唐山市2019—2020学年度高三年级理科数学第二次模拟考试含答案.pdf

1、高三理科数学 第 1 页 共 4 页 唐山市 20192020 学年度高三年级第二次模拟考试 理科数学 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写 在答题卡上，写在本试卷上无效。 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1已知集合 Ax| x2 x30，Bx| |x2，则 AB A B2，2)

2、C(2，3) D(2，3 2已知复数 z1ai 3i 为纯虚数(其中 i 为虚数单位)，则实数 a A3 B3 C 1 3 D 1 3 3已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a24，a40，则 S5 A2 B0 C10 D20 4已知 sin( 2) 1 3，则 cos2 A 7 9 B 7 9 C 8 9 D 8 9 5 某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的最长棱的长度为 A2 2 B3 C 10 D2 3 6已知以抛物线 E：y24x 的焦点为圆心，与 E 的准线相切的 圆交 E 于 A，B 两点，则|AB| A2 B4 C2 2 D6 正视图 侧视图 俯视图 1 1 1 2 2

3、高三理科数学 第 2 页 共 4 页 7某科考试成绩公布后，发现判错一道题，经修改后重新公布，下表是抽取 10 名学生 的成绩，依据这些信息，修改后的成绩与修改前的相比，这 10 名学生成绩的 学生学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 修改前成绩 126 130 104 100 133 123 100 120 139 103 修改后成绩 126 135 99 100 138 123 95 120 144 98 A平均分、方差都变小 B平均分、方差都变大 C平均分不变、方差变小 D平均分不变、方差变大 8若曲线 y2x在 xt 处的切线为 yax，则 t 所在的区间为 A(0， 1 2

4、) B( 1 2，1) C(1， 3 2) D( 3 2，2) 9已知 f(x)cos 2xsinx，有以下命题： 为 f(x)的一个周期；f(x)的图象关于直线 x 2对称；f(x)在( 6， 2)上单调； 则正确命题的个数是 A3 B2 C1 D0 10已知向量 a，b 满足| |a| |1，(ab)(3ab)，则 a 与 b 的夹角的最大值为 A30 B60 C120 D150 11已知 f(x)(x22xa)ex，若 f(x)存在最小值，则 a 的取值范围是 A(，2） B(，1 C1，2) D(2，) 12已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21（a0，b0）的左、右焦点分别为 F

5、1，F2，设过 F2 的直 线 l 与 C 的右支相交于 A，B 两点，且| |AF1| | |F1F2| |，| |BF2| |2| |AF2| |，则双曲线 C 的离心率是 A 2 B 3 C 4 3 D 5 3 高三理科数学 第 3 页 共 4 页 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知 x，y 满足约束条件 xy20， x2y10， xy20， 若 zxy 的最大值为_ 14在(2x 1 x ) 6 的展开式中，x3的系数是_ 15在三棱锥 P-ABC 中，BAC90 ，PAPBPCBC2 2，则三棱锥 P-ABC 外接 球的表面积为_ 16在ABC 中，

6、角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a1，A120 ，若 bc 有最大 值，则 的取值范围是_ 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考 题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （12 分） 已知 Sn是数列an的前 n 项和，Sn13Sn1，a11. （1）求数列an的通项公式； （2）若 bnlog3a2n，cn 1 bnbn1，求数列cn的前 n 项和 Tn 18 （12 分） 如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，ADBC， AD2AB2BC2， AE平面 ABCD，

7、CF平面 ABCD， CF2AE （1）求证：CDEF； （2）若二面角 B-EF-D 是直二面角，求 AE 19 （12 分） 某公司年会有幸运抽奖环节， 一个箱子里有相同的十个兵乓球， 球上分别标 0， 1， 2， ， 9 这十个自然数，每位员工有放回 的依次取出三个球规定：每次取出的球所标数字不小 于 后面取出的球所标数字即中奖中奖奖项：三个数字全部相同中一等奖，奖励 10000 元现金；三个数字中有两个数字相同中二等奖，奖励 5000 元现金；三个数字各不相同中 三等奖，奖励 2000 元现金；其它不中奖，没有奖金 （1） 求员工 A 中二等奖的概率； （2） 设员工 A 中奖奖金为

8、X，求 X 的分布列； （3） 员工 B 是优秀员工，有两次抽奖机会，求员工 B 中奖奖金的期望 A D C E B F 高三理科数学 第 4 页 共 4 页 20 （12 分） 已知函数 f(x) xlnx （1）求函数 f(x)的最小值； （2）若 a1，证明：af(x)2 x350 21 （12 分） 已知 A(x1， y1)， B(x1， y1)是椭圆 T： x2 4y 21 上的两点， 且 A 点位于第一象限 过 A 做 x 轴的垂线，垂足为点 C，点 D 满足 AC 2CD，延长 BD 交 T 于点 E(x2，y2) （1）设直线 AB，BD 的斜率分别为 k1，k2， （）求证：

9、k14k2； （）证明：ABE 是直角三角形； （2）求ABE 的面积的最大值 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题记分 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：(x1)2y21，直线 l：yx以坐标原点 O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C 与直线 l 的极坐标方程； （2）已知 P 为曲线 C 上一点，PHl 于 H，求 SPOH的最大值 23选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知 xR，y0，xy2xy （1）若 x0，求证：xy1； （2）若 x0，求

10、| |x| | 2y | |x| |的最小值 唐山市 20192020 学年度高三年级第二次模拟考试 理科数学参考答案 一选择题： CACAB BDCBA BD 二填空题： 130； 14240； 1532 3 ； 16( 1 2，2) 三解答题： 17解： （1）由 Sn13Sn1， 当 n2 时，Sn3Sn11， 两式相减，得 an13an， 2 分 当 n1 时，a1a23a11，得 a23，即 a23a1， 3 分 所以，当 n1 时，an13an， 即an是首项为 1，公比为 3 的等比数列， 4 分 所以 an3n 1 6 分 （2）bnlog3a2nlog332n 12n1， 8

11、 分 cn 1 bnbn1 1 (2n1)(2n1) 1 2 ( 1 2n1 1 2n1)， 10 分 所以 Tn 1 2 (1 1 3 1 3 1 5 1 2n1 1 2n1) 1 2 (1 1 2n1) n 2n1 12 分 18解： （1）连接 AC 因为 CF平面 ABCD，CD平面 ABCD， 所以 CFCD， 1 分 因为 AD2，ABBC1， 所以 ACCD 2， 所以 AC2CD2AD2，从而有 ACCD， 3 分 因为 AE平面 ABCD，CF平面 ABCD， 所以 AECF，因此 A，C，F，E 四点共面 又 ACCFC，所以 CD平面 ACFE， 因为 EF平面 ACFE

12、，所以 CDEF 5 分 （2）如图，以 A 为原点， AB 、AD、 AE分别 为 x 轴、y 轴、z 轴正向，建立空间直角坐标系， 设 AEt，则 A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1， 0)，D(0，2，0)，E(0，0，t)，F(1，1，2t)则 BE (1，0，t)， BF(0，1，2t)，DE(0， 2，t)， DF (1，1，2t)， 6 分 A D C E B F z x y 设 m(x1，y1，z1)为面 BEF 的法向量，则 m BE 0，m BF0， 即 x1tz10， y12tz10， 取 z11，x1t，y12t，则 m(t，2t，1)， 8 分 设 n(x

13、2，y2，z2)为面 DEF 的法向量，则 nDE 0，nDF0， 即 2y2tz20， x2y22tz20，取 z22，x23t，y2t，则 n(3t，t，2)， 10 分 若二面角 B-EF-D 是直二面角，则 mn0，即 5t22，解得 t 10 5 所以 AE 10 5 12 分 19解： （1）记事件“员工 A 中二等奖的概率”为 M，有放回 的依次取三个球的取法有 103 种 中二等奖取法有两类：一类是前两次取到同一数字，从 10 个数字中取出 2 个，较大 的数是前两次取出的数，较小的数是第 3 次取出的数有C 2 1045 种；另一类是后两次 取到同一数字，同理有C 2 104

14、5 种，共 90 种则 P(M) 90 1030.09 3 分 （2）X 的可能取值为 0，2000，5000，10000. P(X2000)C 3 10 1030.12； P(X5000) 90 1030.09； P(X10000) 10 1030.01； P(X0)1P(X2000)P(X5000)P(X10000)0.78 则 X 的分布列为 X 10000 5000 2000 0 P 0.01 0.09 0.12 0.78 8 分 （3）由（2）可知 A 中奖奖金的期望 E(X)100000.0150000.0920000.1200.78790 元 员工 B 每次中奖奖金的期望和 A

15、一样，由题意可知 员工 B 中奖奖金的期望是 1580 元 12 分 20解： （1）f(x) 1 2 x 1 x x2 2x ，x0 所以 0x4 时，f(x)0，f(x)单调递减； x4 时，f(x)0，f(x)单调递增， 从而 x4 时，f(x)取得最小值 22ln2 4 分 （2）由（1）得，f(x)0， 所以当 a1 时，af(x)2 x35f(x)2 x35， 6 分 令 g(x)f(x)2 x35， 则 g(x) 1 2 x 1 x 1 x3 x23x2 x32x 2x x3 7 分 令 h(x) x23x2 x32x，x0， 则 h(x) 2x3 2 x23x 1 x32， 因

16、为 x0，所以 2 1 x30，从而 h(x)0， 因此 h(x)在(0，)上单调递增，又 h(1)0， 所以 0x1 时，h(x)h(1)0，从而 g(x)0，g(x)单调递减； x1 时，h(x)h(1)0，从而 g(x)0，g(x)单调递增， 10 分 因此 g(x)g(1)0 11 分 故 a1，af(x)2 x350 12 分 21解： （1） （）由题意可得 D(x1，y1 2)，所以 k2 y1 2 (y1) x1(x1) y1 4x1， 2 分 又 k1y1 x1，因此 k14k2 3 分 （）因为 A(x1，y1)，E(x2，y2)都在 T 上， 所以x 2 1 4y 2 1

17、1， x2 2 4y 2 21，从而 x2 2x21 4 (y2 2y21)0， 4 分 即y 2y1 x2x1 y2(y1) x2(x1) 1 4 5 分 又 kAEy 2y1 x2x1，kBE y2(y1) x2(x1)k2，所以 kAEk2 1 4， 6 分 由（）k14k2，则 k1kAE1，即 ABAE， 故ABE 是直角三角形 7 分 （2）由（1）得，AE：yx1 y1(xx1)y1 x1x y1 x 2 1y21 y1 ， 将直线 AE 代入椭圆 T，并整理可得(4x2 1y 2 1)x28x1(x 2 1y 2 1)x4(x 2 1y 2 1)24y 2 10， 所以 x1x

18、28x 1(x21y21) 4x2 1y 2 1 8 分 SABE 1 2 | |AD| | |x2(x1)| | 1 2 3y1 2 | |x2x1| |6x 1y1(x21y21) 4x2 1y 2 1 ， 9 分 因为x 2 1 4y 2 11，所以 SABE 24x1y1(x2 1y 2 1) (4x2 1y 2 1)(x 2 14y 2 1) 24(y1 x1 x1 y1) 4x 2 1 y2 14 y2 1 x2 1 17 10 分 令y1 x1 x1 y1t，则 t2，等号当且仅当 k1 y1 x11 时成立 从而 SABE 24t 4t29 24 4t 9 t ， 因为 4t

19、9 t 在2，)上单调递增，所以 t2 时，4t 9 t 取得最小值25 2 ， 故 k11 时，SABE取得最大值48 25 12 分 22解： （1）由 xcos，ysin，2x2y2得 曲线 C：22cos0，即 2cos； 直线 l：3 4 （R R） 4 分 （2）依题意，设 P(，)， 2 2，则| |OP| |2cos， 5 分 所以| |OH| | |OP| | |cos( 4)| |2cos | |cos( 4)| |， | |PH| | |OP| | |sin( 4)| |2cos | |sin( 4)| |， 7 分 因此 SPOH 1 2 | |OH| | |PH| |

20、 2cos 2 | |cos( 4) sin( 4)| | cos 2| |cos2sin2| | |2(cos 2 1 4) 2 1 8| 9 分 所以当 cos 21,即 0 时，SPOH取得最大值 1 10 分 23解： （1）因为 x0，y0，所以 xy2 xy， 由 xy2xy 得 2xy2 xy， 故 xy1，xy1，当且仅当 xy 时，等号成立 4 分 （2）由 xy2xy 得 1 x 1 y2 5 分 | |x| | 2y | |x| | 1 2( 1 x 1 y)| |x| | 2y | |x| | | |x| | 2x | |x| | 2y 2y | |x| | | |x| | 2x 2 3 2 9 分 当且仅当| |x| | 2y 2y | |x| |，且 x0 时，两个等号同时成立 即当且仅当 x 1 2且 y 1 4，| |x| | 2y | |x| |的最小值是 3 2 10 分