中学数学-平面几何最短路径-练习题(含答案).docx
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- 关 键 词:
- 中学数学 平面几何 路径 练习题 答案
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1、平面图形上的最短路径问题知识点:1.两点之间,线段最短 2.垂线段最短 3.线段垂直平分线是的点到线段两端点的距离相等 4.三角形任意两边之差小于第三边总思路:找点关于线的对称点实现“折”转“直”常考题型题:将军饮马、造桥选址、费马点(一)根据两点之间,线段最短题型一 两点在直线同侧(将军饮马)【问题1】“将军饮马”作法图形原理在直线l上求一点P,使PA+PB值最小作B关于l的对称点B连A B,与l交点即为P两点之间线段最短PA+PB最小值为AB题型二 相交直线之间一点或两点【问题2】作法图形原理在直线、上分别求点M、N,使PMN的周长最小分别作点P关于两直线的对称点P和P,连PP,与两直线交
2、点即为M,N两点之间线段最短PM+MN+PN的最小值为线段PP的长【问题3】作法图形原理在直线、上分别求点M、N,使四边形PQMN的周长最小分别作点Q 、P关于直线、的对称点Q和P连QP,与两直线交点即为M,N两点之间线段最短四边形PQMN周长的最小值为线段PP的长【问题4】作法图形原理A为上一定点,B为上一定点,在上求点M,在上求点N,使AM+MN+NB的值最小作点A关于的对称点A,作点B关于的对称点B,连AB交于M,交于N两点之间线段最短AM+MN+NB的最小值为线段AB的长题型三 造桥选址【问题5】“造桥选址”作法图形原理直线,在、,上分别求点M、N,使MN,且AM+MN+BN的值最小将
3、点A向下平移MN的长度单位得A,连AB,交于点N,过N作NM于M两点之间线段最短AM+MN+BN的最小值为AB+MN【问题6】作法图形原理在直线上求两点M、N(M在左)使并使AM+MN+NB的值小将点A向右平移个长度单位得A,作A关于的对称点A, 连AB,交直线于点N,将N点向左平移个单位得M两点之间线段最短AM+MN+BN的最小值为AB+MN题型四 费马点【问题7】“费马点”作法图形原理ABC中每一内角都小于120,在ABC内求一点P,使PA+PB+PC值最小所求点为“费马点”即满足APBBPCAPC120以AB、AC为边向外作等边ABD、ACE,连CD、BE相交于P,点P即为所求两点之间线
4、段最短PA+PB+PC最小值CD(二)根据垂线段最短题型五 和最小【问题8】作法图形原理在上求点A,在上求点B,使PA+AB值最小作点P关于的对称点P,作PB于B,交于A点到直线,垂线段最短PA+AB的最小值为线段PB的长(三)根据线段垂直平分线上点到线段两端点距离相等题型六 差最小【问题9】作法图形原理在直线l上求一点P,使的值最小连AB,作AB的中垂线与直线l的交点即为P垂直平分上的点到线段两端点的距离相等0(四)根据三角形任意两边之差小于第三边题型七 差最大【问题10】作法图形原理在直线l上求一点P,使的值最大作直线AB,与直线l的交点即为P三角形任意两边之差小于第三边AB的最大值AB【
5、问题11】作法图形原理在直线l上求一点P,使的值最大作B关于l的对称点B作直线A B,与l交点即为P三角形任意两边之差小于第三边.AB最大值AB题型一 两点在直线同侧例题1:如图,在锐角ABC中,AB=6,BAC=60,BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是( ) A3 B C D6 解:在AC上取一点E,使得AE=AB,过E作ENAB于N,交AD于M,连接BM,BE,BE交AD于O,则BM+MN最小(根据两点之间线段最短;点到直线垂直距离最短),AD平分CAB,AE=AB,EO=OB,ADBE,AD是BE的垂直平分线(三线合一),E和B关于直线AD
6、对称,EM=BM,即BM+MN=EM+MN=EN,ENAB,ENA=90,CAB=60,AEN=30,AE=AB=6,AN=AE=3,在AEN中,由勾股定理得:EN=,即BM+MN的最小值是故选B巩固练习:如图,在平面直角坐标系中,RtOAB的顶点A在x轴的正半轴上顶点B的坐标为(3,),点C的坐标为(1,0),且AOB=30点P为斜边OB上的一个动点,则PA+PC的最小值为_ _解:作A关于OB的对称点D,连接CD交OB于P,连接AP,过D作DNOA于N,则此时PA+PC的值最小DP=PA,PA+PC=PD+PC=CDB(3,),AB=,OA=3,B=60由勾股定理得:OB=2由三角形面积公
7、式得:OAAB=OBAM,AM=AD=2=3AMB=90,B=60,BAM=30BAO=90,OAM=60DNOA,NDA=30AN=AD=由勾股定理得:DN=C(1,0),CN=3-1-=在RtDNC中,由勾股定理得:DC=PA+PC的最小值是题型二 相交直线之间一或两点例题2:如图,AOB=30,AOB内有一定点P,且OP=10在OA上有一点Q,OB上有一点R若PQR周长最小,则最小周长是( )A10 B15 C20 D30解:设POA=,则POB=30, 作PMOA与OA相交于M,并将PM延长一倍到E,即ME=PM 作PNOB与OB相交于N,并将PN延长一倍到F,即NF=PN 连接EF与
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