《数论综合》配套练习题.doc

1、数论综合配套练习题一、解答题1、有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是多少？2、一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？3、狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳4.5米，黄鼠狼每次跳2.75米，它们每秒钟都只跳一次。比赛途中，从起点开始每隔12.375米设有一个陷井，当它们之中有一个掉进陷井时，另一个跳了多少米？4、有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数求这两个整数分别是多少？5、少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或

2、暗，十分有趣。这200个灯泡按1到200编号，它们的亮暗规则是：第一秒，全部灯泡变亮；第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态；第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态；第四秒，凡编号为4的倍数的灯泡由亮变暗或者由暗变亮，改变原来的亮暗状态；第五秒，凡编号为5的倍数的灯泡由亮变暗或者由暗变亮，改变原来的亮暗状态；一般地，第n秒，凡编号为n的倍数的灯泡都改变原来的亮暗状态；那么第200秒时，明亮的灯泡有多少个？6、19811101是个15进制数，这个数是否是7的倍数呢？7、一个三位数的百位和十位相同，减去其各位数字之和后是其各位数字之积的两倍，求所有这样的三位

3、数。8、有一串数：1，1，2，3，5，8，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2012个数中，有几个是5的倍数？9、1，2，3，4，5，6各一个是否可以组成两个三位数，使得它们的和是7的倍数？如果可以，请构造；如果不可以请说明理由。10、已知n是正整数，规定n！12n，令m1！12！22012！2012，则整数m除以2013的余数是多少？答案部分 一、解答题1、【正确答案】：29【答案解析】：（70110160）50290503162除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58，110581525250所以除数不是5870292121102932316029515

4、12231550所以除数是29。 【答疑编号10256300】 2、【正确答案】：17【答案解析】：这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90164254后所得的余数，所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是25422034的约数，又大于10，这个自然数只能是17或者是34如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16，不符合题目条件；如果这个数是17，那么他去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16，符合题目条件。所以这个自然数是17 【答疑编号10256301】 3、【正确答案】：40.5

5、米【答案解析】：黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是2.75与12.375的“最小公倍数”是24.75，即跳了24.752.759次掉进陷井。狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是4.5和12.375的“最小公倍数”49.5，即跳了49.54.511次掉进陷井.经过比较可知，黄鼠狼先掉进陷井，这时狐狸已跳的行程是4.5940.5(米). 【答疑编号10256302】 4、【正确答案】：74和3或者37和18【答案解析】：两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如331322313301617，共有16种形式，如

6、果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每个数都是111的倍数，而111373，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37或37的倍数，但只能是37的2倍，因为37的3倍就不是两位数了把九个三位数分解：1113732223767433333794443712746555371566637187497773721888372474129993727把两个因数相加，只有（743）77和（3718）55的两位

7、数字相同，所以满足题意的答案是74和3，37和18 【答疑编号10256303】 5、【正确答案】：14【答案解析】：对于一个灯最后是亮还是暗就要看这个灯的编号有多少个因数。如果编号有奇数个因数，那么最后这个灯是亮的；如果编号有偶数个因数，那么就是暗的。因为平方数有奇数个因数，所以最后亮的灯都是平方数，有1、4、9、16、200以内的平方数共有14个。因此第200秒时，明亮的灯泡有14个。 【答疑编号10256304】 6、【正确答案】：不是【答案解析】：（19811101）151157915681551154115311521因为15除以7余1，15的n次方除以7也是余1，所以这个数除以7的

8、余数为19811112222不是7的倍数，因此原数不是7的倍数。 【答疑编号10256305】 7、【正确答案】：996或者669【答案解析】：【答疑编号10256306】 8、【正确答案】：402个【答案解析】：由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数所以这串数除以5的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数由于201254022，所以前2012个数中，有402个是5的倍数 【答疑编号10256307】 9、【正确答案】：可以【答案解析】：考虑14，56，203都是7的倍数，所以214563为7的倍数，当然还有很多其他的组合。 【答疑编号10256308】 10、【正确答案】：2012【答案解析】：1！12 余数是1（1！12！2）3 余数是2（1！12！23！3）4 余数是3（1！12！23！34！4）5 余数是4（1！12！23！34！45！5）6 余数是5（1！12！22012！2012）2013 余数是2012。 【答疑编号10256309】