数学二次函数的专项培优练习题(含答案)及详细答案(DOC 21页).doc
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- 数学二次函数的专项培优练习题含答案及详细答案DOC 21页 数学 二次 函数 专项 练习题 答案 详细 DOC 21
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1、一、二次函数 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1如图,抛物线yx2mx(m+1)与x轴负半轴交于点A(x1,0),与x轴正半轴交于点B(x2,0)(OAOB),与y轴交于点C,且满足x12+x22x1x213(1)求抛物线的解析式;(2)以点B为直角顶点,BC为直角边作RtBCD,CD交抛物线于第四象限的点E,若ECED,求点E的坐标;(3)在抛物线上是否存在点Q,使得SACQ2SAOC?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由【答案】(1)yx22x3;(2)E点坐标为(,);(3)点Q的坐标为(3,12)或(2,3)理由见解析.【解析】【分析】(1)由根与系数的关系可得x1+x2m,x
2、1x2(m+1),代入x12+x22x1x213,求出m12,m25根据OAOB,得出抛物线的对称轴在y轴右侧,那么m2,即可确定抛物线的解析式;(2)连接BE、OE根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BECDCE利用SSS证明OBEOCE,得出BOECOE,即点E在第四象限的角平分线上,设E点坐标为(m,m),代入yx22x3,求出m的值,即可得到E点坐标;(3)过点Q作AC的平行线交x轴于点F,连接CF,根据三角形的面积公式可得SACQSACF由SACQ2SAOC,得出SACF2SAOC,那么AF2OA2,F(1,0)利用待定系数法求出直线AC的解析式为y3x3根据ACFQ,可设直
3、线FQ的解析式为y3x+b,将F(1,0)代入,利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y3x+3,把它与抛物线的解析式联立,得出方程组,求解即可得出点Q的坐标【详解】(1)抛物线yx2mx(m+1)与x轴负半轴交于点A(x1,0),与x轴正半轴交于点B(x2,0),x1+x2m,x1x2(m+1),x12+x22x1x213,(x1+x2)23x1x213,m2+3(m+1)13,即m2+3m100,解得m12,m25OAOB,抛物线的对称轴在y轴右侧,m2,抛物线的解析式为yx22x3;(2)连接BE、OE在RtBCD中,CBD90,ECED,BECDCE令yx22x30,解得x11,x23,
4、A(1,0),B(3,0),C(0,3),OBOC,又BECE,OEOE,OBEOCE(SSS),BOECOE,点E在第四象限的角平分线上,设E点坐标为(m,m),将E(m,m)代入yx22x3,得mm22m3,解得m,点E在第四象限,E点坐标为(,);(3)过点Q作AC的平行线交x轴于点F,连接CF,则SACQSACFSACQ2SAOC,SACF2SAOC,AF2OA2,F(1,0)A(1,0),C(0,3),直线AC的解析式为y3x3ACFQ,设直线FQ的解析式为y3x+b,将F(1,0)代入,得03+b,解得b3,直线FQ的解析式为y3x+3联立,解得,点Q的坐标为(3,12)或(2,3
5、)【点睛】本题是二次函数综合题,其中涉及到一元二次方程根与系数的关系,求二次函数的解析式,直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质,二次函数图象上点的坐标特征,三角形的面积,一次函数图象与几何变换,待定系数法求直线的解析式,抛物线与直线交点坐标的求法,综合性较强,难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键2如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)以A为顶点的抛物线yax2bxc过点C动点P从点A出发,以每秒个单位的速度沿线段AD向点D运动,运动时间为t秒过点P作PEx轴交抛物线于点M,交AC于点N (1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线
6、的解析式;(2)当t为何值时,ACM的面积最大?最大值为多少?(3)点Q从点C出发,以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动,当t为何值时,在线段PE上存在点H,使以C、Q、N、H为顶点的四边形为菱形?【答案】(1)A(1,4);yx22x3;(2)当t时,AC面积的最大值为1;(3)或【解析】(1)由矩形的性质得到点A的坐标,由抛物线的顶点为A,设抛物线的解析式为ya(x1)24,把点C的坐标代入即可求得a的值;(2)由点P的坐标以及抛物线解析式得到点M的坐标,由A、C的坐标得到直线AC的解析式,进而得到点N的坐标,即可用关于t的式子表示MN,然后根据ACM的面积是AMN和CMN的面积和列出
7、用t表示的ACM的面积,利用二次函数的性质即可得到当t时,AC面积的最大值为1;(3)当点在点上方时,由PCQ,PNCQ,得到四边形PNCQ为平行四边形,所以当PQCQ时,四边形FECQ为菱形,据此得到,解得t值;当点在点下方时,NH=CQ=,NQCQ时,四边形NHCQ为菱形,NQ2CQ2,得:,解得t值解:(1)由矩形的性质可得点A(1,4),抛物线的顶点为A,设抛物线的解析式为ya(x1)24,代入点C(3, 0),可得a1y(x1)24x22x3(2)P(,),将代入抛物线的解析式,y(x1)24,M(,),设直线AC的解析式为,将A(,),C(,)代入,得:,将代入得,N(,),MN
8、,当t时,AC面积的最大值为1(3)如图,当点在点上方时,(,),P(,),P()CQ,又PNCQ,四边形PNCQ为平行四边形,当PQCQ时,四边形FECQ为菱形,PQ2PD2+DQ2 ,整理,得解得,(舍去);如图当点在点下方时,NH=CQ=,NQCQ时,四边形NHCQ为菱形,NQ2CQ2,得:整理,得所以,(舍去)“点睛”此题主要考查二次函数的综合问题,会用顶点式求抛物线,会用两点法求直线解析式,会设点并表示三角形的面积,熟悉矩形和菱形的性质是解题的关键.3如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(-2,0),B(1,0),交y轴于C(0,2);(1)求二次函数的解析式;(2)连
9、接AC,在直线AC上方的抛物线上是否存在点N,使NAC的面积最大,若存在,求出这个最大值及此时点N的坐标,若不存在,说明理由(3)若点M在x轴上,是否存在点M,使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形,若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,说明理由(4)若P为抛物线上一点,过P作PQBC于Q,在y轴左侧的抛物线是否存在点P使CPQBCO(点C与点B对应),若存在,求出点P的坐标,若不存在,说明理由【答案】(1)二次函数的解析式为:y=-x2-x+2;(2)最大值为1,此时N(-1,2);(3)M的坐标为(-1,0)或(1,0)或(-,0);(4)点P的坐标为:(-1,2)或(-,-)【解析】【
10、分析】(1)利用交点式求二次函数的解析式;(2)求直线AC的解析式,作辅助线ND,根据抛物线的解析式表示N的坐标,根据直线AC的解析式表示D的坐标,表示ND的长,利用铅直高度与水平宽度的积求三角形ANC的面积,根据二次函数的最值可得面积的最大值,并计算此时N的坐标;(3)分三种情况:当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时,分别以三边为腰,画图形,求M的坐标即可;(4)存在两种情况:如图4,点P1与点C关于抛物线的对称轴对称时符合条件;如图5,图3中的M(-,0)时,MB=MC,设CM与抛物线交于点P2,则CP2QBCO,P2为直线CM的抛物线的交点【详解】(1)二次函数y=ax2+bx+c的
11、图象交x轴于A(-2,0),B(1,0),设二次函数的解析式为:y=a(x+2)(x-1),把C(0,2)代入得:2=a(0+2)(0-1),a=-1,y=-(x+2)(x-1)=-x2-x+2,二次函数的解析式为:y=-x2-x+2;(2)如图1,过N作NDy轴,交AC于D,设N(n,-n2-n+2),设直线AC的解析式为:y=kx+b,把A(-2,0)、C(0,2)代入得:,解得:,直线AC的解析式为:y=x+2,D(n,n+2),ND=(-n2-n+2)-(n+2)=-n2-2n,SANC=2-n2-2n=-n2-2n=-(n+1)2+1,当n=-1时,ANC的面积有最大值为1,此时N(
12、-1,2),(3)存在,分三种情况:如图2,当BC=CM1时,M1(-1,0);如图2,由勾股定理得:BC=,以B为圆心,以BC为半径画圆,交x轴于M2、M3,则BC=BM2=BM3=,此时,M2(1-,0),M3(1+,0);如图3,作BC的中垂线,交x轴于M4,连接CM4,则CM4=BM4,设OM4=x,则CM4=BM4=x+1,由勾股定理得:22+x2=(1+x)2,解得:x=,M4在x轴的负半轴上,M4(-,0),综上所述,当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时,M的坐标为(-1,0)或(1,0)或(-,0);(4)存在两种情况:如图4,过C作x轴的平行线交抛物线于P1,过P1作P1
13、QBC,此时,CP1QBCO,点P1与点C关于抛物线的对称轴对称, P1(-1,2),如图5,由(3)知:当M(-,0)时,MB=MC,设CM与抛物线交于点P2,过P2作P2QBC,此时,CP2QBCO,易得直线CM的解析式为:y=x+2,则,解得:P2(-,-),综上所述,点P的坐标为:(-1,2)或(-,-)【点睛】本题是二次函数的综合题,计算量大,考查了利用待定系数法求函数的解析式、利用函数解析式求其交点坐标、三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质和判定,是一个不错的二次函数与几何图形的综合题,采用了分类讨论的思想,第三问和第四问要考虑周全,不要丢解4已知抛物线.(1)求证:该抛物线与
14、x轴总有交点;(2)若该抛物线与x轴有一个交点的横坐标大于3且小于5,求m的取值范围;(3)设抛物线与轴交于点M,若抛物线与x轴的一个交点关于直线的对称点恰好是点M,求的值.【答案】(1)证明见解析;(2);(3)【解析】【分析】(1)本题需先根据判别式解出无论m为任何实数都不小于零,再判断出物线与x轴总有交点(2)根据公式法解方程,利用已有的条件,就能确定出m的取值范围,即可得到结果(3)根据抛物线y=-x2+(5-m)x+6-m,求出与y轴的交点M的坐标,再确定抛物线与x轴的两个交点关于直线y=-x的对称点的坐标,列方程可得结论【详解】(1)证明: 抛物线与x轴总有交点. (2)解:由(1
15、),根据求根公式可知,方程的两根为:即由题意,有 (3)解:令 x = 0, y = M(0,)由(2)可知抛物线与x轴的交点为(-1,0)和(,0),它们关于直线的对称点分别为(0 , 1)和(0, ),由题意,可得: 【点睛】本题考查对抛物线与x轴的交点,解一元一次方程,解一元一次不等式,根的判别式,对称等,解题关键是熟练理解和掌握以上性质,并能综合运用这些性质进行计算5如图,抛物线交轴于,两点,交轴于点C,与过点C且平行于x轴的直线交于另一点,点P是抛物线上一动点(1)求抛物线解析式及点D的坐标;(2)点在轴上,若以,为顶点的四边形是平行四边形,求此时点的坐标;(3)过点作直线CD的垂线
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