正式场与物质相互作用的量子理论激光物理研究生课件.pptx
- 【下载声明】
1. 本站全部试题类文档,若标题没写含答案,则无答案;标题注明含答案的文档,主观题也可能无答案。请谨慎下单,一旦售出,不予退换。
2. 本站全部PPT文档均不含视频和音频,PPT中出现的音频或视频标识(或文字)仅表示流程,实际无音频或视频文件。请谨慎下单,一旦售出,不予退换。
3. 本页资料《正式场与物质相互作用的量子理论激光物理研究生课件.pptx》由用户(ziliao2023)主动上传,其收益全归该用户。163文库仅提供信息存储空间,仅对该用户上传内容的表现方式做保护处理,对上传内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知163文库(点击联系客服),我们立即给予删除!
4. 请根据预览情况,自愿下载本文。本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
5. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007及以上版本和PDF阅读器,压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 正式 物质 相互作用 量子 理论 激光 物理 研究生 课件
- 资源描述:
-
1、1处理激光问题三个层次的理论处理激光问题三个层次的理论1速率方程理论速率方程理论2半经典理论半经典理论3全量子理论全量子理论2全量子力学方程全量子力学方程半经典方程半经典方程速率方程速率方程对泵浦和弛豫过程取平均对泵浦和弛豫过程取平均忽略掉所有的相位关系忽略掉所有的相位关系用来研究激光线宽、强度的起伏用来研究激光线宽、强度的起伏、相干性、光子统计等、相干性、光子统计等用来研究阈值条件、输出功率等用来研究阈值条件、输出功率等(连连续运转、脉冲运转、调续运转、脉冲运转、调Q激光器激光器)用来研究频率牵引和推斥、粒用来研究频率牵引和推斥、粒子数的脉动、相位锁定、超短子数的脉动、相位锁定、超短脉冲、相
2、干光学瞬态过程等脉冲、相干光学瞬态过程等三个层次理论之间的关系三个层次理论之间的关系 10.110.1 量子力学的三种图象量子力学的三种图象 对同一个物理内容,可以存在多种不同的数学描述方式,这些不同的描述方式是完全等价的。量子力学对微观系统状态及其运动规律存在三种等价的描述方式,称之为图像(picture),或表象,或绘景,它们是:1Schrdinger图像2Heisenberg图像3相互作用(Interaction)图像4在量子力学中,可观测量不是力学量算符和态矢本身,而是力学量的平均值及其概率分布,它们是随时间演化的。如果把力学量平均值和概率分布随时间的演化,全都归之为态矢随时间的演化,
3、而力学量算符不随时间演化,这种描述方式就是Schrdinger图像;反之,全都归之为力学量算符随时间的演化而态矢保持不变,得到Heisenberg图像;部分归之为态矢变化,部分归之为算符变化,则是相互作用图像。510.1.1 Schrdinger图像图像i()().)(1 1tHtt在该图像中,体系的状态矢量|(t)是随时间t演化的,其演化的方式遵守Schrdinger方程而力学量算符 不随时间演化:。力学量平均值随时间的演化由态矢来承载:Fdd0Ft()()()F tFtFt6令1100()(,)()(1.2)tU t tt其中算符 把t0时刻的态|(t0)变换成t1时刻的态|(t1),称为
4、时间演化算符,它代表一个连续变换(t0和t1任意),把态矢随时间变化而变化用一个变换算符的作用来体现。10(,)U t t7由于概率守恒=,且 0011010100()()()()()(,)(,)()tttttUt t U t tt1010(,)(,)1Ut t U t t故由于Hamiltonian算符是厄米算符,由后面的(1.8)式,可以进一步给出1010101011010(,)(,)(,)(,)1(,)(),(1.3)Ut t U t tU t t Ut tUt tUt t8000000110010011011001100()(,)()(,)1 ()(,)()()(,)()(,)(1,)
5、(,)(,)(.4)(1.)5)tU t ttU t ttU t tttU t ttU t tUt tU t t U t tt时间演化算符还满足以下性质满足(1.3)式的算符成为幺正算符,它所代表的的变换称为幺正变换(正交变换可看作是一种特殊的幺正变换)911002211211002200()(,)()()(,)()(,)(,)()()(,)()tU t tttU t ttU t t U t tttU t tt下面令t1=t,t0=0,且采用简写()()(0)tU t10(,)(,0)()U t tU tU t把由202110(,)(,)(,()1.)6 U t tU t t U t t有10
6、代入Schrdinger方程,有 i()(0)()(0)U tHU tt由于|(0)是任意的,故 i()()(1.7 )U ttHU t 代表能量算符的Hamiltonian算符不显含t,(1.7)式有以下形式解1010(1.8)(,)exp i()()(,0)exp(i)U t tH ttU tU tHt1110.1.2 Heisenberg图像图像在下面,Schrdinger图像和Heisenberg图像下的态矢和力学量算符分别带有上标S和H。在Heisenberg图像中,力学量平均值随时间的演化,完全归之于力学量算符随时间的演化,而态矢保持不变。对于力学量平均值,有()()()(0)()
7、()(0)()SSSSSSSHHHF tFtFtUt F U tFt1211(0)()()()()()()()(1.9)HSSHSSUttFtUt F U tUt F U t其中分别是Heisenberg图像下的态矢和力学量算符。不显含时间的Hamiltonian算符,在两种图像下是相等的,这是因为Hamiltonian算符与时间演化算符是对易的。()(1.10)HSSHUt H U tHH13因此,对Schrdinger图像下的态矢和力学量算符,利用演化算符进行幺正变换,可以得到Heisenberg图像下的态矢和力学量算符。这种幺正变换不改变态矢内积和力学量平均值,不改变算符之间的对易关系,
8、因此不改变物理内容,两种图像等价。假设力学量算符不显含t,即0SFt 利用(1.9)式,有 dd()()HSSFtUt F UU FUt 14我们有i,iSSUtH UUtU H 利用(1.7)式,即 1 dd()i (1 i)(1 i)(1 i),HSSSSSSSSHHHHHHSUUHHHFtU H F UU F H UU F UU H UU H UU F UF HH FFH 15(1d1(),.11 )diHHFtFHt总之,在Heisenberg图像中,态矢不随时间演化,而力学量算符是随时间演化的,其演化的方式遵守Heisenberg方程。于是,我们得到在Heisenberg图像下,力学
9、量算符随时间演化的Heisenberg方程。16当一个量子系统的Hamiltonian算符可以分解成两部分:10.1.3 10.1.3 相互作用图像相互作用图像0(1.12 )SSSHHH其主要部分 不含时间(通常是自由部分),而微扰部分 只对系统产生较小的影响(通常是相互作用部分),这时就可以采用相互作用图像。相互作用图像下的态矢和算符(带上标I),可由Schrdinger图像下的态矢和算符作如下幺正变换得到:0SHSH170010100()exp(i)()()()(1.13)()()()SISISU tH ttUttFtUt F U t其中的幺正变换算符 是由Hamiltonian算符的主
10、要部分来定义的时间演化算符,它同样满足前面给出的演化算符的一切性质。由(1.13)式中的第一式有0()Ut000i()()(1.14)SU ttH U t 1800expi()expi()(0)exp(i)(0)ISSSSSSH ttHH tH t000000,0,0exp(i)exp(i)expi()SSSSSSSSSHHHHHHHH tHtHH t如果Hamiltonian算符的主要部分和微扰部分对易,即有则相互作用图像下的态矢又可以表达为19利用(1.13)(1.15)式以及Schrdinger方程0i()()()SSSStHHtt不难验证,在相互作用图像下,态矢和算符分别满足以下方程(
11、算符不显含时间):由定义(1.13),相互作用图像下Hamiltonian算符的微扰项与自由项分别为100100000()()()()(1.15)ISISSHUt H U tHUt H U tH200i()()d1()(),di(1.16)IIIIIItHttFtFtHt因此,在相互作用图像下,态矢和算符都随时间演化,其中态矢的演化遵从Schrdinger方程,且由Hamiltonian算符中的相互作用项(微扰项)推动;算符的演化遵从Heisenberg方程,且由Hamiltonian算符中的自由项推动21以上三种图像是对同一物理内容的不同描述方式,在物理本质上是相互等价的。例如,在三种图像中
12、,算符之间的对易关系不会变,算符的平均值不会变,态矢之间的内积不会变,测不准关系不会变,等等。如果对未微扰系统()已经有充分了解,加上微扰 之后,取相互作用图像是合适的,此时算符的运动方程由未微扰系统的Heisenberg方程来描述,它的解是熟悉的、已知的,而态矢量的运动方程只含一个影响较小的微扰算符,便于近似求解。0SSHHSH2210.2 辐射场与原子的相互作用辐射场与原子的相互作用10.2.1 Schrdinger图像下的图像下的HamiltonianHamiltonian算符算符EbEan|b|a(n+1)单模辐射场与二能级原子构成的系统单模辐射场与二能级原子构成的系统考虑由光场和原子
13、共同组成的系统,其中原子是二能级的,上下能级本征态分别是|a和|b,分别对应能量本征值Ea=a和Eb=b。23上下能级的本征态矢量|a和|b满足正交归一和完备性关系,例如=1,=0。在以|a和|b作为基矢量的表象下,|a=1|a+0|b,|b=0|a+1|b。将一个矢量用基矢量展开时,展开系数即是该矢量的坐标,由坐标构成的列矩阵,就是矢量的矩阵表示。因此|a和|b在其自身表象下的矩阵表示为10,0(.1)12ab 241.上升算符和下降算符上升算符和下降算符定义上升算符 和下降算符 如下:2201,()0 00 00(2,.2()0 1)0abba,0 ,0(2.3)baaabb25即上升算符
14、 把下能级本征态|b变为上能级本征态|a,下降算符 则把上能级本征态|a变为下能级本征态|b。显然上升算符和下降算符互为复共轭转置,即互为厄米共轭。利用 和态矢的正交归一性,易证 ,aabb ,(2.4,)26在原子的量子力学状态|=Ca|a+Cb|b下,上升算符和下降算符的平均值与原子的密度矩阵元对应(书上pp.106-107):(2.5)abbaabababC CbaC C2.系统的系统的HamiltonianHamiltonian算符算符由单模光场和二能级原子组成的系统,其总的Hamiltonian算符包括自由光场的贡献(带下标f)、纯原子的贡献(带下标a),以及光场与原子之间的相互作用
15、的贡献(带下标af,相互作用采用电偶极矩近似),即有faaf (2.6)HHHH假设单模光场的频率为,二能级原子上下能级本征态分别是|a和|b,分别对应能量本征值Ea=a和Eb=b,则有28faaf(1 2)(,)(7)2.,abHa aHHez teRE z t R E其中原子的Hamiltonian算符在它自身的表象下,还可以表达为a(2.80)0ababHaabb29显然有以下本征方程aa,(2.9)abHaaHbb考虑到原子的固有电偶极矩(平均)为零,即=0a eR ab eR b故光场与原子之间相互作用项 对应的矩阵为af0(,)0a eR bHE z tb eR aaf(,)HeR
16、E z t 30af0(,)(,)(2.100)abbaD E z tHD E z t 即其中0()(2.11,)sin()abbaDDa eR bDE z tEkz aa定义光场与原子之间的耦合系数g为0()sin 2(.12)gDEkz 31于是af000(,)(,)001sin()1001(),(sin)10abbaD E z tHD E z tDEkz aaDEg aagkz 32于是相互作用项又可以表达成af()()Hg aa考虑到上升算符和下降算符满足0110即af ()Hg aaaa33在上面相互作用包含的四项中 表示原子从上能级跃迁到下能级,同时吸收光场的一个光子;表示原子从下
17、能级跃迁到上能级,同时吸收光场的一个光子;表示原子从上能级跃迁到下能级,同时光场增加一个光子;表示原子从下能级跃迁到上能级,同时光场增加一个光子。a a a a34我们考虑的是由光场和原子构成的孤立系统,无外界作用,为了满足能量守恒,相互作用项只能取为:af(2.13)(Hg aa综上所述,在全量子化理论下,由光场和原子构成的系统的总能量算符为(1 2)()(2.14)abHa ag aa 3510.2.2 相互作用图像下的相互作用能相互作用图像下的相互作用能在上面得到的由光场和原子构成的系统的总哈密顿算符中,前两项对应系统的自由项(定态哈密顿算符),第三项对应相互作用项(微扰项),即有0af
18、0af (1 2)(2.15)()abHHHHa aHg aa 36因此,采用相互作用图象时,变换算符为00()exp(i)(2.16 i(1 2)expabU tH tta a 10100()()()()(1.13)ISISUttFtUt F U t前面已经讲过,相互作用图象下的态矢和算符可由(1.13)式得到37我们考虑的系统其状态由光场状态和原子状态共同决定(光场状态用单模光子数态|n描述,原子状态用上下能级本征态|a和|b描述)。态矢对应概率振幅,根据同时发生事件的概率相乘原理,可以用|a,n|a|n表示原子处于上能级而光场光子数为n的本征态,而用|b,n+1|b|n+1表示原子处于下
19、能级而光场光子数为(n+1)的本征态,显然00,(1 2),1(1)1(2.2,1)17abHa nna nHb nnb n38,1(2()(),(),1 .18)Ia nb ntCt a nCt b n其中展开系数Ca,n(t)和Cb,n+1(t)假定为时间的缓变函数。相互作用图像下的相互作用能为1af0af0afaf()()()2.1 (9)ISSHtUt H U tHHg aa在相互作用图像下,利用系统定态哈密顿算符 的两个本征态|a,n和|b,n+1,可把系统的一般态矢表示为0H39把(2.16)式代入(2.19)式,可得书上p.188的(10.2.29)式(作业:由(10.2.22)
20、式推出证明(10.2.29)式),即下面的(2.20)式00afi()i()()(2.20)eeIttHtg aa 其中,0为二能级原子的共振跃迁频率:0 (2.21)ab为便于推导,可对(2.19)的第二式取它的原始表达式,再去掉不满足能量守恒的项。afaf()()SHHg aa4010.3 原子发射和吸收的跃迁几率原子发射和吸收的跃迁几率EbEan|b|a(n+1)单模辐射场与二能级原子构成的系统单模辐射场与二能级原子构成的系统0=(Ea-Eb)/=a-b|n|n+141对于由单模辐射场与一个二能级原子构成的相互作用系统,上节里,我们已经在相互作用图像下,给出了系统态矢的表达式(2.18)
21、和系统Hamiltonian算符中的相互作用项表达式(2.20),即有(假定光场的初始光子数为n或者(n+1))00afi()i()()(2.20)eeIttHtg aa ,1(2()(),(),1 .18)Ia nb ntCt a nCt b n0 (2.21)ab10.3.1 系统状态随时间演化的方程系统状态随时间演化的方程42在相互作用图像下,系统态矢随时间的演化,是由系统总能量算符中的相互作用项推动的,即有以下方程afi()(3.1()IIItHtt将(2.18)、(2.20)和(2.21)式代入上式,再利用定态能量算符本征态的正交归一关系,可以求得(书上p.189方程(10.3.5)
22、和(10.3.6))。43,0,1,10,()i1exp i()()()i1expi()()(3.2)a nb nb na nCtg nt CttCtg nt Ctt 上面的方程,就是系统处于态|a,n和|b,n+1 的几率振幅随时间变化的方程。10.3.2 状态演化方程的几种解状态演化方程的几种解使用迭代法求出Ca,n(t)和Cb,n+1(t)的各阶近似解,也可以求出它们的强信号解,从而确定系统处于态|a,n和|b,n+1上的几率。441.受激吸收几率受激吸收几率假定系统在初始t=0时刻处在|b,n+1 的状态,1,1(0)(0),(0),1 ,1(0)0,(0)1Ia nb na nb n
23、Ca nCb nb nCC即初始时刻系统中的原子处于下能级而光场有(n+1)个光子。在t0时刻,由于光场与原子之间的相互作用,原子有一定的几率跃迁到上能级而光场相应减少一个光子,即代表该过程的几率振幅Ca,n(t)0 for t0.45为了具体地求出t0时的几率振幅Ca,n(t),对(3.2)式的第一式积分,取一阶微扰近似,有,100(1)0,0,1()1()i1d()exp i()exp i()1()1ta nb na nb nCtCtg nt CtttCtg n (一阶近似)系统从|b,n+1 态跃迁到|a,n态的几率为22(1)20,20sin()2()4(3.1)3()a ntCtgn
24、46系统受激吸收的几率正比于光场的初始光子数(n+1),因此若初始光子数为零,原子就不会从下能级跃迁到上能级共振吸收时,=0,几率最大。2.受激发射几率和自发发射几率受激发射几率和自发发射几率假定系统在初始t=0时刻处在|a,n 的状态,即原子处于上能级而光场有n个光子的状态,1(0),(0)1,(0)0Ia nb na nCC同理,对(3.2)式的第二式积分,且取一阶微扰近似,有47,1,00(1)0,10,()1()i1d()expi()1 expi()()1tb na nb na nCtCtg nt CtttCtg n(一阶近似)系统从|a,n 态跃迁到|b,n+1态的几率为22(1)2
25、0,20sin()2()4(3.1)4()a ntCtgn由于初始光场的光子数为n,故上式右端可分为跟初始光场中n个光子相关的部分和跟n个光子无关的部分,即4822(1)20,2st022(1)20,2sp0sin()2()4()sin()2()4(3.5)a na ntCtg ntCtg(3.5)中第一式与初始光场的光子数n成正比,是n个光子诱发的受激发射(stimulated emission)几率,n=0时该几率为0;第二式跟初始光场的光子数无关,即使初始光场处于光子数为0的真空态,该项仍然存在,故属于自发发射(spontaneous emission)几率。49初始光场的光子数相同的情
展开阅读全文