数学锐角三角函数的专项培优练习题及详细答案(DOC 19页).doc

1、一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1如图，ABC内接于O，点为上的动点，且.(1)求的长度；(2)在点D运动的过程中，弦AD的延长线交BC的延长线于点E，问ADAE的值是否变化？若不变，请求出ADAE的值；若变化，请说明理由.(3)在点D的运动过程中，过A点作AHBD，求证：.【答案】(1) ；(2) ；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）过A作AFBC，垂足为F，交O于G，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtAFB即可求得AB长；（2）连接DG，则可得AG为O的直径，继而可证明DAGFAE，根据相似三角形的性质可得ADAE=AFAG，连接BG，求得AF=3，FG=，

2、继而即可求得ADAE的值；（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，通过证明ADCADN，可得AC=AN，继而可得AB=AN，再根据AHBN，即可证得BH=HD+CD.【详解】（1)过A作AFBC，垂足为F，交O于G，AB=AC，AFBC，BF=CF=BC=1，在RtAFB中，BF=1，AB=；（2）连接DG，AFBC，BF=CF，AG为O的直径，ADG=AFE=90，又DAG=FAE，DAGFAE，AD：AF=AG：AE，ADAE=AFAG，连接BG，则ABG=90，BFAG，BF2=AFFG，AF=3，FG=，ADAE=AFAG=AF（AF+FG）=3=10；（3）连接CD，

3、延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，ADB=ACB=ABC，ADC+ABC=180，ADN+ADB=180，ADC=ADN，AD=AD，CD=ND，ADCADN，AC=AN，AB=AC，AB=AN，AHBN，BH=HN=HD+CD.【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.2小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO后，电脑转到AOB位置（如图3），侧面示意图为图4已知OA=OB=2

4、4cm，OCOA于点C，OC=12cm（1）求CAO的度数（2）显示屏的顶部B比原来升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏OB与水平线的夹角仍保持120，则显示屏OB应绕点O按顺时针方向旋转多少度？【答案】（1）CAO=30；（2）（3612）cm；（3）显示屏OB应绕点O按顺时针方向旋转30【解析】试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；（2）过点B作BDAO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OBsinBOD=24=12，由C、O、B三点共线可得结果；（3）显示屏OB应绕点O按顺时针方向旋转30，求得EOB=FOA=30，既是显示屏OB应绕点O按顺时针方向旋转3

5、0试题解析：（1）OCOA于C，OA=OB=24cm，sinCAO=，CAO=30；（2）过点B作BDAO交AO的延长线于D，sinBOD=，BD=OBsinBOD，AOB=120，BOD=60，BD=OBsinBOD=24=12，OCOA，CAO=30，AOC=60，AOB=120，AOB+AOC=180，OB+OCBD=24+1212=3612，显示屏的顶部B比原来升高了（3612）cm；（3）显示屏OB应绕点O按顺时针方向旋转30，理由：显示屏OB与水平线的夹角仍保持120，EOF=120，FOA=CAO=30，AOB=120，EOB=FOA=30，显示屏OB应绕点O按顺时针方向旋转30

6、考点：解直角三角形的应用；旋转的性质3如图，AB是O的直径，弦CDAB于H，过CD延长线上一点E作O的切线交AB的延长线于切点为G，连接AG交CD于K（1）求证：KE=GE；（2）若KG2=KDGE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长【答案】（1）证明见解析；（2）ACEF，证明见解析；（3）FG= 【解析】试题分析：（1）如图1，连接OG根据切线性质及CDAB，可以推出KGE=AKH=GKE，根据等角对等边得到KE=GE；（2）AC与EF平行，理由为：如图2所示，连接GD，由KGE=GKE，及KG2=KDGE，利用两边对应成比例且

7、夹角相等的两三角形相似可得出GKD与EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到C=AGD，可推知E=C，从而得到ACEF；（3）如图3所示，连接OG，OC，先求出KE=GE，再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在RtOGF中，解直角三角形即可求得FG的长度试题解析：（1）如图1，连接OGEG为切线，KGE+OGA=90，CDAB，AKH+OAG=90，又OA=OG，OGA=OAG，KGE=AKH=GKE，KE=GE（2）ACEF，理由为连接GD，如图2所示KG2=KDGE，即 ， ，又KGE=GKE，GKDEGK，E=AGD，又C=AGD，E=C，ACEF；（3）连接OG，OC

8、，如图3所示，EG为切线，KGE+OGA=90，CDAB，AKH+OAG=90，又OA=OG，OGA=OAG，KGE=AKH=GKE，KE=GEsinE=sinACH= ，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，KE=GE，ACEF，CK=AC=5t，HK=CK-CH=t在RtAHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即（3t）2+t2=（2 ）2，解得t= 设O半径为r，在RtOCH中，OC=r，OH=r-3t，CH=4t，由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，即（r-3t）2+（4t）2=r2，解得r= t=EF为切线，OGF为直角三角形，在RtOGF中，OG=r=，tanOFG=t

9、anCAH= ，FG= 【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性质是解本题的关键4如图13，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，求的值；若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间【答案】（1）详见解析；（2）和走完全程所需时间为【解析】试题分析：（1）利用四边相等的四边形是菱形；

10、（2）构造直角三角形求；先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间.试题解析：解：（1）证明：四边形是矩形.与交于点O,且关于对称四边形是菱形.（2）连接,直线分别交于点,交于点关于的对称图形为在矩形中，为的中点，且O为AC的中点为的中位线同理可得：为的中点，过点P作交于点由运动到所需的时间为3s由可得，点O以的速度从P到A所需的时间等于以从M运动到A即：由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小.如下图，当P运动到,即时，所用时间最短.在中，设解得：和走完全程所需时间为考点：菱形的判定方法；构造直角三角形求三角函数值；确定极值时动点的特殊位置5如图，在平面直角坐标系

11、xOy中，抛物线yx2+bx+c与直线yx3分别交x轴、y轴上的B、C两点，设该抛物线与x轴的另一个交点为点A，顶点为点D，连接CD交x轴于点E（1）求该抛物线的表达式及点D的坐标；（2）求DCB的正切值；（3）如果点F在y轴上，且FBCDBA+DCB，求点F的坐标【答案】（1），D（4，1）；（2）；（3）点F坐标为（0，1）或（0，18）【解析】【分析】（1）yx3，令y0，则x6，令x0，则y3，求出点B、C的坐标，将点B、C坐标代入抛物线yx2+bx+c，即可求解；（2）求出则点E（3，0），EHEBsinOBC，CE3，则CH，即可求解；（3）分点F在y轴负半轴和在y轴正半轴两种情况

12、，分别求解即可【详解】（1）yx3，令y0，则x6，令x0，则y3，则点B、C的坐标分别为（6，0）、（0，3），则c3，将点B坐标代入抛物线yx2+bx3得：036+6b3，解得：b2，故抛物线的表达式为：yx2+2x3，令y0，则x6或2，即点A（2，0），则点D（4，1）；（2）过点E作EHBC交于点H，C、D的坐标分别为：（0，3）、（4，1），直线CD的表达式为：yx3，则点E（3，0），tanOBC，则sinOBC，则EHEBsinOBC，CE3，则CH，则tanDCB；（3）点A、B、C、D、E的坐标分别为（2，0）、（6，0）、（0，3）、（4，1）、（3，0），则BC3，OE

13、OC，AEC45，tanDBE，故：DBEOBC，则FBCDBA+DCBAEC45，当点F在y轴负半轴时，过点F作FGBG交BC的延长线与点G，则GFCOBC，设：GF2m，则CGGFtanm，CBF45，BGGF，即：3+m2m，解得：m3，CFm15，故点F（0，18）；当点F在y轴正半轴时，同理可得：点F（0，1）；故：点F坐标为（0，1）或（0，18）【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（3），确定FBCDBA+DCBAEC45，是本题的突破口6如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏

14、西60方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）【答案】拦截点D处到公路的距离是(500500)米【解析】试题分析：过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则E=F=90，拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF解RtBCE，求出BE=BC=1000=500米；解RtCDF，求出CF=CD=500米，则DA=BE+CF=（500+500）米试题解析：如图，过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，

15、两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则E=F=90，拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF在RtBCE中，E=90，CBE=60，BCE=30，BE=BC=1000=500米；在RtCDF中，F=90，DCF=45，CD=BC=1000米，CF=CD=500米，DA=BE+CF=（500+500）米，故拦截点D处到公路的距离是（500+500）米考点：解直角三角形的应用-方向角问题7如图，某次中俄“海上联合”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为68试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度（结果保留

16、整数参考数据：sin680.9，cos680.4，tan682.5， 1.7）【答案】潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米【解析】试题分析：过点C作CDAB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，用锐角三角函数分别在RtACD中表示出CD和在RtBCD中表示出BD，利用BD=AD+AB二者之间的关系列出方程求解试题解析：过点C作CDAB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得：ACD=30，BCD=68，设AD=x，则BD=BA+AD=1000+x，在RtACD中，CD= = = 在RtBCD中，BD=CDtan68，325+x= tan68解得：x100米

17、，潜艇C离开海平面的下潜深度为100米点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，从题目中找出直角三角形并选择合适的边角关系求解视频8如图，RtABC，CABC，AC4，在AB边上取一点D，使ADBC，作AD的垂直平分线，交AC边于点F，交以AB为直径的O于G，H，设BCx（1）求证：四边形AGDH为菱形；（2）若EFy，求y关于x的函数关系式；（3）连结OF，CG若AOF为等腰三角形，求O的面积；若BC3，则CG+9_（直接写出答案）【答案】（1）证明见解析；（2）yx2（x0）；（3）或8或（2+2）；4【解析】【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质以及垂径定理证明AG=

18、DG=DH=AH即可；（2）只要证明AEFACB，可得解决问题；（3）分三种情形分别求解即可解决问题；只要证明CFGHFA，可得=，求出相应的线段即可解决问题；【详解】（1）证明：GH垂直平分线段AD，HAHD，GAGD，AB是直径，ABGH，EGEH，DGDH，AGDGDHAH，四边形AGDH是菱形（2）解：AB是直径，ACB90，AEEF，AEFACB90，EAFCAB，AEFACB，yx2（x0）（3）解：如图1中，连接DFGH垂直平分线段AD，FAFD，当点D与O重合时，AOF是等腰三角形，此时AB2BC，CAB30，AB，O的面积为如图2中，当AFAO时，AB，OA，AF，解得x4（

19、负根已经舍弃），AB，O的面积为8如图21中，当点C与点F重合时，设AEx，则BCAD2x，AB，ACEABC，AC2AEAB，16x，解得x222（负根已经舍弃），AB216+4x28+8，O的面积AB2（2+2）综上所述，满足条件的O的面积为或8或（2+2）；如图3中，连接CGAC4，BC3，ACB90，AB5，OHOA，AE，OEOAAE1，EGEH，EFx2，FG，AF，AH，CFGAFH，FCGAHF，CFGHFA，CG，CG+94故答案为4【点睛】本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、垂径定理、线段的垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是

20、学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题9如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，.（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】试题分析：（1）根据AE平分BAD、BF平分ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE，从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形（2）由菱形的性质可知AP的长及PAF=60，过点P作PHAD于H，即可得到PH、DH的长，从而可求tanADP试题解析：(1)AE平分BAD BF平分ABCBAE=EAF ABF=EBFAD/BCEAF=AEB AFB=EB

21、FBAE=AEB AFB=ABFAB=BE AB=AFAF=AB=BEAD/BCABEF为平行四边形又AB=BEABEF为菱形（2）作PHAD于H由ABC=60而已（1）可知PAF=60，PA=2，则有PH=，AH=1，DH=AD-AH=5tanADP=考点：1、平行四边形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函数10在等腰ABC中，B=90，AM是ABC的角平分线，过点M作MNAC于点N，EMF=135将EMF绕点M旋转，使EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题：（1）当EMF绕点M旋转到如图的位置时，求证：BE+CF=BM；（2）当EMF绕点M旋转到如图，图的位置时，

22、请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）和（2）的条件下，tanBEM=，AN=+1，则BM= ，CF= 【答案】（1）证明见解析（2）见解析（3）1，1+或1【解析】【分析】(1)由等腰ABC中，B=90，AM是ABC的角平分线，过点M作MNAC于点N，可得BM=MN，BMN=135，又EMF=135，可证明的BMENMF，可得BE=NF，NC=NM=BM进而得出结论；（2）如图时，同（1）可证BMENMF，可得BECF=BM，如图时，同（1）可证BMENMF，可得CFBE=BM；(3) 在RtABM和RtANM中，可得RtABMRtANM，后分别求出AB、

23、AC、 CN 、BM、 BE的长，结合（1）（2）的结论对图进行讨论可得CF的长.【详解】（1）证明：ABC是等腰直角三角形，BAC=C=45，AM是BAC的平分线，MNAC，BM=MN，在四边形ABMN中，BMN=360909045=135，ENF=135，BME=NMF，BMENMF，BE=NF，MNAC，C=45，CMN=C=45，NC=NM=BM，CN=CF+NF，BE+CF=BM；（2）针对图2，同（1）的方法得，BMENMF，BE=NF，MNAC，C=45，CMN=C=45，NC=NM=BM，NC=NFCF，BECF=BM；针对图3，同（1）的方法得，BMENMF，BE=NF，MN

24、AC，C=45，CMN=C=45，NC=NM=BM，NC=CFNF，CFBE=BM；（3）在RtABM和RtANM中，RtABMRtANM（HL），AB=AN=+1，在RtABC中，AC=AB=+1，AC=AB=2+，CN=ACAN=2+（+1）=1，在RtCMN中，CM=CN=，BM=BCCM=+1=1，在RtBME中，tanBEM=，BE=，由（1）知，如图1，BE+CF=BM，CF=BMBE=1由（2）知，如图2，由tanBEM=，此种情况不成立；由（2）知，如图3，CFBE=BM，CF=BM+BE=1+，故答案为1，1+或1【点睛】本题考查三角函数与旋转与三角形全等的综合，难度较大，需综合运用所学知识求解.