概率论与数理统计练习题附答案详解(DOC 19页).docx

1、第一章随机事件及概率练习题一、单项选择题1、设事件 A 与 B 互不相容，且P(A) 0， P(B) 0，则一定有（）（A） P(A)1P(B) ；（B）P(A|B)P(A) ；（C） P(A| B)1；（D） P(A|B)1。2、设事件 A 与 B 相互独立，且P(A) 0， P(B) 0，则（）一定成立（A） P(A|B)1 P(A)；（ B）（C） P( A) 1P(B) ；（ D）P(A|B)0；P(A|B)P(B)。3、设事件 A 与 B 满足 P(A) 0， P( B) 0，下面条件（）成立时，事件A 与 B一定独立（ A）（ C）P( AB) P( A)P(B) ；（B） P(

2、A B)P( A)P(B) ；P(A|B) P(B) ；（D） P(A|B)P(A)。4、设事件 A 和 B 有关系 BA，则下列等式中正确的是（）（ A ）（ C）P( AB) P( A) ；（B ）P(B|A) P(B)；（D）P(AB)P(A)；P(BA)P(B)P( A) 。5、设 A 与 B 是两个概率不为0 的互不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是（）（A） A与 B 互不相容；（B） A与 B 相容；（C） P(AB)P(A)P(B)；（D） P(AB)P(A)。6、设 A、B 为两个对立事件，且P(A) 0， P(B) 0，则下面关系成立的是（）（A） P( AB)P( A)

3、P( B)；（B） P( AB)P(A)P(B)；（C） P( AB )P( A) P( B) ；（D） P(AB)P(A)P(B)。7、对于任意两个事件A 与 B， P( AB) 等于（）（A） P( A)P( B)（B） P( A)P(B)P( AB) ；（C） P( A)P( AB) ；（D） P(A)P(B)P(AB) 。二、填空题1、若 AB ， AC ，P(A)=0.9， P(B C)0.8，则 P( ABC ) =_。2、设 P(A)=0.3，P( B)=0.4，P(A|B)=0.5，则 P(B|A)=_ ， P( B | AB ) =_。、已知P( A) 0.7，P(A B)

4、0.3，则 P(AB)。34、已知事件 A、 B满足 P( AB) P( AB) ，且 P( A)p ，则 P( B) =。5、一批产品，其中 10 件正品， 2 件次品，任意抽取2 次，每次抽 1 件，抽出后不再放回，则第2 次抽出第1页共18页的是次品的概率为_。6、设在 4 次独立的试验中，事件A 每次出现的概率相等，若已知事件A 至少出现 1 次的概率是 65 81 ，则 A 在 1 次试验中出现的概率为_。7、设事件 A，B 的概率分别为P(A)1 3, P( B)1 6 ，若 A 与 B 相互独立，则P( AB)_； 若 A 与 B 互不相容，则P( A B)_。8、有 10 个球

5、，其中有3 个红球和 7 个绿球，随机地分给10 个小朋友，每人1 个，则最后 3 个分到球的小朋友中恰有 1 个得到红球的概率为_。9、两射手彼此独立地向同一目标射击，设甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，则目标被击中的概率为 _ 。三、计算题1、某工厂生产的一批产品共100 个，其中有5 个次品；从这批产品中任取一半来检查，求取到的次品不多于 1 个的概率。2、某城市的电话号码为六位数，且第一位为6 或 8；求 (1) 随机抽取的一个电话号码由完全不相同的数字组成的概率；(2) 随机抽取的电话号码末位数是8 的概率。3、已知 P( A) P(B)P(C ) 1 4，P(AB)=0，

6、 P( AC )P(BC)1 16 ，求 A，B，C 至少有一个发生的概率。4、设 10 件产品中有 4件不合格品，从中任取2 件，已知所取2 件中有一件是不合格品，求另外一件也是不合格品的概率。5、一个工厂有一，二，三3 个车间生产同一个产品，每个车间的产量占总产量的45% ， 35% ，20% ，如果每个车间成品中的次品率分别为5% ，4%，2% ，从全厂产品中任意抽取1 个产品，求取出是次品的概率；从全厂产品如果抽出的1 个恰好是次品，求这个产品由一车间生产的概率。6、有两箱同类零件，第一箱装50 只 (其中一等品10 只 )，第二箱装30 只( 其中一等品18 只 )；今从两箱中任挑一

7、箱，然后从该箱中依次不放回地取零件两次，每次一只；已知第一次取到的是一等品，求第二次取到的也是一等品的概率。7、右边是一个串并联电路示意图，A 、 B、C 都B是电路中的元件，它们下方的数是它们各自独立0.70AC0.90正常工作的概率 ( 可靠性 ) ，求电路的可靠性。0.70四、证明： 若 P( B | A)P(B | A) ，则事件 A 与 B 相互独立。第二、三章随机变量及其分布练习题第2页共18页一、单项选择题1、设离散型随机变量X 的分布列为X012P0.30.30.4F ( x) 为 X 的分布函数， 则 F (1.5) = （）（A） 0；（B） 0.3；（ C） 0.6；（D

8、） 1。2. 如下四个函数中，哪一个不能作为随机变量X 的分布函数（）0,x0,（ A ）（ C）1/ 3,0x10,x0,F ( x)1/ 2,1x；（ B） F ( x)ln(1x) ,x；201,x21x0,x0,F ( x)1x2 ,0x2 ；（ D） F (x)0,x0,；1 ex, x041,x2b3、当常数 b=（）时， pkk (k(k 1,2,) 为某一离散型随机变量的概率分布1)（A） 2；（B） 1；（C）1/2；（D） 3。4、设随机变量X的分布函数为FX (x)，则随机变量的分布函数FY ( y)是（）Y2X1（A ） F ( y1) ；（B ） F ( y1) ；（

9、C） 2F ( y)1 ；（ D ） 1 F ( y)1 。222225、设随机变量X N (a ,a 2 ) ，且 YaXb N (0,1) ，则 a , b 应取（）（ A） a2, b2 ；（ B ） a2, b1 ；（ C） a1, b1 ；（ D） a1,b1 。6、设某一连续型随机变量X 的概率密度f ( x) 在区间 a, b上等于 sin x ，而在此区间外等于0，则区间 a, b为（）（A ） 0,/2；（B） 0, ；（C） / 2,0； （ D） 0,3/2。7、设随机变量 X N (,2) ，则随的增大，则 P| X| （）（ A）单调增加； （ B）单调减少；（ C）

10、保持不变； （D ）增减不定。第3页共18页8、设两个随机变量X 与 Y 相互独立且同分布，P X1PY11/ 2，P X1PY1 1/ 2，则下列式子成立的是（）（A） PXY 1/ 2；（B） P XY 1；（C） P XY01/4；（D） P XY11/ 4。9、设随机变量 X 与 Y 相互独立，它们的分布函数分别为F X ( x), FY ( y) ，则 Zmin( X ,Y ) 的分布函数为（）（A ） F Z ( z)F X ( z)（ B） FZ ( z)FY ( z) ；（C） F Z (z)min FX ( z), FY (z) ；（ D） F Z ( z)11F X ( z

11、)1FY ( z) 。二、填空题0, x1,a,1x1,1、设离散型随机变量X 的分布函数 F ( x)2a ,1x且PX21/2 ，32,ab, x2,则 a_， b_ _ _，X 的分布列为 _。abx2 , x 1,2、设随机变量 X 的分布函数 F ( x)0,x1,则 a_， b_ _， P 1 X2_，X的概率密度 f (x) =_ 。3、将一颗均匀骰子重复独立地掷10 次，设 X 表示 3 点朝上的次数，则 X _ _，X 的概率分布为_ _。4、设随机变量X 的概率密度为f ( x)4 x 3 , 0x1,则使 PXaP Xa 成立的常0,其它,数 a _ 。5、某一时期在纽约

12、股票交易所登记的全部公司股东所持有的股票利润率服从正态分布，期望值为10.2，且具有 3.2 的标准差，这些公司股东所持有的股票利润率在1517.5之间的概率为。6、设 X N ( , 2 ) ，其概率密度 f ( x)1exp( x 3)2 ，则_, _ 。24第4页共18页7、 (X, Y) 的分布律为YX12311/61/91/1821/3ab则 X 的分布律为，Y 的分布律为；PXY；当 a =_ ,b =_ 时，X 与 Y 相互独立。8、设随机变量X 与 Y 相互独立，且 X、 Y 的分布律分别为X3 21Y123P1/41/41/2P2/51/52/5则 X 与 Y 的联合分布律为

13、 _ ；Z=X+Y 的分布律为 _ 。9、设 D 由 y = 1/x , y = 0, x = 1, x = e 2 围成，(X, Y) 在 D 上服从均匀分布，则 (X, Y) 的概率密度为 _ 。10、若 X 与Y独立，而X N(1, 12),Y N( 2,22 ),则X+Y_。Y e (1)即 fY ( y)e y,y0,11、 X 与 Y 相互独立，且X U (-1, 1),0,y,0,则 X 与 Y 的联合概率密度f ( x , y)_ _ ,1,XY,Z0,XY,的分布为 _ 。三、计算题1、 3 个不同的球，随机地投入编号为1，2，3， 4 的四个盒子中，X 表示有球盒子的最小号

14、码，求X 的分布律。2、某产品表面的疵点数服从泊松分布，规定没有疵点为特等品，1 个为一等品，2 至 4 个为二等品， 4个以上为废品，经检测特等品的概率为0.4493，则试求产品的废品率。A1, x |3、设随机变量X 的概率密度为f ( x )1x 20,其它 .试求 (1) A;(2)P X| 1/2X的分布函数F(x)。(3)第5页共18页4、设某人造卫星偏离预定轨道的距离（米）服从0,4 的正态分布，观测者把偏离值超过10 米时称作“失败” ，使求 5 次独立观测中至少有 2 次“失败”的概率。5、设 X 的分布列为：X21/ 2024P1111184863求：（ 1）X 2；（2）

15、 X 1；（ 3） X 2 的分布列。6、设随机变量X1与X 2独立同分布，且已知P( Xik), ( k1, 2, 3;i1,2)1，记随机变量3Y1 max X1 , X 2 ， Y2min X1, X 2 。求（ 1） (Y1, Y2 ) 的联合分布列；（2）判断 Y1 与 Y2是否互相独立；（3） 求 P(Y1Y2 3) ， P(Y1Y2) 。7、设 (X, Y) 的概率密度为f ( x, y)x2a x y , 0 x 1, 0 y 2,0,其它,试求 (1) a ；（ 2） P XY1 ； (3)X 与 Y 是否相互独立 ?8、已知 ( X ,Y ) 的联合概率密度为f ( x,

16、y)4 x , 0 x 1, 0 y x 2 ,0,其它 ,（1）求关于 X 和 Y 的边缘概率密度f X (x),fY ( y) ；（2）判断 X 与 Y 是否相互独立；（3）求 P X1/ 2 ； PX1/ 2,Y1/2。9、设随机变量X 的概率密度为1,0x1f ( x)0,其它求函数 Y3X+1 的概率密度。第四、五章随机变量的数字特征与中心极限定理练习题一、单项选择题1、设 X B(n, p)， 且 E( X ) = 2.4,D( X ) = 1.44,则 （）（A ） n4, p0.6 ；（B ） n6, p0.4 ；（C） n8, p0.3 ；（ D） n24, p0.1 。第6

17、页共18页2、设随机变量X 与 Y 满足 E(XY )E(X)E(Y) ，则（）（A） D(XY )D(X )D(Y) ；（B） D(XY)D(X )D(Y)；（C）X 与 Y 独立；（D）X 与 Y 不独立。3、随机变量 X 服从区间 ( a, b) 上均匀分布，E( X )1, D ( X )1/ 3 ，则区间 (a,b) 为（）（ A） (0,1) ；（ B） (1,3) ；（C） (0, 2) ；（D） (0.5,1.5) 。4、设 X1 与 X 2 为两个随机变量，且D ( X1)5, D ( X 2 )8, D ( X1X 2 )10 ，则 cov( X1, X 2 ) =（）（A

18、） 3/ 2；（B）3/ 2 ；（C） 3；（D）3。5、设随机变量X 与 Y 独立同分布，记UXY,VXY ，则 U 与 V 必（）（A ）独立；（ B ）不独立；（C）不相关；（ D ）相关系数不为零。5、设 X 的概率密度 f ( x)1exp( x1)2，则 E(2X 21) （）228（A）1；（B） 6；（ C）4；（D）9。二、填空题1、设随机变量X 1, X 2, X 3 相互独立，且都服从 N (,2)，而Y (X1X2X3) 3，则Y _，1 2Y _ 。2、设随机变量 X 服从参数为的泊松分布，且 E(X-1)(X- 2) = 1，则_ 。3、设 X 与 Y 相互独立，且

19、 X U (0,2), Y U (2,4)，则 E(XY )_ _,D(XY )。4、设 X 服从均值为 1/2 的指数分布，则 P XD(X )_ 。5、若随机变量 X 服从区间 (,) 上的均匀分布，则 E(sin X ) =。446、一枚硬币连抛1000 次， 则正面向上的次数大于等于550 的概率为。7、已知 D(X)25, D(Y )36, ( X ,Y)0.4 ，则 D( XY ) =。8、设 X 与 Y 的相关系数XY0.9 ，若 ZX0.4，则 Y 与 Z 的相关系数为。9、设 E(X ) E(Y) 0,E(X 2) E(Y2)2 ，XY0.5，则 E( X Y )2 。第7页

20、共18页1, X0,10、设随机变量 X U ( 1,2)， Y0, X0,则D(Y)_。1, X0,11、 (X, Y) 的分布律为YX01211/101/207/2023/101/101/10则E(X)， E(Y)， E(XY )。三、计算及证明题1、某保险公司规定：如一年中顾客的投保事件A 发生，则赔 a 元；经统计一年中A 发生的概率为p，若公司期望得到收益的为a 10 ，则要求顾客交多少保险费?a x ,0x2,2、设 X 的概率密度为f ( x )bxc, 2x4,0, 其它.且 E(X)=2, P1 X 3= 3/4, 求（ 1） a、b、 c （2） E (eX ) 。3、设

21、( X ,Y ) 在以 (0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求 D ( XY ) 。4、设 (X, Y)f ( x, y)xy , 0x1, 0y 1,的概率密度为0, 其它,试求 XY。5、飞机在第一次飞行后必须进行检修的概率是0.4，在以后的两次飞行中，每一次飞行后其被检修的概率各增加 0.1 ，求三次飞行后修理次数的数学期望。数理统计练习题一、单项选择题1、设总体 X N(,2 ) ，未知，而2已知， ( X1 , X2 , , Xn ) 为一样本，_1nX i ， S 21n_) 2 ，则以下样本的函数为统计量的是X( X iXn i 1n1 i 11

22、n21n2XX( X i)( X iX )（A ）2； （B）2； （C）； （D）。i 1i12 nS2 n第8页共18页2、 XN(0,2 ) ， ( X1, X2, X 3, X 4) 为样本，则统计量X1X 2服从的分布为（）X 32X 42（ A） N (0,1)；（ B ）2(2)；（ C） t(2)；（D） F (2,2)。3、设随机变量 X N (0,1)，而 u满足 PXu，若PXx，则 x（）（ A） u 2 ； （B ） u2； （C） u1 2； （ D ） u。1(1) 2_1n4、设总体X的二阶矩存在， (X1,X2, X n ) 为 一 样 本 ， XX i，n

23、i 1S021 n( X iX )2 ，则 E(X 2) 的矩估计为（）n i 1（A）X；（B） S02 ；（C）nS02 ；（ D ） 1 nX i2 。n1n i 1二、填空题1、设总体 X N(,2 )，(X1, X2, , Xn)为一样本，则1 nX i ，n i1XX1n21n_2 ，( X i)，( X iX )。2S222nni1i12、设总体 XN (1,4)， ( X1, X 2 , X 3) 为样本， X 是样本均值， S2 为样本方差，则E(X)，D(X)， E(S2)。3、设总体 X N (,2 ) ， ( X1 , X2 , , Xn ) 为一样本，的分布为。4、设

24、 XN (0,4) ， ( X1 , X 2 , X3 ) 为样本，若要求 aX12， b =。5、设总体X 在 ( ,1) 上服从均匀分布，(X1, X 2,_。三、计算题1、设总体 X N(1,4) ， X1,X 2, X 3是 X 的样本，试求X 是样本均值。则 Un( X)2 服从b( X 2X 3 )2 2 (2) ，则 a =, X n ) 为一样本，则的矩估计为_E(X12X22X 32),D(X1X2X3)。第9页共18页2、设总体 X 服从方差为4 的正态分布，( X 1 , X 2 , X n ) 是一样本，求 n 使样本均值与总体均值之差的绝对值不超过0.1 的概率不小于

25、0.95。_1n3、设总体 X N (4,4)，(X 1,X 2, X 10 ) 为 X 的简单随机样本， XX i为样本均值，n i 11n_S2( X iX ) 2 为样本方差，n1 i 1（1）求 PS2.908 ；（ 2）若 S2.5，求 P X6.569 。f ( x , )x 1 , 0x 1, xn ) 为一样本， 试求4、设总体 X 的概率密度( x1 , x 2 ,的0,其它.矩估计。一章练习题参考解答一、单项选择题1、（ D）。2、（A ）。3、（ B）。4、（ B）。5、（D）。 6、（ A）。7、（C）。二、填空题1、 _0.7_2、 2/3 ,0.83、0.64、1-

26、p5、1/66、1/37、 13/18； 1/2。8、 C31C72C1032140 。9、0.94 。三、计算题1、解： PC9550C51C95491739C10050。96032、解： 令 A=抽取的电话号码由完全不相同的数字组成 ，B=抽取的电话号码末位数是8 ，则P( A)2A952104。21052105， P(B)3、解：P( ABC )P(A)P(B)P(C )P( AB)P(BC )P(AC) P(ABC) 5/ 84、解： 令 A= 2 件中有1 件为次品 ， B= 另一件也为次品，欲求 P(B| A)，而 P( AB)C42，P(A)1P(A) 1C62P( AB) 1C

27、102C102，故 P(B|A)。P(A)55、解： 设 A= 任取一件产品为次品 ， Bi = 任取一件产品是第i 个车间生产的 ， i =1,2,3，则A B1AB2AB3 A ，且 B1 A, B2 A, B3 A 两两互不相容；已知 P(B1)0.45, P( B2 )0.35, P(B3 )0.20 ，第10页共18页P(A|B1)0.05, P( A | B2 )0.04, P( A | B3)0.02 ； P( A) P(B1 )P( A | B1)P(B2 )P( A | B2 )P(B3 )P( A | B3 )0.0405 ； P(B1 |A)P(B1A) P(B1)P(A

28、|B1) 5P( A)P(A)。96、解： 设 Ai = 第 i 次取到一等品 ， Bi= 取到第 i 号箱 ， i =1, 2,A1B1 A1B2 A1, 且 B1 A1, B2A1两两互不相容，从而P( A1) P( B1)P(A1 | B1) P( B2 )P( A1 | B2)1101182250230；5A1 A2B1A1A2B2 A1A2, 且 B1A1A2 ,B2 A1A2两两互不相容，从而P( A1A2 ) P(B1 )P( A1 A2 | B1) P( B2)P(A1 A2 | B2)1A1021A1822762A5022A302；1421所求为 P(A2 |A1)P(A1 A2 )6900.4856P( A1)14217、解： 以 A、B、C 分别表