高中数学求函数解析式解题方法大全与配套练习(DOC 23页).doc
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1、高中数学求函数解析式解题方法大全及配套练习一、 定义法:根据函数的定义求解析式用定义法。【例1】设,求. =【例2】设,求.解:设【例3】设,求.解:又故【例4】设.解:.二、 待定系数法:(主要用于二次函数)已知函数解析式的类型,可设其解析式的形式,根据已知条件建立关于待定系数的方程,从而求出函数解析式。它适用于已知所求函数类型(如一次函数,二次函数,正、反例函数等)及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法:已知所求函数类型,可预先设出所求函数的解析式,再根据题意列出方程组求出系数。【例1】 设是一次函数,且,求【解析】设 ,则 【例2】已知二次函数f(x)满足f(0)=0,f(x+1)=
2、f(x)+2x+8,求f(x)的解析式.解:设二次函数f(x)= ax2+bx+c,则 f(0)= c= 0 f(x+1)= a+b(x+1)= ax2+(2a+b)x+a+b 由f(x+1)= f(x)+2x+8 与、 得 解得 故f(x)= x2+7x.【例3】已知,求.解:显然,是一个一元二次函数。设则 又比较系数得: 解得:三、换元(或代换)法:已知复合函数的表达式时,还可以用换元法求的解析式用来处理不知道所求函数的类型,且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。使用换元法时要注意新元定义域的变化,最后结果要注明所求函数的定义域。如:已知复合函数f g(x)的解析式,求原函数f(x)的解
3、析式, 把g(x)看成一个整体t,进行换元,从而求出f(x)的方法。实施换元后,应注意新变量的取值围,即为函数的定义域.【例1】 已知,求【解析】令,则, 【例2】 已知求.解:设则则【例3】设,求.解:令又【例4】若 (1)在(1)式中以代替得即 (2)又以代替(1)式中的得: (3)【例5】设,求。解: (1)用来代替,得 (2)由【例6】已知,求.解:设,则 即代入已知等式中,得:四、代入法:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法【例1】已知:函数的图象关于点对称,求的解析式解:设为上任一点,且为关于点的对称点 则 ,解得: ,点在上 , 把代入得:整理得, (五)配凑
4、法已知复合函数的表达式,求的解析式,的表达式容易配成的运算形式时,常用配凑法但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域,而是的值域【例1】:已知求的解析式。分析:可配凑成 可用配凑法解:由 令 则 即当然,上例也可直接使用换元法令则得即 由此可知,求函数解析式时,可以用配凑法来解决的,有些也可直接用换元法来求解。【例2】:已知求.分析:此题直接用换元法比较繁锁,而且不易求出来,但用配凑法比较方便。解析:由 令 由即得 即:实质上,配凑法也缊含换元的思想,只是不是首先换元,而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的函数来表示出来,在通过整体换元。和换元法一样,最后结果要注明定义域。(六)构造方程
5、组法(消去法)。若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式构造方程组法适用的围是:题高条件中,有若干复合函数与原函数混合运算,则要充分利用变量代换,然后联立方程组消去其余部分。【例3】:设满足求的解析式。分析:要求可消去,为此,可根据题中的条件再找一个关于与的等式,通过解方程组达到消元的目的。解析: 显然,,将换成得 .由消去,得小结:函数方程组法适用于自变量的对称规律。互为倒数,如f(x)、;互为相反数,如f(x)、f(-x),通过对称代换构造一个对称方程组,解方程组即得f(x)的解析式。【例4】已知,求.解:设,则 即代入已知等式中,得:
6、小结:消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数,如f(x)、;互为相反数,如f(x)、f(-x),通过对称代换构造一个对称方程组,解方程组即得f(x)的解析式。【例5】设为偶函数,为奇函数,又试求的解析式【解析】为偶函数,为奇函数, 又 ,用替换得: 即 解 联立的方程组,得 , 七、特殊值法:(赋值类求抽象函数)当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式【例1】:设是定义在N上的函数,满足,对于任意正整数,均有,求.解:由,设得:即:在上式中,分别用代替,然后各式相加可得:【例2】设是定义在R上的函数,且满足f(0)
7、=1,并且对任意的实数x,y,有f(xy)= f(x) y(2xy+1),求f(x)函数解析式.分析:要f(0)=1,x,y是任意的实数及f(xy)= f(x) y(2xy+1),得到f(x)函数解析式,只有令x = y.解: 令x = y ,由f(xy)= f(x) y(2xy+1) 得f(0)= f(x) x(2xx+1),整理得 f(x)= x2+x+1.八利用给定的特性求解析式.【例1】设是偶函数,当x0时, ,求当x0时,的表达式.练习对xR, 满足,且当x1,0时, 求当x9,10时的表达式.九、累加法:累加法核心思想与求数列的通项公式相似。【例1】:若,且当,求.解:递推得:以上
8、个等式两边分别相加,得:十、归纳法:【例1】:已知,求.解:,依此类推,得再用数学归纳法证明之。【例2】:设,记,求.十一、递推法:若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。【例1】 设是定义在上的函数,满足,对任意的自然数 都有,求【解析】,不妨令,得:,又 分别令式中的 得: 将上述各式相加得:, 十二、对称性法即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式,求另一区间上的解析式.【例1】 已知是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=2xx2,求f(x)函数解析式.解:y=f(x)是定义在R上的奇函数, y=f(x)的
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