江苏省盐城市2020届高三年级第四次模拟考试数学试题（解析版）.docx

1、1 江苏省盐城市 2020 届高三年级第四次模拟考试 数学试题 20206 第 I 卷（必做题，共 160 分） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上 ） 1若集合 Ax xm，B1x x ，且 ABm，则实数 m 的值为 2已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z(3i)10，则z的值为 3从数字 0，1，2 中任取两个不同的数字构成一个两位数，则所得的两位数大于 10 的概率 为 4如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布 直方图， 图中小矩形从左向右所对应的区间依次为0， 50)， 50，

2、100)， 100， 150)， 150， 200)，200，250 若一个月以 30 天计算，估计这家面包店一个月内这种面包的日销售 量少于 100 个的天数为 天 5执行如图所示的流程图，输出 k 的值为 第 4 题 第 5 题 6若双曲线 22 22 1 xy ab (a0，b0)的渐近线为2yx ，则其离心率的值为 7若三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 12，点 P 为棱 AA1上一点，则四棱锥 PBCC1B1的体 积为 8“2”是“函数( )sin() 6 f xx 的图象关于点( 5 12 ，0)对称”的 条 件 （选填“充分不必要”、 “必要不充分”、 “充要”、 “既不充分也

3、不必要”之一） 9在ABC 中，CB 4 ，AB 3 2 4 AC，则 tanB 的值为 10 若数列 n a的前n项和为 n S， 1 2( 1) (21) nn n an ， 则 1 0 01 0 0 2aS的值为 2 11若集合 P 22 ( , )40x y xyx，Q 2 ( , )15 x x y y ，则 PQ 表示的曲 线的长度为 12若函数 2 e , 0 ( ) e1, 0 x mx f x xx 的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数 m 的最 大值是 13在ABC 中，AB10，AC15，A 的平分线与边 BC 的交点为 D，点 E 为边 BC 的 中点，若AB A

4、D90，则AB AE的值是 14若实数 x，y 满足 4x24xy7y2l，则 7x24xy4y2的最小值是 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 ） 15 （本小题满分 14 分） 若函数( )Msin()f xx(M0，0，0)的最小值是2，最小正周期 是 2，且图象经过点 N( 3 ，1) （1）求( )f x的解析式； （2）在ABC 中，若 8 (A) 5 f， 10 (B) 13 f，求 cosC 的值 16 （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，PCBC，点

5、 E 是 PC 的中点，且 平面 PBC平面 ABCD求证： （1）求证：PA平面 BDE； （2）求证：平面 PAC平面 BDE 3 17 （本小题满分 14 分） 如图，在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点 O 的道路 l1，l2，一自然景观的边界 近似为圆形，其半径约为 1 千米，景观的中心 C 到 l1，l2的距离相等，点 C 到点 O 的距离 约为 10 千米现拟新建四条游览道路方便游客参观，具体方案：在线段 OC 上取一点 P， 新建一条道路 OP，并过点 P 新建两条与圆 C 相切的道路 PM，PN（M，N 为切点） ，同时 过点 P 新建一条与 OP 垂直的道路 AB（A，B

6、 分别在 l1，l2上） 为促进沿途旅游经济，新 建道路长度之和越大越好，求新建道路长度之和的最大值 （所有道路宽度忽略不计） 18 （本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)的短轴长为 2，F1， F2分别是椭圆 C 的左、右焦点，过点 F2的动直线与椭圆交于点 P，Q，过点 F2与 PQ 垂直 的直线与椭圆 C 交于 A、B 两点当直线 AB 过原点时，PF13PF2 （1）求椭圆的标准方程； （2）若点 H(3，0)，记直线 PH，QH，AH，BH 的斜率依次为 1 k， 2 k， 3 k， 4 k若 12 2 15 kk，

7、求直线 PQ 的斜率；求 1234 ()()kkkk的最小值 4 19 （本小题满分 16 分） 如果存在常数 k 使得无穷数列 n a满足 mnmn aka a恒成立，则称为 P(k)数列 （1）若数列 n a是 P(1)数列， 6 1a ， 12 3a，求 3 a； （2）若等差数列 n b是 P(2)数列，求数列 n b的通项公式； （3）是否存在 P(k)数列 n c，使得 2020 c， 2021 c， 2022 c，是等比数列？若存在，请 求出所有满足条件的数列 n c；若不存在，请说明理由 20 （本小题满分 16 分） 设函数 32 ( )3ln2f xxxaxax （1）若

8、a0 时，求函数( )f x的单调递增区间； （2）若函数( )f x在 x1 时取极大值，求实数 a 的取值范围； （3）设函数( )f x的零点个数为 m，试求 m 的最大值 5 第 II 卷（附加题，共 40 分） 21 【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分， 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤 A选修 42：矩阵与变换 已知矩阵 A 2 1 a b ， 若矩阵 A 属于特征值 3 的一个特征向量为 1 1 ， 求该矩阵属 于另一个特征值的特征向量 B选修 44：坐标系与参数方程 在极坐标系中， 已知直线 l：cos2 sinm

9、（m 为实数） ， 曲线 C：2cos 4sin，当直线 l 被曲线 C 截得的弦长取得最大值时，求实数 m 的值 6 C选修 45：不等式选讲 已知实数 x，y，z 满足21xyz，求 222 xyz的最小值 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程 或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 如图，抛物线 C： 2 2ypx(p0)的焦点为 F，过点 P(2，0)作直线 l 与抛物线交于 A， B 两点，当直线 l 与 x 轴垂直时 AB 的长为4 2 （1）求抛物线的方程； （2）若APF 与BPO 的面积相等，求直线 l 的方

10、程 23 （本小题满分 10 分） 若有穷数列 n a共有k项(k2)， 且 1 1a ， 1 2() 1 r r ark ar ， 当1rk1时恒成立 设 12kk Taaa 7 （1）求 2 T， 3 T； （2）求 k T 江苏省盐城市 2020 届高三年级第四次模拟考试 数学试题 20206 第 I 卷（必做题，共 160 分） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上 ） 1若集合 Ax xm，B1x x ，且 ABm，则实数 m 的值为 答案：1 考点：集合交集运算 解析：集合 Ax xm，B1x x ，且 ABm， 实数

11、m 的值为1 2已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z(3i)10，则z的值为 答案：10 考点：复数 解析： 1010(3) 310 3(3)(3) i ziz iii 3从数字 0，1，2 中任取两个不同的数字构成一个两位数，则所得的两位数大于 10 的概率 为 8 答案： 3 4 考点：随机事件的概率 解析： 3 4 P 4如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布 直方图， 图中小矩形从左向右所对应的区间依次为0， 50)， 50， 100)， 100， 150)， 150， 200)，200，250 若一个月以 30 天计算，估计这家面包店一个月内

12、这种面包的日销售 量少于 100 个的天数为 天 答案：12 考点：频率分布直方图 解析：(0.0030.005) 50 3012 5执行如图所示的流程图，输出 k 的值为 答案：4 考点：程序框图 解析：第一次：S3，k2； 第二次：S9，k3； 第三次：S18，k4；1816，故输出的 k 的值为 4 6若双曲线 22 22 1 xy ab (a0，b0)的渐近线为2yx ，则其离心率的值为 9 答案：5 考点：双曲线的简单性质 解析：根据渐近线可判断2 b a ，从而 22 4ba，由 2222 5cbaa， 即 2 5e ，5e 7若三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 12，点 P 为

13、棱 AA1上一点，则四棱锥 PBCC1B1的体 积为 答案：8 考点：棱柱棱锥的体积 解析： 1 11 11 1 11 11 1 11 1 1 1 3 P BCC BA BCC BABC A B CA A B CABC A B CABC A B C VVVVVV 1 1 1 22 128 33 ABC A B C V 8“2”是“函数( )sin() 6 f xx 的图象关于点( 5 12 ，0)对称”的 条 件 （选填“充分不必要”、 “必要不充分”、 “充要”、 “既不充分也不必要”之一） 答案：充分不必要 考点：充要性 解析：当2， 5 2 6126 x ，故此时( )f x的图象关于点

14、( 5 12 ，0)对称， 而当( )f x的图象关于点( 5 12 ，0)对称，则 5 126 k ， 122 5 k ，kZ， 故“2”是“函数( )sin() 6 f xx 的图象关于点( 5 12 ，0)对称”的充分不必 要条件 9在ABC 中，CB 4 ，AB 3 2 4 AC，则 tanB 的值为 答案：2 考点：正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数关系式 解析：由 AB 3 2 4 AC，得 3 23 2 sinsinsin()sin 444 CBBB ， 2232 c o ss i ns i n 224 BBB，化简得2cossinBB， 所以 tanB 的值为 2 10

15、若数列 n a的前n项和为 n S， 1 2( 1) (21) nn n an ， 则 1 0 01 0 0 2aS的值为 答案：299 考点：数列的求和方法 10 解析： 99 100 22 (2199)a， 1 0 01 100 1242( 1 3)( 57)( 197 199)S 100 21 100 100100 100100 22398(21 100)299aS 11若集合 P 22 ( , )40x y xyx，Q 2 ( , )15 x x y y ，则 PQ 表示的曲 线的长度为 答案： 2 3 考点：直线与圆 解析： 2222 40(2)4xyxxy， 2 ,2 22 15

16、15 215 ,2 15 x x xx y xy x ， 作出两曲线图像如下：此时 PQ 表示的曲线长度为图中半圆去掉劣弧 AB 部分， 直线1520yx与圆心的距离 22 1 15 1 d ，且 r2， ACB120， 曲线长度为： 1202 24 3603 12若函数 2 e , 0 ( ) e1, 0 x mx f x xx 的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数 m 的最 大值是 答案： 2 e1 考点：函数与方程 解析：题目可转化为函数 2 e1yx与exym图像在第一象限内有两个交点， 22 e1ee1 e xx xmmx ， 令 2222 ( )e1 e( )ee( )(2)

17、e1e1 xx g xxg xg xgm 实数 m 的最大值是 2 e1 11 13在ABC 中，AB10，AC15，A 的平分线与边 BC 的交点为 D，点 E 为边 BC 的 中点，若AB AD90，则AB AE的值是 答案：175 2 考点：平面向量的数量积 解析：由角平分线定理可知 323 255 ACCD ADACAB ABBD 22332 9 0()7 5 5555 A BA DA BA CA BA BA CA BA CA B 21111 7 5 () 2222 AB AEABABACABAB AC 14若实数 x，y 满足 4x24xy7y2l，则 7x24xy4y2的最小值是

18、答案： 3 8 考点：不等式 解析： 22 22 22 744 744 447 xxyy xxyy xxyy ， 当 x0，原式的值为 4 7 ， 当 x0，令 2 2 2 744 (74)(44)470 447 ytt tmmtmtm xtt 2 438 ( 44 )4 ( 74 ) ( 47 )0 783 mmmmm 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 ） 15 （本小题满分 14 分） 若函数( )Msin()f xx(M0，0，0)的最小值是2，最小正周期 是 2，且图象经过点 N( 3 ，1) （1）求

19、( )f x的解析式； （2）在ABC 中，若 8 (A) 5 f， 10 (B) 13 f，求 cosC 的值 解： （1）因为( )f x的最小值是2，所以 M2 因为( )f x的最小正周期是 2，所以1， 又由( )f x的图象经过点( 3 ，1)，可得()1 3 f ， 1 sin() 32 ， 12 所以2 36 k 或 5 2 6 k ，kZ， 又 0，所以 2 ，故( )2sin() 2 f xx ，即( )2cosf xx （2）由（1）知( )2cosf xx，又 8 (A) 5 f， 10 (B) 13 f， 故 8 2cos 5 A ， 10 2cos 13 B ，即

20、4 cos 5 A， 5 cos 13 B ， 又因为ABC 中，A，B(0，)， 所以 22 43 sin1 cos1 ( ) 55 AA， 22 512 sin1 cos1 () 1313 BB， 所以 cosCcos(AB)cos(AB)(cosAcosBsin AsinB) 4531216 () 51351365 16 （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，PCBC，点 E 是 PC 的中点，且 平面 PBC平面 ABCD求证： （1）求证：PA平面 BDE； （2）求证：平面 PAC平面 BDE 证明： （1）设 ACBDO，连结 OE，

21、因为底面 ABCD 是菱形，故 O 为 BD 中点，又因为点 E 是 PC 的中点， 所以 AP/OE，又因为 OE平面 BDE，AP平面 BDE， 所以 AP/平面 BDE （2）因为平面 PBC平面 ABCD，PCBC， 平面 PBC平面 ABCDBC，PC平面 PBC， 所以 PC平面 ABCD 又 BD平面 ABCD，所以 PCBD，ABCD 是菱形，ACBD， 又 PCBD，ACPCC，AC平面 PAC，PC平面 PAC， 所以 BD平面 PAC 又 BD平面 BDE，所以平面 PAC平面 BDE 13 17 （本小题满分 14 分） 如图，在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点 O

22、 的道路 l1，l2，一自然景观的边界 近似为圆形，其半径约为 1 千米，景观的中心 C 到 l1，l2的距离相等，点 C 到点 O 的距离 约为 10 千米现拟新建四条游览道路方便游客参观，具体方案：在线段 OC 上取一点 P， 新建一条道路 OP，并过点 P 新建两条与圆 C 相切的道路 PM，PN（M，N 为切点） ，同时 过点 P 新建一条与 OP 垂直的道路 AB（A，B 分别在 l1，l2上） 为促进沿途旅游经济，新 建道路长度之和越大越好，求新建道路长度之和的最大值 （所有道路宽度忽略不计） 解：连接 CM，设PCM，则 PC 1 cos ，PMPNtan， OPOCPC10 1

23、 cos ，AB2OP20 2 cos ， 设新建的道路长度之和为( )f， 则 3 ( )2tan30 cos fPMPNABOP 由 1PC10 得 1 10 1，设 0 1 cos 10 ， 0 (0， 2 )， 则(0， 0 ， 0 3 11 sin 10 ， 0 2 23cos () cos f ，令 0 ()0f得 2 sin 3 设 1 2 sin 3 ， 1 (0， 0 ， 0 ()f，( )f的情况如下表： (0， 1 ) 1 ( 1 ， 0 ) 0 ()f 0 ( )f 单调递增 单调递减 14 由表可知 1 时( )f有最大值，此时 2 sin 3 ， 5 cos 3 ，

24、 2 tan 5 ， ( )305f 答：新建道路长度之和的最大值为305千米 18 （本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)的短轴长为 2，F1， F2分别是椭圆 C 的左、右焦点，过点 F2的动直线与椭圆交于点 P，Q，过点 F2与 PQ 垂直 的直线与椭圆 C 交于 A、B 两点当直线 AB 过原点时，PF13PF2 （1）求椭圆的标准方程； （2）若点 H(3，0)，记直线 PH，QH，AH，BH 的斜率依次为 1 k， 2 k， 3 k， 4 k若 12 2 15 kk，求直线 PQ 的斜率；求 1234 ()()kk

25、kk的最小值 解： （1）因为椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)的短轴长为 2，所以 b1， 当直线 AB 过原点时，PQx 轴，所以PF1F2为直角三角形， 由定义知 PF1PF22a，而 PF13PF2，故 1 3 2 PFa， 2 1 2 PFa， 由 222 1212 PFPFFF得 22222 911 44(1) 444 aacaa，化简得 a22， 故椭圆的方程为 2 2 1 2 x y （2） 设直线 PQ：(1)yk x， 代入到椭圆方程得： 2222 (1 2)4(22)0kxk xk， 设 P( 1 x， 1 y)，Q( 2 x， 2 y)，则 2 12 2

26、 4 12 k xx k ， 2 12 2 22 12 k x x k ， 所以 121221 12 1212 (1)(3)(1)(3) 33(3)(3) yyk xxxx kk xxxx ， 15 化简可得 12 2 22 8715 k kk k ， 解得：1k 或 7 8 k ，即为直线 PQ 的斜率 当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时， 1234 ()()0kkkk， 当两条直线与坐标轴都不垂直时， 由知 12 2 2 87 k kk k ，同理可得 34 2 2 87 k kk k 故 2 1234 42 2 2 44 ()() 1 5656 113 56() 113 k kkkk k

27、k k k 2 2 44 2251 56 2113k k ， 当且仅当 2 2 1 k k 即 k1 时取等号 综上， 1234 ()()kkkk的最小值为 4 225 19 （本小题满分 16 分） 如果存在常数 k 使得无穷数列 n a满足 mnmn aka a恒成立，则称为 P(k)数列 （1）若数列 n a是 P(1)数列， 6 1a ， 12 3a，求 3 a； （2）若等差数列 n b是 P(2)数列，求数列 n b的通项公式； （3）是否存在 P(k)数列 n c，使得 2020 c， 2021 c， 2022 c，是等比数列？若存在，请 求出所有满足条件的数列 n c；若不存在

28、，请说明理由 解： （1）由数列 n a是 P(1)数列得 623 1aa a， 1226 3aa a，可得 3 1 3 a ； （2）由 n b是 P(2)数列知2 mnmn bb b恒成立，取 m1 得 1 2 nn bbb恒成立， 当 1 0b ，0 n b 时满足题意，此时0 n b ， 当 1 0b 时，由 2 11 2bb可得 1 1 2 b ，取 mn2 得 2 42 2bb， 设公差为 d，则 2 11 32() 22 dd解得0d 或者 1 2 d ， 综上，0 n b 或 1 2 n b 或 2 n n b ，经检验均合题意 16 （3）假设存在满足条件的 P(k)数列 n

29、 c， 不妨设该等比数列 2020 c， 2021 c， 2022 c，的公比为 q， 则有 2020 2020 2020 2020 202020202020202020202020 ckcccqkcc ， 可得 2020 2020 2020 2020 qkc 2020 2021 2020 2020 202120202021202020202020 ckcccqkccq ， 可得 2020 2021 2021 2020 qkc 综上可得 q1， 故 2020 20202020 cc ，代入 2020 20202020 2020 ckcc 得 2020 1 c k ， 则当 n 2020 时 1

30、 n c k ， 又 2020120201 1 ckc cc k ， 当 1n2020 时，不妨设2020 i n ，iN 且 i 为奇数， 由， 而 1 i n c k ，所以 1 1 () ii n kc k ， 1 ()( ) ii n c k ， 1 n c k ， 综上，满足条件的 P(k)数列 n c有无穷多个，其通项公式为 1 n c k 20 （本小题满分 16 分） 设函数 32 ( )3ln2f xxxaxax （1）若 a0 时，求函数( )f x的单调递增区间； （2）若函数( )f x在 x1 时取极大值，求实数 a 的取值范围； （3）设函数( )f x的零点个数为

31、 m，试求 m 的最大值 解： （1）当 a0 时， 3 ( )3lnf xxx，所以 3 1 ( )3() x fx x 由( )0fx得 x1，当 x(0，1)时，( )fx0；当 x(1，)时，( )fx0， 所以函数( )f x的单调增区间为(1，) 17 （2）由题意得 2 3(1)2 ( )(1)1 3 xa fxxx x ， 令 2 2 ( )(1)1 3 a g xxx(x0)，则 3(1) ( )( ) x fxg x x ， 当 2 1 3 a 0 即 3 2 a 时，( )g x0 恒成立，得( )f x在(0，1)上递减，在(1，+) 上递增，所以 x1 是函数( )f

32、 x的极小值点； 当 2 2 (1)40 3 a 即 93 22 a时，此时( )g x0 恒成立，( )f x在(0，1) 上递减，在(1，+) 上递增，所以 x1 是函数( )f x的极小值点； 当 2 2 (1)40 3 a 即 9 2 a 或 3 2 a 时，易得( )f x在(0，1)上递减，在(1， +) 上递增，所以 x1 是函数( )f x的极小值点； 当 2 2 (1)40 3 a 时，解得 9 2 a 或 3 2 a （舍） ， 当 9 2 a 时， 设( )g x的两个零点为 1 x， 2 x， 所以 1 x 2 x1， 不妨设 0 1 x 2 x， 又 2 (1)30

33、3 a g，所以 0 1 x1 2 x，故 12 3 ( )()(1)()fxxxxxx x ， 当 x(0， 1 x)时，( )fx0；当 x( 1 x，1)时，( )fx0；当 x(1， 2 x)时，( )fx 0；当 x( 2 x，)时，( )fx0； ( )f x在(0， 1 x)上递减，在( 1 x，1)上递增，在(1， 2 x)上递减，在( 2 x，)上递 增；所以 x1 是函数( )f x极大值点， 综上所述 9 2 a （3）由（2）知当 9 2 a 时，函数( )f x在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增， 故函数( )f x至多有两个零点， 欲使( )f x有两个零

34、点， 需(1)10fa ， 得1a ， 此时 32 ( )3ln23ln2f xxxaxaxxax ， 1 ( )3ln2fa a ， 当 ae 时， 1 ( )0f a ，此时函数( )f x在(0，1)上恰有 1 个零点； 又当 x2 时， 33 ( )3ln(2)3lnf xxxax xxx ， 由（1）知 3 ( )3lnxxx 在(1，)上单调递增， 18 所以 3 ( )30f ee ，故此时函数( )f x在(1，)恰有 1 个零点； 由此可知当 ae 时，函数( )f x有两个零点 当 9 2 a 时，由（2）知( )f x在(0， 1 x)上递减，在( 1 x，1)上递增，在

35、(1， 2 x) 上递减，在( 2 x，)上递增； 而 0 1 x1，所以 3 11111 ( )3ln(2)0f xxxax x ， 此时函数( )f x也至多有两个零点 综上所述，函数( )f x的零点个数 m 的最大值为 2 第 II 卷（附加题，共 40 分） 21 【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分， 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤 A选修 42：矩阵与变换 已知矩阵 A 2 1 a b ， 若矩阵 A 属于特征值 3 的一个特征向量为 1 1 ， 求该矩阵属 于另一个特征值的特征向量 解：由题意知 211 3 111

36、 a A b ，所以 23 13 a b ，即 1 2 a b ， 所以矩阵 A 的特征多项式 2 1 2 ( )(1)4 2 1 f ， 由( )0f，解得3或1， 当1时， 220 220 xy xy ，令 x1，则 y1， 所以矩阵 A 的另一个特征值为1，对应的一个特征向量为 1 1 19 B选修 44：坐标系与参数方程 在极坐标系中， 已知直线 l：cos2 sinm（m 为实数） ， 曲线 C：2cos 4sin，当直线 l 被曲线 C 截得的弦长取得最大值时，求实数 m 的值 解：由题意知直线 l 的直角坐标方程为 x2y m 0 ， 又曲线 C 的极坐标方程2cos4sin，即

37、22cos4sin， 所以曲线 C 的直角坐标方程为 22 240xyxy， 所以曲线 C 是圆心为(1，2)的圆， 当直线 l 被曲线 C 截得的弦长最大时，得 12 2m0，解得 m5 C选修 45：不等式选讲 已知实数 x，y，z 满足21xyz，求 222 xyz的最小值 解：由柯西不等式有 2222222 (112 )()(2 )1xyzxyz， 所以 222 1 6 xyz(当且仅当 112 xyz 即 1 6 xy， 1 3 z 时取等号)， 所以 222 xyz的最小值是 1 6 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过

38、程 或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 如图，抛物线 C： 2 2ypx(p0)的焦点为 F，过点 P(2，0)作直线 l 与抛物线交于 A， B 两点，当直线 l 与 x 轴垂直时 AB 的长为4 2 （1）求抛物线的方程； （2）若APF 与BPO 的面积相等，求直线 l 的方程 解： （1）当直线 l 与 x 轴垂直时 AB 的长为4 2，又 P(2，0)，取 A(2，2 2)， 所以 2 (2 2)22p，解得2p ，所以抛物线的方程为 2 4yx （2）由题意知 11 22 APFAA SFP yy ， 1 2 BPOBB SOP yy ， 因 APFBPO SS ，所以2

39、AB yy 20 当0 AB k时，直线 AB 与抛物线不存在两个交点，所以0 AB k， 故设直线 AB 的方程为2xmy，代入抛物线方程得 2 480ymy， 所以4 AB yym，8 AB y y ， 当0 A y ，0 B y 时，2 AB yy ， 2 28 B y ， 所以2 B y ， 2 1 4 B B y x ， 所以2 PB k，直线 AB 的方程为240xy， 当0 A y ，0 B y 时，同理可得直线 AB 的方程为240xy， 综上所述，直线 AB 的方程为240xy 23 （本小题满分 10 分） 若有穷数列 n a共有k项(k2)， 且 1 1a ， 1 2()

40、 1 r r ark ar ， 当1rk1时恒成立 设 12kk Taaa （1）求 2 T， 3 T； （2）求 k T 解： （1）当2k 时，1r ，由 2 1 2(12) 1 1 1 a a ，得 2 1a ， 2 0S ， 当3k 时，1r 或2，由 2 1 2(1 3) 2 1 1 a a ，得 2 2a ， 由 3 2 2(23)2 2 13 a a ，得 3 4 3 a ， 3 1 3 S （2） 因 1 2 () 1 r r ark ar ， 由累乘法得 321 12 2(1) 2(2)2() 231 r r aaakkrk aaar ， 所以 1 (1) (2)()! ( 2)( 2) 231(1)!(1)! rr r kkkrk a rk rkr ， 所以 11 1 1 ( 2) 2 rr rk aC k ， 当0r 时， 1 1a 也适合 11 1 1 ( 2) 2 rr rk aC k ， 21 所以 1122 1 ( 2)( 2)( 2) 2 kk kkkk SCCC k ， 即 001122 1 ( 2)( 2)( 2)( 2)1 2 kk kkkkk SCCCC k ， 所以 11 (1 2)11 ( 1) 22 kk k S kk