九年级数学反比例函数的专项培优练习题及答案解析.doc

1、九年级数学反比例函数的专项培优练习题及答案解析一、反比例函数1如图，直线y=x+b与反比例函数y= 的图象相交于A（1，4），B两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接OB （1）求k和b的值； （2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围； （3）在y轴上是否存在一点P，使SPAC= SAOB？若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由 【答案】（1）解：将A（1，4）分别代入y=x+b和 得：4=1+b，4= ，解得：b=5，k=4（2）解：一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围为：x4或0x1（3）解：过A作ANx轴，过B作BMx轴， 由（1）知，b=5，k=4，

2、直线的表达式为：y=x+5，反比例函数的表达式为： 由 ，解得：x=4，或x=1，B（4，1）， ， ， ，过A作AEy轴，过C作CDy轴，设P（0，t），SPAC= OPCD+ OPAE= OP（CD+AE）=|t|=3，解得：t=3，t=3，P（0，3）或P（0，3）【解析】【分析】（1）由待定系数法即可得到结论；（2）根据图象中的信息即可得到结论；（3）过A作AMx轴，过B作BNx轴，由（1）知，b=5，k=4，得到直线的表达式为：y=x+5，反比例函数的表达式为： 列方程 ，求得B（4，1），于是得到 ，由已知条件得到 ，过A作AEy轴，过C作CDy轴，设P（0，t），根据三角形的面积

3、公式列方程即可得到结论2如图，一次函数y=kx+b（k0）与反比例函数y= 的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1） （1）求反比例函数的解析式； （2）连接OB（O是坐标原点），若BOC的面积为3，求该一次函数的解析式 【答案】（1）解：点A（4，1）在反比例函数y= 的图象上， m=41=4，反比例函数的解析式为y= （2）解：点B在反比例函数y= 的图象上， 设点B的坐标为（n， ）将y=kx+b代入y= 中，得：kx+b= ，整理得：kx2+bx4=0，4n= ，即nk=1令y=kx+b中x=0，则y=b，即点C的坐标为（0，b），SBOC= bn=3

4、，bn=6点A（4，1）在一次函数y=kx+b的图象上，1=4k+b联立成方程组，即 ，解得： ，该一次函数的解析式为y= x+3 【解析】【分析】（1）由点A的坐标结合反比例函数系数k的几何意义，即可求出m的值；（2）设点B的坐标为（n， ），将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，利用根与系数的关系可找出n、k的关系，由三角形的面积公式可表示出来b、n的关系，再由点A在一次函数图象上，可找出k、b的关系，联立3个等式为方程组，解方程组即可得出结论3给出如下规定：两个图形G1和G2 ， 点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间

5、的距离在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点（1）点A的坐标为A（1，0），则点B（2，3）和射线OA之间的距离为_，点C（2，3）和射线OA之间的距离为_； （2）如果直线y=x+1和双曲线y= 之间的距离为 ，那么k=_；（可在图1中进行研究） （3）点E的坐标为（1， ），将射线OE绕原点O顺时针旋转120，得到射线OF，在坐标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M请在图2中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）将射线OE，OF组成的图形记为图形W，直线y=2x4与图形M的公共部分记为图形N，请求出图形W和图形N之间的距离

6、 【答案】（1）3；（2）4（3）解：如图，x轴正半轴，GOH的边及其内部的所有点（OH、OG分别与OE、OF垂直），；由知OH所在直线解析式为y= x，OG所在直线解析式为y= x，由 得 ，即点M（ ， ），由 得： ，即点N（ ， ），则 x ，图形N（即线段MN）上点的坐标可设为（x，2x4），即图形W与图形N之间的距离为d，d= = = 当x= 时，d的最小值为 = ，即图形W和图形N之间的距离 【解析】【解答】解：（1）点（2，3）和射线OA之间的距离为3，点（2，3）和射线OA之间的距离为 = ，故答案分别为：3， ；（2）直线y=x+1和双曲线y= k x 之间的距离为 ，k0

7、（否则直线y=x+1和双曲线y= 相交，它们之间的距离为0）过点O作直线y=x+1的垂线y=x，与双曲线y= 交于点E、F，过点E作EGx轴，如图1，由 得 ，即点F（ ， ），则OF= = ，OE=OF+EF=2 ，在RtOEG中，EOG=OEG=45，OE=2 ，则有OG=EG= OE=2，点E的坐标为（2，2），k=22=4，故答案为：4；【分析】（1）由题意可得出点B（2，3）到射线OA之间的距离为B点纵坐标，根据新定义得点C（2，3）和射线OA之间的距离；（2）根据题意即可得k0（否则直线y=x+1和双曲线y= k x 相交，它们之间的距离为0）过点O作直线y=x+1的垂线y=x，与

8、双曲线y= k x 交于点E、F，过点E作EGx轴，如图1，将其联立即可得点F坐标，根据两点间距离公式可得OF长，再由OE=OF+EF求出OE长，在RtOEG中，根据等腰直角三角形的性质可得点E的坐标为（2，2），将E点代入反比例函数解析式即可得出k值.（3）如图，x轴正半轴，GOH的边及其内部的所有点（OH、OG分别与OE、OF垂直）；由知OH所在直线解析式为y= x，OG所在直线解析式为y= x，分别联立即可得出点M、N坐标，从而得出x取值范围，根据题意图形N（即线段MN）上点的坐标可设为（x，2x4），从而求出图形W与图形N之间的距离为d，由二次函数性质知d最小值.4如图，直线y=mx+

9、n与双曲线y= 相交于A（1，2）、B（2，b）两点，与y轴相交于点C（1）求m，n的值； （2）若点D与点C关于x轴对称，求ABD的面积； （3）在坐标轴上是否存在异于D点的点P，使得SPAB=SDAB？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，说明理由 【答案】（1）解：点A（1，2）在双曲线y= 上，2= ，解得，k=2，反比例函数解析式为：y= ，b= =1，则点B的坐标为（2，1）， ，解得，m=1，n=1（2）解：对于y=x+1，当x=0时，y=1，点C的坐标为（0，1），点D与点C关于x轴对称，点D的坐标为（0，1），ABD的面积= 23=3（3）解：对于y=x+1，当y=0时，x=1

10、，直线y=x+1与x轴的交点坐标为（0，1），当点P在x轴上时，设点P的坐标为（a，0），SPAB= |1a|2+ |1a|1=3，解得，a=1或3，当点P在y轴上时，设点P的坐标为（0，b），SPAB= |1b|2+ |1b|1=3，解得，b=1或3，P点坐标为（1，0）或（3，0）或（0，1）或（0，3） 【解析】【分析】（1）由点A（1，2）在双曲线上，得到k=2，得到反比例函数解析式为，从而求出b的值和点B的坐标，把A、B坐标代入直线y=mx+n，求出m、n的值；（2）由一次函数的解析式求出点C的坐标，由点D与点C关于x轴对称，得到点D的坐标，从而求出ABD的面积；（3）由一次函数的解

11、析式得到直线y=x+1与x轴的交点坐标为（0，1），当点P在x轴上时，设点P的坐标为（a，0），求出SPAB=3，求出a的值，当点P在y轴上时，设点P的坐标为（0，b），求出SPAB=3，求出b的值，从而得到P点坐标.5平面直角坐标系xOy中，已知函数y1= （x0）与y2= （x0）的图象如图所示，点A、B是函数y1= （x0）图象上的两点，点P是y2= （x0）的图象上的一点，且APx轴，点Q是x轴上一点，设点A、B的横坐标分别为m、n（mn）（1）求APQ的面积； （2）若APQ是等腰直角三角形，求点Q的坐标； （3）若OAB是以AB为底的等腰三角形，求mn的值 【答案】（1）解：过点P

12、、A、Q分别作PM x轴交x轴于点M，PN x轴交x轴于点N，QR AP轴交AP轴于点R，则四边形APMN、四边形PMQR、四边形ARQN是矩形，如图所示：点A的横坐标为m,且在函数 上，APx轴,且点P在函数 上，点A（m, ）,点P（m, ）,MN=m-(-m)=2m,PM= ,S矩形PMNA2m =8,四边形PMQR、四边形ARQN是矩形,SPQMSPRQ ， SANQSARQ,SAPQSPRQ+ SARQ S矩形PMNA=4（2）解：当PQ x轴时，则PQ ，,AP=2m,PQ=AP2m= ,m= ,当PQAQ时，则 （3）解：OAB是以AB为底的等腰三角形，OAOB，A（m, ）,B

13、(n, )， mn=4. 【解析】【分析】（1）过点P、A、Q分别作PM x轴交x轴于点M，PN x轴交x轴于点N，QR AP轴交AP轴于点R，则四边形APMN、四边形PMQR、四边形ARQN是矩形，根据点A的横坐标为m，利用函数解析式表示出点A的坐标和点P的坐标，最后用三角形的面积公式即可得出结论。（2）分情况讨论：当PQ=AP和当PQAQ时，利用等腰直角三角形和APx轴，建立方程求解即可；（3）利用等腰三角形的两腰相等建立方程，即可得出结论。6阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值。对于任意正实数a、b ， 可作如下变形a+b= = - + = + ,又 0， +

14、0+ ，即 （1）根据上述内容，回答下列问题：在 （a、b均为正实数）中，若ab为定值p ， 则a+b ，当且仅当a、b满足_时，a+b有最小值 （2）思考验证：如图1，ABC中，ACB=90，CDAB，垂足为D，CO为AB边上中线，AD2a ， DB2b, 试根据图形验证 成立，并指出等号成立时的条件 （3）探索应用：如图2，已知A为反比例函数 的图象上一点，A点的横坐标为1，将一块三角板的直角顶点放在A处旋转，保持两直角边始终与x轴交于两点D、E，F（0，-3）为y轴上一点，连接DF、EF，求四边形ADFE面积的最小值 【答案】（1）a=b（2）解：有已知得CO=a+b,CD=2 ,COC

15、D,即 2 .当D与O重合时或a=b时，等式成立.（3）解： ,当DE最小时S四边形ADFE最小.过A作AHx轴，由（2）知：当DH=EH时，DE最小，所以DE最小值为8，此时S四边形ADFE= （4+3）=28.【解析】【分析】（1）根据题中的例子即可直接得出结论。（2）根据直角三角形的性质得出CO=a+b，CD=，再由（1）中的结论即可得出等号成立时的条件。（3）过点A作AHx轴于点H，根据S四边形ADFE=SADE+SFDE ， 可知当DH=EH时DE最小，由此可证得结论。7如图所示,双曲线y= (k0)与抛物线y=ax2+bx(a0)交于A、B、C三点,已知B(4,2),C(-2,-4

16、),直线CO交双曲线于另一点D,抛物线与x轴交于另一点E.（1）求双曲线和抛物线的解析式; （2）在抛物线上是否存在点P,使得POE+BCD=90?若存在,请求出满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由; （3）如图所示,过点B作直线LOB,过点D作DFL于F,BD与OF交于点P,求 的值. 【答案】（1）解：把B(4,2)代人y= (k0)得2= 元,解得k=8z，双曲线的解析式为y= ，把B(4,2),C(-2,-4)代入y=ax2+bx得， ， ，抛物线的解析式为y= （2）解：连接DB,C(-2,-4),直线OC的解析式为y=2x且与y= 的另一个交点D(2,4)，由两点间距离公式得

17、BC= ,DB= ,CD= ，BC2+DB2=CD2 ， CBD=90，tan BDC= .POE+BCD=90,BCD+BDC=90,POE=BDC.即tanPOE=3.P在直线y=3x或y=-3x上,故有两种情况: 解得(0,0)(舍)或(-6,-18)(舍); ，解得(0,0)(舍)或(18,-54)，故可得出满足条件的P点有一个(18,-54)；（3）解：由B(4,2)可得直线OB解析式y= ，由OBl可得l的解析式为y=-2x+b1,把(4,2)代入求出b1=10,l的解析式为y=-2x+10，由DFl ， OBl可得DFOB,可设DF解析式y= x+b2 ， 把D(2，4)代入得b

18、2=3.DF的解析式为y= x+3，把DF的解析式与l的解析式联立可得： 解得： ，DF= ，OB= .DFOB， 【解析】【分析】(1)因为双曲线与抛物线交于点A、B、C，且B（4，2），C（-2，-4），所以用待定系数法即可求得两个函数的解析式；（2）连接DB,因为直线CO与双曲线交于点D，所以C、D两点关于原点成中心对称，所以点D（2，4），则可将BC、CD、BD放在直角三角形中，用勾股定理求得这三边的长，然后计算可得，由勾股定理的逆定理可得CBD=90，则BDC的正切值可求出来，由已知条件POE+BCD=90可得BDC=POE，则tanBDC=tanPOE,点P所在的直线解析式可得，将

19、点P所在的直线解析式与抛物线的解析式联立解方程组，即可求得点P的坐标；（3）由题意直线LOB，根据互相垂直的两条直线的k值互为负倒数易求得直线l的解析式，因为DFL于F,所以同理可求得直线DF的解析式，把DF的解析式与l的解析式联立可得点F的坐标，则DF和OB的长可用勾股定理求得，因为DFOB，所以由平行线分线段成比例定理可得比例式;,将DF和OB的值代入即可求解。8【阅读理解】对于任意正实数a、b，因为 0，所以 0，所以 2 ，只有当 时，等号成立【获得结论】在 2 （a、b均为正实数）中，若 为定值 ，则 2 ，只有当 时， 有最小值2 （1）根据上述内容，回答下列问题：若 0，只有当

20、=_时， 有最小值_ （2）【探索应用】如图，已知A（3，0），B（0，4），P为双曲线 （ 0）上的任意一点，过点P作PCx轴于点C，PDy轴于点D求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状【答案】（1）1；2（2）解：设P（x， ），则C（x，0），D（0， ），CA=x+3，BD= +4，S四边形ABCD= CABD= （x+3）（ +4），化简得：S=2（x+ ）+12x0， 0，x+ 2 =6，只有当x= ，即x=3时，等号成立，S26+12=24，四边形ABCD的面积有最小值24，此时，P（3，4），C（3，0），D（0，4），AB=BC=CD=DA=5，四边形A

21、BCD是菱形 【解析】【解答】解：（1）根据题目所给信息可知m+ 2 ，且当m= 时等号，当m=1时，m+ 2，即当m=1时，m+ 有最小值2故答案为：1，2；【分析】（1）此题是一道阅读题，根据题中所给的信息可知：，只有当m=时等号成立，一个正数只有1和它的倒数相等，从而得出答案；（2）根据双曲线上点的坐标特点设出P点的坐标，根据垂直于坐标轴上的点的坐标特点表示出C,D两点的坐标，从而表示出AC,BD的长，根据对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线积的一半建立出S与x的函数关系式，根据题干提供的信息得出得出,只有在，即x=3时，等号成立，从而得出S的最小值，从而得出P,C,D三点的坐标，进

22、而算出AB=BC=CD=DA=5，根据四边相等的四边形是菱形得出结论。9如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k0）与双曲线y= （m0）交于点A（2，3）和点B（n，2） （1）求直线与双曲线的表达式； （2）对于横、纵坐标都是整数的点给出名称叫整点动点P是双曲线y= （m0）上的整点，过点P作垂直于x轴的直线，交直线AB于点Q，当点P位于点Q下方时，请直接写出整点P的坐标 【答案】（1）解：双曲线y= （m0）经过点A（2，3）， m=6双曲线的表达式为y= 点B（n，2）在双曲线y= 上，点B的坐标为（3，2）直线y=kx+b经过点A（2，3）和点B（3，2）， 解得 ，直线

23、的表达式为y=x1（2）解：符合条件的点P的坐标是（1，6）或（6，1） 【解析】【分析】（1）把A的坐标代入可求出m，即可求出反比例函数解析式，把B点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n，把A，B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；（2）根据图象和函数解析式得出即可10如图，已知，A（0，4），B（3，0），C（2，0），D为B点关于AC的对称点，反比例函数y= 的图象经过D点（1）证明四边形ABCD为菱形； （2）求此反比例函数的解析式； （3）已知在y= 的图象（x0）上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形ABMN是平行四边形，求M点的坐标 【答案】（1）解：A（0，4），

24、B（3，0），C（2，0），OA=4，OB=3，OC=2，AB= =5，BC=5，AB=BC，D为B点关于AC的对称点，AB=AD，CB=CD，AB=AD=CD=CB，四边形ABCD为菱形（2）解：四边形ABCD为菱形，D点的坐标为（5，4），反比例函数y= 的图象经过D点，4= ，k=20，反比例函数的解析式为：y= （3）解：四边形ABMN是平行四边形，ANBM，AN=BM，AN是BM经过平移得到的，首先BM向右平移了3个单位长度，N点的横坐标为3，代入y= ，得y= ，M点的纵坐标为： 4= ，M点的坐标为：（0， ） 【解析】【分析】（1）由A（0，4），B（3，0），C（2，0），利

25、用勾股定理可求得AB=5=BC，又由D为B点关于AC的对称点，可得AB=AD，BC=DC，即可证得AB=AD=CD=CB，继而证得四边形ABCD为菱形；（2）由四边形ABCD为菱形，可求得点D的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数的解析式；（3）由四边形ABMN是平行四边形，根据平移的性质，可求得点N的横坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点N的坐标，继而求得M点的坐标11 （1）如图1所示， 在 中， ， ，点 在斜边 上，点 在直角边 上，若 ，求证： .（2）如图2所示， 在矩形 中， ， ，点 在 上，连接 ，过点 作 交 (或 的延长线)于点 .若 ，求 的长；若点 恰好与

26、点 重合，请在备用图上画出图形，并求 的长.【答案】 （1）证明：在 中， ， ， ， ， ， ， ， . （2）解：四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ；如图所示，设 ，由得 ， ，即 ，整理，得： ，解得： ， ，所以 的长为 或 .【解析】【分析】（1）利用平角的定义和三角形的内角和证明 即可证得结论；（2）仿（1）题证明 ，再利用相似三角形的性质即可求得结果； 由得 ，设 ，根据相似三角形的性质可得关于x的方程，解方程即可求得结果.12【问题】 如图1，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，过点C作直线l平行于AB.EDF=90，点D在直线l上移动，角的一

27、边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系.（1）【探究发现】如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP=DB，请写出证明过程； （2）【数学思考】如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DGCD交BC于点G，就可以证明DP=DB，请完成证明过程； （3）【拓展引申】如图4，在（1）的条件下，M是AB边上任意一点（不含端点A、B），N是射线BD上一点，且AM=BN，连接MN与BC交于点Q，这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验，发现点M在某一位置时B

28、Q的值最大.若AC=BC=4，请你直接写出BQ的最大值. 【答案】 （1）解：ACB=90，AC=BC CAB=CBA=45CDABCBA=DCB=45，且BDCDDCB=DBC=45DB=DC即DB=DP（2）解：DGCD，DCB=45 DCG=DGC=45DC=DG，DCP=DGB=135，BDP=CDG=90CDP=BDG，且DC=DG，DCP=DGB=135，CDPGDB（ASA）DB=DP（3）解：如图4，过点M作MHMN交AC于点H，连接CM，HQ， MHMN，AMH+NMB=90CDAB，CDB=90DBM=90NMB+MNB=90HMA=MNB，且AM=BN，CAB=CBN=4

29、5AMHBNQ（ASA）AH=BQACB=90，AC=BC=4，AB=4 ，AC-AH=BC-BQCH=CQCHQ=CQH=45=CABHQABHQM=QMBACB=HMQ=90点H，点M，点Q，点C四点共圆，HCM=HQMHCM=QMB，且A=CBA=45ACMBMQ BQ= +2AM=2 时，BQ有最大值为2.【解析】【分析】（1） DB=DP， 理由如下： 根据等腰直角三角形的性质得出CAB=CBA=45 ，根据二直线平行，内错角相等得出 CBA=DCB=45 ，根据三角形的内角和得出 DCB=DBC=45 ，最后根据等角对等边得出 DB=DC ，即DB=DP； （2）利用ASA判断出 CDPGDB ，再根据全等三角形的对应边相等得出DB=DP； （3） 如图4，过点M作MHMN交AC于点H，连接CM，HQ， 利用ASA判断出 AMHBNQ 根据全等三角形的对应边相等得出AH=BQ，进而判断出 点H，点M，点Q，点C四点共圆， 根据圆周角定理得出 HCM=HQM ，然后判断出 ACMBMQ ，根据相似三角形的对应边成比例得出,根据比例式及偶数次幂的非负性即可得出求出答案.