18 只只,测得样本方差为测得样本方差

29、为均未知均未知,求方差比求方差比区间区间.设两样本相互独设两样本相互独);mm(34.0 221 s).mm(29.0 222 s抽取机器抽取机器B生产的管子生产的管子 13 只只,测测得样本方差为得样本方差为立立,且设由机器且设由机器 A 和机器和机器 B 生产的钢管内径分别服生产的钢管内径分别服从正态分布从正态分布),(),(222211 NN)2,1(,2 iii 2221 信信 0.90 的的置置信信度度为为的的置置2023-5-743,59.2)12,17()1,1(05.0212/FnnF)12,17()12,17(95.02/1FF ,38.21)17,12(105.0 F .9

30、00 2221的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为于是得于是得 38.229.034.0,59.2129.034.0 .79.2,45.0 2023-5-744解解,91 n,62 n,02.0 例例9甲、乙两台机床加工同一种零件甲、乙两台机床加工同一种零件,在机床甲在机床甲加工的零件中抽取加工的零件中抽取9个样品个样品,在机床乙加工的零件在机床乙加工的零件信区间信区间.假定测量值都服从正态分布假定测量值都服从正态分布,方差分别为方差分别为的置的置在置信度在置信度,245.0 21 s,357.0 22 s由所给数据算得由所给数据算得0.98下下,试求这两台机床加工精度之比试求这两

31、台机床加工精度之比.,2221 21 中抽取中抽取6个样品个样品,并分别测得它们的长度并分别测得它们的长度(单位单位:mm),3.10)5,8()1,1(99.0212/1 FnnF 2023-5-745)5,8()5,8(01.02/FF ,63.61)8,5(199.0 F .980 21的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为于是得于是得 )1,1(1,)1,1(1212/12221212/2221 nnFSSnnFSS 357.063.6245.0,3.10357.0245.0 .133.2,258.0 2023-5-746作业：作业：书面：书面：P175:16,17,21,2

32、3.熟练熟练掌握寻求置信区间的方法掌握寻求置信区间的方法;正态总体均值与正态总体均值与方差的区间估计。方差的区间估计。2023-5-747附表附表2-12-1标准正态分布表标准正态分布表z01234567890.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51.60.50000.53980.57930.61790.65540.69150.72570.75800.78810.81590.84130.86430.88490.90320.91920.93320.94520.50400.54380.58320.62170.65910.69500.72910

33、.76110.79100.81860.84380.86650.88690.90490.92070.93450.94630.50800.54780.58710.62550.66280.69850.73240.76420.79390.82120.84610.86860.88880.90660.92220.93570.94740.51200.55170.59100.62930.66640.70190.73570.76730.79670.82380.84850.87080.89070.90820.92360.93700.94840.51600.55570.59480.63310.67000.70540

34、.73890.77030.79950.82640.85080.87290.89250.90990.92510.93820.94950.51990.55960.59870.63680.67360.70880.74220.77340.80230.82890.85310.87490.89440.91150.92650.93940.95050.52390.56360.60260.64060.67720.71230.74540.77640.80510.83150.85540.87700.89620.91310.92780.94060.95150.52790.56750.60640.64430.68080

35、.71570.74860.77940.80780.83400.85770.87900.89800.91470.92920.94180.95250.53190.57140.61030.64800.68440.71900.75170.78230.81060.83650.85990.88100.89970.91620.93060.94300.95350.53590.57530.61410.65170.68790.72240.75490.78520.81330.83890.86210.88300.90150.91770.93190.94410.95451.6452023-5-748z012345678

36、91.61.71.81.92.02.12.22.32.42.52.62.72.82.93.00.94520.95540.96410.97130.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.99740.99810.99870.94630.95640.96480.97190.97780.98260.98640.98960.99200.99400.99550.99660.99750.99820.99900.94740.95730.96560.97260.97830.98300.98680.98980.99220.99410.99560.99670.

37、99760.99820.99930.94840.95820.96640.97320.97880.98340.98710.99010.99250.99430.99570.99680.99770.99830.99950.94950.95910.96710.97380.97930.98380.98710.99040.99270.99450.99590.99690.99770.99840.99970.95050.95990.96780.97440.97980.98420.98780.99060.99290.99460.99600.99700.99780.99840.99980.95150.96080.

38、96860.97500.98030.98460.98810.99090.99310.99480.99610.99710.99790.99850.99980.95250.96160.96930.97560.98080.98500.98840.99110.99320.99490.99620.99720.99790.99850.99990.95350.96250.97000.97620.98120.98540.98870.99130.99340.99510.99630.99730.99800.99860.99990.95450.96330.97060.97670.98170.98580.98900.

39、99160.99360.99520.99640.99740.99810.99861.00001.96附表附表2-2-2 2标准正态分布表标准正态分布表2023-5-749附表附表3-13-1=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.372

40、21.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.896

41、5 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.583563.6574 9.9248 5.8409 4.6041 4.0322 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208nt分布表分布表2.13152023-5-750=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.6

42、9980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.228

43、1 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.583563.6574 9.9248 5.8409 4.6041 4.0322 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208n2.2010附表附表3-3-2 2t分布表分布表2023-5-7

44、51附表附表4-24-2=0.9950.990.9750.950.900.75123456789101112131415160.0100.0720.2070.4120.6760.9891.3441.7352.1562.6033.0743.5654.0754.6015.1420.0200.1150.2970.5540.8721.2391.6462.0882.5583.0533.5714.1074.6605.2295.8120.0010.0510.2160.4840.8311.2371.6902.1802.7003.2473.8164.4045.0095.6296.2626.9080.0040.1

45、030.3520.7111.1451.6352.1672.7333.3253.9404.5755.2265.8926.5717.2617.9620.0160.2110.5841.0641.6102.2042.8333.4904.1684.8655.5786.3047.0427.7908.5479.3120.1020.5751.2131.9232.6753.4554.2555.0715.8996.7377.5848.4389.29910.16511.03711.912n2 分布表分布表6.2622023-5-752附表附表4-14-1=0.250.100.050.0250.010.0051234

46、56789101112131415161.3232.7734.1085.3856.6267.8419.03710.21911.38912.54913.70114.84515.98417.11718.24519.3692.7064.6056.2517.7799.23610.64512.01713.36214.68415.98717.27518.54919.81220.06422.30723.5423.8415.9917.8159.48811.07112.59214.06715.50716.91918.30719.67521.02622.36223.68524.99626.2965.0247.3789.34811.14312.83314.44916.01317.53519.02320.48321.92023.33724.73626.11927.48828.8456.6359.21011.34513.27715.08616.81218.47520.09021.66623.20924.72526.21727.68829.14130.57832.0007.87910.59712.83814.86016.75018.54820.27821.95523.58925.18826.75728.29929.89131.31932.80134.267n2 分布表分布表27.488