2023届陕西省长安区高三第一次模拟考试理科数学试卷+答案.pdf

1、理科数学第 1 页 共 5 页2023 年长安区高三年级第一次模拟试题理 科 数 学本试卷分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上.2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持纸面清洁，不折叠，不

2、破损.5.若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并在答题纸上对应的题号后填写.第 I 卷（选择题 共 60 分）一、一、选择题选择题：（本大题共本大题共 12 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 60 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合只有一项是符合题目要求的题目要求的）1复数 z 满足(3)(2 i)5z，则 z 的共轭复数z在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2设集合23560,log1Ax xxBxx，则RAB ()A3,4)B13，C(,1)D(,33在平行四边形ABCD中，G为BCD的重心，AGxAByAD，则2x

3、y()A23B2C43D34执行如图所示的程序框图.如果输入的a为 2，输出的S为 4，那么p()A13B14C15D165某兴趣小组由 2 名男同学与 3 名女同学组成，他们完成一项活动后，要从这 5 名同学中选 2 人写活动体会，则所选男生人数不少于 1 名的概率为()A310B25C35D710理科数学第 2 页 共 5 页6若,24，且231coscos222，则tan4()A3B1C1D27圣索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于 1907 年拜占庭风格的东正教教堂，被列为第四批全国重点文物保护单位，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略

4、它的美.如图，小明为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物 AB，高为 6m，在它们之间的地面上的点 M（B，M，D 三点共线）处测得楼顶 A，教堂顶 C 的仰角分别是 15和 60，在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角为 30，则小明估算索菲亚教堂的高度约为(取31.7)()A24.2mB28.2mC33.5mD46.4m8设0,1abab且1111,log,logbbabxya zaba，则,x y z的大小关系是()A.xzyB.zyxC.yzxD.xyz9.已知函数()cos(3)f xx22的图象关于直线4x对称，则下列说法正确的是()A.函数12fx为偶函数B.

5、函数 fx在12 3，上单调递增C.若122f xf x，则12xx的最小值为3D.函数 fx的图象向右平移4个单位长度得到函数cos3yx 的图象10.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，12,O O为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF 为底面圆1O的一条直径，若球的半径2r，则下列说法错误的错误的是（）理科数学第 3 页 共 5 页A球与圆柱的表面积之比为23B四面体 CDEF 的体积的取值范围为3203，C若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PEPF的取值范围为22 5

6、 4 3，D平面 DEF 截得球的截面面积最小值为13511.点,A B为抛物线2:2C xpy上的两点，F是抛物线C的焦点，若60AFB，AB中点D到抛物线C的准线的距离为d，则ABd的最小值为()A.2B.1C.3D.212.已知函数 fx及其导函数 fx的定义域均为 R，对任意的x，Ry，恒有 2fxyfxyfxfy，则下列说法正确的是()A.01fB.fx必为偶函数C.00fxfD.若 112f，则 2023112nf n第 II 卷（非选择题 共 90 分）二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分.把答案填在答题卷中相应的横线上

7、把答案填在答题卷中相应的横线上）1372112xxx的展开式中4x的系数为.(请用数字作答请用数字作答)14直线:230()l mxymmR与圆22:2150C xyy交于两点P、Q，则弦长|PQ的最小值是.15.若函数 32=21fxxax(aR)在0,内有且只有一个零点，则 fx在2,2上的最大值与最小值的和为_.16.已知椭圆2222+10,0 xyabab上一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆右焦点，且满足AFBF，设ABF，且,6 3，则该椭圆的离心率的取值范围是_.理科数学第 4 页 共 5 页三、三、解答题解答题：（共共 7 小题小题,共共 70 分分.解答应写出文字说明解

8、答应写出文字说明,证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题题为必考题.第第 22、23 题为选考题题为选考题,考生根据要求作答）考生根据要求作答）（一）（一）必考题：共必考题：共 60 分分.17.(本小题满分 12 分)已知数列 na，nb，满足1100a，21nnaa，lgnnba.(1)求数列 nb的通项公式；(2)若22122loglog.lognnnncbbb，求数列1nc的前n项和nS.18.(本小题满分 12 分)在斜三棱柱 ABCABC中，ABC 是边长为 2 的正三角形，侧棱 AA2 3，顶点 A在平面 ABC 的射影为 BC 边的中点 O.(1)求证

9、：平面 BCCB平面 AOA；(2)求平面 ABC 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值19.(本小题满分 12 分)某公司计划在 2023 年年初将 200 万元用于投资，现有两个项目供选择项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 30%，也可能亏损 15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能损失 30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13，115(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；(2)若市场预期不变，该投资公司按照(1)中选择的项目长

10、期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻两番？(参考数据lg20.3010，lg30.4771)20.(本小题满分 12 分)数学家加斯帕尔蒙日创立的画法几何学对世界各国科学技术的发展影响深远在双曲线2222:10,0 xyCabab中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆已知双曲线C的实轴长为2 6，其蒙日圆方程为224xy(1)求双曲线 C 的标准方程；(2)设点3,1P关于坐标原点的对称点为 Q，不过点P且斜率为13的直线与双曲线 C 相交于

11、M，N 两点，直线 PM 与 QN 交于点00,D xy，求直线OD的斜率值理科数学第 5 页 共 5 页21.(本小题满分 12 分)已知1()lnxef xxxax.(1)当1ae时，求()f x的单调区间；(2)当0 x 时，()0f x，求实数a的取值范围.（二）（二）选考题：共选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.22.选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）在平

12、面直角坐标系xoy中,曲线C的参数方程为23cos3sinxy(为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为2 sin2 33m.(1)写出直线l的参数方程及曲线C的普通方程；(2)设点(2,)Pm，若直线l与曲线C交于A,B两点，且20PAPB ，求实数m的值.23.选修45：不等式选讲（本小题满分 10 分）设函数2()2|,f xxaxa xR.(1)当2a 时，求不等式()8f x 的解集；(2)对任意xR，恒有()5f xa，求实数a的取值范围.理科数学答案第 1 页 共 9 页2023 年长安区高三年级第一次模考理科数学答案年长安区高三年级第一

13、次模考理科数学答案及评分标准及评分标准一、一、选择题：选择题：题号题号123456789101112答案答案DBACDDBACDBD二、填空题二、填空题13.44814.6215.2216.23-12，1D【详解】535i2iz，则5iz，位于第四象限.2B【详解】因为集合25601,6Ax xx，且R(,3B ，所以R 1,3AB.3A【详解】如图，设AC与BD相交于点O，由G为BCD的重心，可得O为BD的中点，2CGGO，则144122333233AGAOOGAOOCAOABADABAD ，可得23xy，故22.3xy 4C【详解】由程序框图可知，输出的222231loglog.log41

14、2iSi，则2log14i，得15i，那么判断框图15p.5D【详解】设 2 名男生为12,a a，3 名女生为123,b b b，从5 人中选2 人的总选法为 12111213222231213123,a aa ba ba ba ba ba bb bb bb b，共 10 种不同选法，则没有男生的选法共 3 种：121323,b bb bb b，故所求概率为710P 6D【详解】因为,24，所以tan1，由231coscos222，得21cossin22，即222cos2sincos1cossin2，所以212tan11tan2，即2tan4tan30，解得tan3 或tan1(舍).tan

15、42.7B【详解】如图所示，在Rt ABM中，sin15ABAM，在ACM中，301545CAM，1801560105AMC，所以30ACM，由正弦定理sinsinAMCMACMCAM，理科数学答案第 2 页 共 9 页可得sin2sinsin15CAMABCMAMACM，又由232162sin15sin(4530)22224 ，在RtCDM中，可得66 6sin6028.22sin156224ABCDCM.8A【详解】由0,1abab可1012ba，111logloglog1a babababzababab，而1loglogbbyaa，因为01b，所以loglog1,log1bbbabyaz

16、 ，而1x ，所以顺序为xzy.9C【详解】因为()cos(3)f xx的图象关于直线4x对称，所以34kkZ，得34k，Zk，因为22，所以1,4k，所以()cos 34f xx，对于 A：cos 3sin312124fxxx，所以12fx为奇函数，故选项 A 不正确；对于 B：12 3x，时，53,442x，函数 f x在12 3，上不是单调函数；故选项 B 不正确；对于 C：因为 max1f x，min1f x，又因为122f xf x，所以12xx的最小值为半个周期，即21323，故选项 C 正确；对于 D：函数 f x的图象向右平移4个单位长度cos 3cos 3sin3442yxx

17、x，故选项 D 不正确；10.D【详解】由球的半径为r，可知圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2r，则球表面积为24 r，圆柱的表面积222226rrrr，所以球与圆柱的表面积之比为23，故 A 正确；由题可知四面体 CDEF 的体积等于12E DCOV，点E到平面1DCO的距离(0,2d，又114 482DCOS，所以123228(0,33E DCOVd，故 B 正确；理科数学答案第 3 页 共 9 页由题可知点P在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设P在底面的射影为P，则2222222,2,2,16PPPEP EPFP FP EP F，设2tP E，则20,4t，222216PEPFtt，所以

18、2222222162421680PEPFtttt22428144248 5,48t，所以22 5,4 3PEPF，故 C 正确.过O作1OGDO于G，则由题可得12 42 5252 5OG，设O到平面DEF的距离为1d，平面DEF截得球的截面圆的半径为1r则1dOG，22221114164455rrdd，所以平面 DEF 截得球的截面面积最小值为165，故 D 错误；11.B【详解】在ABF中，22222222cos6031-3=24ABAFBFAF BFAFBFAF BFAFBFAFBFAFBF，=2AFBFd，易得1ABd.12.D【详解】对于 A，令0 xy，则由 2fxyfxyfxfy

19、可得 22020ff，故(0)0f或 01f，故 A 不正确；对于 B,当(0)0f时，令0y，则 200fxfxfxf，则()0f x，故()0fx，函数()fx既是奇函数又是偶函数；当 01f时，令0 x，则 2fyfyfy，所以 fyfy，fx为偶函数，则()fx为奇函数；综合以上可知()fx必为奇函数，B 不正确；理科数学答案第 4 页 共 9 页对于 C，令xy，则 2202fxffx，故 200fxf。由于xR,令2,Rtx t,即 00f tf，即有 00f xf，故 C 不正确；对于 D，若 112f，令1,0 xy，则 11210ffff，则(0)1f，故令1xy，则 220

20、21fff，即 1121,222ff ，令2,1xy，则 31221ffff，即 113,(3)122ff ，令3,1xy，则 42231ffff，即 1141,(4)22ff ，令4,1xy，则 53241ffff，即 1151,(5)22ff ，令5,1xy，则 64251ffff，即 116,(6)122ff，令6,1xy，则 75261ffff，即 1171,(7)22ff，L由此可得(),Nf n n的值有周期性，且 6 个为一周期，且(1)(2)(3)(4)(5)(6)0ffffff，故 202311337 (1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)2nf nfffffff，故 D

21、 正确，13【详解】7212xx的展开式通项为 7277 31772121rrrrrrrrrTCxxCx，当 r=1 时，系数为448.14.【详解】圆22:(1)16C xy的圆心(0,1)C，半径4r，直线:130(3)10l mxymm xy 过定点(3,2)M，并在圆C内，|PQ最长为直径，最短PQ时，点(3,2)M为弦PQ的中点，即CMPQ时，算得|2 6PQ 15.【详解】由3221=0 xax可得-2=2axx，令-2g=2xxx，-3g=2-2xx，当 g=0 x时，=1x.当01x时 g x单调减，当1x 时 g x单调递增，所以当=1x时 g x有最小值g(1)=3，即=3

22、a.理科数学答案第 5 页 共 9 页函数 32=231fxxx，则 2=66=61fxxxx x，当=0fx时，12=0=1xx，.当-20 x时 g x单调递增，当01x时 g x单调递增，当12x时 g x单调递增.因此f(-2)=-27 f(0)=1f(1)=0f(2)=5，故函数 fx在2 2-,上的最大值为 5，最小值为27，最大值与最小值的和为22.16.【详解】设椭圆2222+10,0 xyabab的左焦点为1F，因为AFBF，所以四边形1AF BF为矩形，所以1=2AB FFc。因为ABF，所以2 sin,2 cosAFcBFc，由椭圆的定义得22 sin+2 cosacc，

23、所以11sin+cos2sin4cea.因为，,6 3 所以57+,412 12，所以2+6sin,144，所以23-12e，.17.【详解】(1)证明：因为21nnaa，11000a，所以21lglgnnaa，即1lg2lgnnaa，12nnbb-3 分又因为12b，所以 nb是首项为 2，公比为 2 的等比数列，所以 nb的通项公式为2nnb.-6 分(2)2lognbn，则 123112222nnnnn nnnnnc，122 113(1)31nn nnnc，-9 分212 112 112112 111323 233 343131nSnnnn2121313(1)nnn.-12 分18.【详

24、解】(1)证明ABAC 且 O 为 BC 的中点，AOBC，又 AO平面 ABC，BC平面 ABC，AOBC，AOAOO，AO，AO平面 AOA.故 BC平面 AOA，又 BC平面 BCCB，平面 BCCB平面 AOA.-6 分(2)解AO平面 ABC，AOBC，以点 O 为坐标原点，OA，OB，OA所在直线理科数学答案第 6 页 共 9 页分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，AO 3，AA2 3，AO AA2AO23，由条件可得 A(0,0,3)，B(3，1,3)，C(0，1,0)，从而 AB(3，1,0)，CA(0,1,3)，设平面 ABC 的法向量为 n1(x，y，z)，

25、由n1 AB0，n1 CA0，得 3xy0，y3z0，取 x 3，则 y3，z1.可得 n1(3，3，1)，-8 分易知平面 ABC 的一个法向量为 n2(0,0,1)，-9 分设平面 ABC 与平面 ABC 所成锐二面角为，则 cos|cosn1，n2|n1n2|n1|n2|1131|1313，故平面 ABC 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为1313.-12 分19.【详解】(1)若投资项目一，设获利为1万元，则1的分布列为160-30P7929 1=60 79+(30)29=40，-3 分若投资项目二，设获利为2万元，则2的分布列为21000-60P3511513 2=100 35+

26、0 115+(60)13=40 1=2-6 分 1=(60 40)279+(30 40)229=1400.2=(100 40)235+(0 40)2115+(60 40)213=5600，1 2，-9 分理科数学答案第 7 页 共 9 页这说明虽然项目一、项目二获利的均值相等，但项目一更稳妥综上所述，建议该投资公司选择项目一进行投资(2)假设 n 年后总资产可以翻两番，依题意，200 1+40200=800，即 1.2=4，两边取对数，得 1.2=4，=422+31 7.6106，大约在 2030 年年底总资产可以翻两番-12 分20.【详解】(1)由题意可知，22422 6aba，解得6a，

27、2b，所以C的标准方程为：22162xy-4 分(2)设11,M x y，22,N xy，直线 MN 的方程为103yxm m，由2213162yxmxy得22223603xmxm，直线 MN 与 C 相交于 M，N 两点，22222436121603mmm ，则123xxm-6 分由题意知，3,1Q，当直线 PM，QN 的斜率均存在时，11111111133333PMxmymkxxx，22222111133333QNxmymkxxx，所以直线 PM 的方程为111333myxx，直线 QN 的方程为211333myxx-8 分两方程联立得，12012123966xxmxxxxx ，显然00

28、x，又001113333mmyxxx，所以10121201111123661311133393333333xyxxxxmmmxxxmxxx，-10 分理科数学答案第 8 页 共 9 页当直线 PM 的斜率不存在时，易求得直线 PM 的方程为3x，直线 QN 的方程为213yx，则03x，03y，所以001yx当直线 QN 的斜率不存在时，易求得直线 QN 的方程为3x ，直线 PM 的方程为213yx，则03x ，03y ，所以001yx.综上，001yx.-12 分21.【详解】2(1)()(1)()(0)()()()10()()()()(0)0()01()(1,)(1).xxxxexf x

29、fxxh xexh xexh xh xhfxxf x 定义域为,+，令，由0得，所以在-,0 递减，在 0,+递增.所以，-2分所以得，所以单调递增区间为，单调递减区间为 0,-4分ln11(2)ln()ln()101.()(0,1)(1,)()0.11.1()()01()(0,1)(1,)xxttttexxt xxxt xxaext xt xtetaeaeettg tg ttg tee 由题意得，令，得在递减，在+递增.-8分，即-9分令=，=得，所以在单调递增，在+单调递减.-111()(1),01.g tgaeaee-11分-12分22.【详解】(1)因为2 sin2 33m,所以2 s

30、incos2 cos sin2 333m,又因为sin,cosyx,所以化简为3(2)yxm,所以直线l的参数方程为122(32xttymt为参数)-3 分由23cos3sinxy消 去得:22(2)9xy,所 以 曲 线C的 普 通 方 程 为22(2)9xy.-5 分(2)由2PAPB 0 知PA 与PB 反向,所以点(2,)Pm在圆内,-6 分联立直线l的参数方程和曲线C的普通方程，可得22390tmtm,理科数学答案第 9 页 共 9 页设,A B对应的参数分别为12,t t.故123ttm ,2129t tm由1200t t,解得33m.-8 分又 因 为120t t,由 于122tt,代 入 得279m,解 得3 77m (符 合m的 取 值 范围).-10 分23.【详解】(1)当2a 时,()8|6|2|8f xxx当6x时,有288x,解得8x,此时得8x；当26x时,有628xx,此时无解；当2x时,有628xx,解得0 x,此时得0 x.-4 分综上,不等式()8f x 的解集为(,0)(8,).-5 分(2)对任意xR,恒有()5f xa,则min()5f xa因为22()2|2f xxaxaaa,所以225aaa-7 分即22 5aaa,解得3a或3a-9 分所以实数a的取值范围为(,3 3,)-10 分