三次函数的性质总结练习.doc
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- 关 键 词:
- 三次 函数 性质 总结 练习
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1、三次函数的性质三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)在高中阶段学习导数后频繁出现,同时也是其他复杂函数的重要组成部分,因此有必要对其性质有所了解,才可以做到知己知彼,百战不殆性质一 单调性以a0为例,如图1,记=b23ac为三次函数图象的判别式,则图1 用判别式判断函数图象当0时,f(x)为R上的单调递增函数;当0时,f(x)会在中间一段单调递减,形成三个单调区间以及两个极值性质一的证明 f(x)的导函数为f(x)=3ax3+2bx+c,其判别式为4(b23ac),进而易得结论例1 设直线l与曲线y=x3+x+1有三个不同的交点A,B,C,且|AB|=|BC|=5,求直线l的方程解
2、 由|AB|=|BC|可知B为三次函数的对称中心,由性质一可得B(0,1),进而不难求得直线l的方程y=2x+1性质二 对称性如图2,f(x)的图象关于点P(b3a,f(b3a)对称(特别地,极值点以及极值点对应的图象上的点也关于P对称)图2 图象的对称性反之,若三次函数的对称中心为(m,n),则其解析式可以设为f(x)=(xm)3+(xm)+n,其中0性质二的证明 由于f(x)=a(x+b3a)3+(cb23a)(x+b3a)bc3a+2b327a2+d,即f(x)=(x+b3a)3+(cb23a)(x+b3a)+f(b3a),于是性质二得证例2 设函数f(x)=x(x1)(xa),a1(1
3、)求导数f(x),并证明f(x)有两个不同的极值点x1,x2;(2)若不等式f(x1)+f(x2)0成立,求a的取值范围(1)解 f(x)的导函数f(x)=(x1)(xa)+x(xa)+x(x1)=3x22(a+2)x+a,而f(0)f(1)f(a)=a0,=1a0,于是f(x)有两个变号零点,从而f(x)有两个不同的极值点(2)解 根据性质二,三次函数的对称中心(a+13,f(a+13)是两个极值点对应的函数图象上的点的中点于是f(x1)+f(x2)=2f(a+13)0,即2a+13a232a+130,结合a1,可得a的取值范围是2,+)注 本题为2004年高考重庆卷理科数学第20题性质三
4、切割线性质如图3,设P是f(x)上任意一点(非对称中心),过P作函数f(x)图象的一条割线AB与一条切线PT(P点不为切点),A、B、T均在f(x)的图象上,则T点的横坐标平分A、B点的横坐标图3 切割线性质推论1 设P是f(x)上任意一点(非对称中心),过P作函数f(x)图象的两条切线PM、PN,切点分别为M、P,如图则M点的横坐标平分P、N点的横坐标,如图4图4 切割线性质推论一推论2 设f(x)的极大值为M,方程f(x)=M的两根为x1、x2(x10时,bma0时为1个公共点,bma=0时为2个公共点,bma0时为3个公共点;当a0时为3个公共点,bma=0时为2个公共点,bma0,如果
5、过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,证明:ab0曲线y=f(x)在点P(0,f(0)处的切线方程为y=1(1)确定b,c的值;(2)设曲线y=f(x)在点(x1,f(x1)及(x2,f(x2)处的切线都过点(0,2)证明:当x1x2时,f(x1)f(x2);(3)若过点(0,2)可作曲线y=f(x)的三条不同切线,求a的取值范围解 (1)f(x)的导函数为f(x)=x2ax+b,于是该函数在x=0处的切线方程为y=bx+c,因此b=0,c=1.(2)函数f(x)在x=t处的切线方程为y=(t2at)(xt)+13t3a2t2+1,当切线过点(0,2)时可得23t3a2t2+1=0,于
6、是x1,x2是该方程的两个不等实根考虑f(x1)f(x2)=(x21ax1)(x22ax2)=(x1x2)(x1+x2a),而23x31a2x21+1=0,23x32a2x22+1=0,两式相减并约去x1x2,得x21+x1x2+x22=34a2,而x21+x1x2+x22=(x1+x2)2x1x2(x1+x2)214(x1+x2)2=34(x1+x2)2,于是x1+x2a,进而可得f(x1)f(x2).(3)函数f(x)的对称中心为(a2,a312+1),于是在对称中心处的切线方程为y=a24(xa2)a312+1,根据性质四的结论 ,可得12233,即a的取值范围是(233,+)注 此题为
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