湘豫名校联考2023届高三5月三模理科数学试卷+答案.pdf
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1、数学(理科)参考答案 第1 页(共9页)湘 豫 名 校 联 考2 0 2 3年5月高三第三次模拟考试数学(理科)参考答案题号1234567891 01 11 2答案CCBBCDDCDAAB一、选择题:本题共1 2小题,每小题5分,共6 0分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C【命题意图】本题考查元素与集合的关系,考查数据分析的核心素养.【解析】因为U=1,2,3,4,5,UA=2,4,所以A=1,3,5.又UB=3,4,所以B=1,2,5.所以3A,3B.故选C.2.C【命题意图】本题考查复数相等,考查数学运算的核心素养.【解析】由i3=a-bi(a,bR),得-i=a
2、-bi.所以a=0,b=1.所以a+b=1.故选C.3.B【命题意图】本题考查向量的投影,考查直观想象、数学运算的核心素养.【解析】由题知,向量b=a+b-a=(-1,7)-(1,3)=(-2,4),所以ab=-2+1 2=1 0.又|b|=4+1 6=2 5.所以向量a在向量b方向上的投影为ab|b|=1 02 5=5.故选B.4.B【命题意图】本题考查排列组合、古典概型,考查逻辑推理、数学运算的核心素养.【解析】依题意,可得三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员的概率为C13C24C222+C14C33()A2234=3 3+4()234=1 42 7.故选B.5.C【命题意图】本题考
3、查双曲线的标准方程,考查数学运算、逻辑推理的核心素养.【解析】设双曲线C1的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0)或y2a2-x2b2=1(a0,b0),因为C1和C2有相同的焦距,双曲线C2:x27-y2=1的焦距为4 2,所以双曲线C1的焦距2c=4 2.若C1的焦点在x轴上,将点(3,1)代入x2a2-y2b2=1(a0,b0),得32a2-12b2=1.又a2+b2=c2=8,联立两式得a2=6,b2=2.所以双曲线C1的标准方程为x26-y22=1.若C1的焦点在y轴上,将点(3,1)代入y2a2-x2b2=1(a0,b0),得12a2-32b2=1.又a2+b2=c2=8,联立
4、两式得a2=9-7 3,b2=7 3-1,所以双曲线C1的标准方程为y29-7 3-x27 3-1=1.综上所述,双曲线C1的标准方程为x26-y22=1或y29-7 3-x27 3-1=1.故选C.6.D【命题意图】本题考查四个平均数的大小关系,基本不等式的性质,考查数学运算的核心素养.【解析】方 法一:a ba+b2()2=14(当 且仅 当a=b时 取 等 号),A正 确;易 知a+b2a2+b22,则12a2+b22,即a2+b212(当且仅当a=b时取等号),B正确;由题得1a+1b+1=11-b+1b+1=21-b2,1-b2(0,1),故1a+1b+12,C正确;易知a+b2a+
5、b2=12,即a+b 2(当且仅当a=b时取等数学(理科)参考答案 第2 页(共9页)号),D错误.故选D.方法二(特殊情况):取a=b=12,则a+b=12+12=2,故D错误.故选D.7.D【命题意图】本题考查程序框图,考查数学运算、逻辑推理的核心素养.【解析】执行程序框图,第一次循环:15,M=12+12=2,b=2,a=0,n=2;第二次循环:25,M=02+22=4,b=1,a=2,n=3;第三次循环:35,M=22+12=5,b=3,a=3,n=4;第四次循环:45,退出循环,输出M=2 7 2.故选D.8.C【命题意图】本题考查二项式定理,考查数学运算的核心素养.【解析】1y+x
6、()(x+3y)6=1y(x+3y)6+x(x+3y)6.(x+3y)6的展开式的通项为Tr+1=Cr6x6-r(3y)r=Cr63rx6-ryr.因为1y(x+3y)6的展开式中没有x4y3项,x(x+3y)6的展开式中x4y3项为xC3633x3y3=5 4 0 x4y3,所以1y+x()(x+3y)6的展开式中x4y3的系数为5 4 0.故选C.9.D【命题意图】本题考查等差数列的基本运算,数列的前n项和,考查数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养.【解析】设等差数列的首项为a1,公差为d,则由a1+a8=2a5-2,a3+a1 1=2 6,得a1+a1+7d=2(a1+4d)-2,a1
7、+2d+a1+1 0d=2 6,化简得7d=8d-2,2a1+1 2d=2 6,解得a1=1,d=2.所以an=1+(n-1)2=2n-1.设数列anc o sn的前n项和为Sn,则S20 2 2=-a1+a2-a3+a4-a20 2 1+a20 2 2=(a2-a1)+(a4-a3)+(a20 2 2-a20 2 1)=10 1 1d=20 2 2.故选D.1 0.A【命题意图】本题考查三棱锥的外接球的体积,考查直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.【解析】在P A Q中,设A Q=x,则P Q=x2+(2)2=x2+2.所 以P A Q的周长为2+x+x2+21+2+3.所以x2+21+
8、3-x,不等式两边平方,得x2+24+2 3-2(1+3)x+x2,解得x1,即A Q的最小值是1.所以点A到边B C的距离为1.当A Q取最小值时,因为在R tA B Q中,A B=2,所以B A Q=6 0 .又B A C=6 0,所以C,Q两点重合,所以A C B=9 0,即A CB C.又P A平面A B C,B C平面A B C,所以P AB C.因为P AA C=A,所以B C平面P A C.因为P C平面P A C,所以B CP C.因为P B是R t P A B和R t P C B的公共斜边,所以P B为三棱锥P A B C的外接球的直径,设外接球的半径为R,则R=12P B=
9、12P A2+A B2=12(2)2+22=62,所以三棱锥P A B C的外接球的体积V=43R3=43623=6 .故选A.1 1.A【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查直观想象、数学抽象和逻辑推理的核心素养.【解析】如图,不妨设点A在x轴上方,由抛物线的定义可知|A F|=|AM|,因为FMD=3 0,所以AMF=9 0 -3 0 =6 0,所以AMF是正三角形.由y2=4x可知F(1,0),D(-1,0),设A(xA,yA),B(xB,yB),因为FMD=3 0,|D F|=2,所以|DM|=23,|M F|=|AM|=4.所以xA=4-1=3.所以点A的坐标为(3,2 3
10、),所数学(理科)参考答案 第3 页(共9页)以直线A B的方程为y-2 30-2 3=x-31-3,整理得y=3x-3.由y=3x-3,y2=4x,得3x2-1 0 x+3=0,解得xA=3,xB=13.将xB=13代入直线A B的方程,得yB=313-3=-233.所以点B的坐标为13,-233.所以S四边形A MD B=S四边形A MD F+SB D F=12(2+4)2 3+1222 33=2 0 33.故选A.1 2.B【命题意图】本题考查通过构造函数,利用导数比较大小,考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.【解析】a=11+e2=1-11e2+1,b=1e=1e2,c=l n1+e2e
11、2=l n1e2+1(),令f(x)=x-l n(x+1),0 x0,所以f(x)在(0,1)上单调递增.所以f(x)f(0)=0,即x l n(x+1).令g(x)=l n(x+1)-1+1x+1,0 x0,所以g(x)在(0,1)上单调递增.所以g(x)g(0)=0,即l n(x+1)1-1x+1.又当0 xx,所以当0 xxl n(x+1)1-1x+1.所以当x=1e2时,1e21e2 l n1e2+1()1-11e2+1,即bca.故选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共2 0分.1 3.1 4x-y-8=0【命题意图】本题考查导数的几何意义,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.
12、【解析】由题得f(x)=6x2+8x,所以曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率为f(1)=1 4.又f(1)=6,所以曲线f(x)=2x3+4x2在点(1,f(1)处的切线方程为y-6=1 4(x-1),即1 4x-y-8=0.1 4.3(答案不唯一,答对即可得分)【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系,考查逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.【解析】因为 圆 心C(a,1)到 直 线l的 距 离d=|a-1|12+(-1)2=|a-1|2,所 以r=d2+|A B|2()2=|a-1|22+(2)2,即r2=|a-1|22+2.由题意,得|a-1|22必为整数,且0|a-1|2r
13、,所以可取a=-1或a=3,此时r=2.因此a的值可以取3.1 5.7或8(只答一个不得分)【命题意图】本题考查等比数列的基本运算,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.【解析】由题可知a40,因为8a7=a4,所以q3=a7a4=18,解得q=12.又S6=2 5 2,所以a11-12()61-12=2 5 2,解得a1=1 2 8.所以an=1 2 812()n-1.令an=1 2 812()n-11,得n8.又a8=1 2 812()7=1,所以当n=7或8时,a1a2an最大.1 6.1 5 【命题意图】本题考查正弦函数的图象与性质,考查逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.【解析】由题
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