点差法-讲义及练习(DOC 15页).docx

1、点差法的应用-教师版一.综述(一)圆锥曲线问题中,与弦中点有关的问题可以考虑用点差法.即:设弦的端点坐标，并代入圆锥曲线的方程,并作差.利用中点坐标公式与斜率公式得到一个等式,进而处理问题.利用点差法可以减少很多的计算，所以在解有关的问题时用这种方法比较好(二)注意:点差法在求出直线方程以后，必须将直线方程和圆锥曲线方程联立得到一个关于x（或y）的一元二次方程，判断该方程的和0的关系.只有0，直线才是存在的.(三) 点差法常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线、定值问题二.例题精讲 破解规律例1. 已知椭圆（）的离心率，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直

2、线与椭圆交于,两点，当是中点时，求直线方程分析：（1）由离心率得到a,b的比值,由比例设出椭圆方程,在代入点,得到方程.（2）设， ，由点差法求得直线的斜率，即可得到直线方程答案:（1）；（2）.解析：（1由得,设椭圆的方程为,将点代入解得,故椭圆方程为（2）设， .则， ，又，.直线方程为即.经验证直线符合要求.点评:本题考查椭圆方程的求法,第二问已知弦中点,求弦方程,一般可以考虑用点差法.规律总结: 与弦中点有关的问题可以考虑用点差法.即:设弦的端点坐标，并代入圆锥曲线的方程,并作差.利用中点坐标公式与斜率公式得到一个等式,进而处理问题现学现用1: 直线交椭圆于两点，若线段中点的横坐标为1

3、，则（ ）A. -2 B. -1 C. 1 D. 2答案:A解析:,.设， ，两式相减，由于中点的横坐标为1,则纵坐标为,将代入直线，解得例2. 已知椭圆的离心率为，点在上（1）求的方程（2）直线不过原点且不平行于坐标轴， 与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.分析：（）由求得,由此可得C的方程.（II）点差法处理弦中点问题答案:(1) （2）解析：（）由题意有解得,所以椭圆C的方程为.（）设,把坐标带入椭圆方程得做差得:即: ,整理得,即,所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.点评：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力.规律总结:若线

4、段AB是椭圆(或双曲线)的弦,AB中点为M,则,其中e为离心率,且均存在.现学现用2: 已知双曲线上有不共线的三点，且的中点分别为，若的斜率之和为-2，则 （ ）A. -4 B. C. 4 D. 6解析: 设，则， ，两式相减，得，即，即，同理，得，所以；故选A.例3: 已知椭圆： 经过点，且离心率为（I）求椭圆的方程；（II）若一组斜率为的平行线，当它们与椭圆相交时，证明：这组平行线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上分析：()由经过点，可得，根据离心率为，结合可得，从而可得椭圆的方程；() 利用点差法找出中点坐标满足的关系式答案:() ()见解析解析：()由已知可得， ， 又，可得， ，

5、所以椭圆的方程为 () 证明：设直线与椭圆的两个交点坐标分别为 ， ，它们的中点坐标为由两式相减可得， ，由已知，所以，故直线被椭圆截得的线段的中点都在直线上.点评: 第二问求中点轨迹方程.利用点差法,，做差结合， , ,化简可得,所以这组平行线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上.规律总结:牵涉到弦中点轨迹方程,垂直平分线问题可以考虑使用点差结合中点坐标公式来处理现学现用3: 已知椭圆的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于两点，如果的重心恰好为椭圆的右焦点，直线方程为_解析:易知,又，解得.椭圆的方程为.椭圆右焦点的坐标为,设线段的中点为,由三角形重心的性质知，从而,解得,所以点Q的坐标为.设，

6、则，且,以上两式相减得,故直线的方程为，即.答案: 三.课堂练习 强化技巧1. 椭圆x2+2y2=4的以1,1为中点的弦所在直线的方程是（ ）A. x-4y+3=0 B. x+4y-5=0 C. x-2y+1=0 D. x+2y-3=0答案:D解析:设直线与椭圆交于Ax1,y1,Bx2,y2，则x12+2y12=4x22+2y22=4，两式相减得x1+x2x1-x2+2y1+y2y1-y2=0，因为弦的中点坐标1,1，所以x1+x2=2,y1+y2=2 ，代入得到x1-x2+2y1-y2=0 ，所以y1-y2x1-x2=-12，即斜率k=-12 ，且过点1,1，所以直线方程是y-1=-12x-

7、1 ，化简为x+2y-3=0，故选D.2. 过点M(1,1)作斜率为-13的直线l与椭圆C：x2a2+y2b2=1 (ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为_答案:63解析:设A（x1,y1),B（x2,y2)，由题得b2x12+a2y12=a2b2b2x22+a2y22=a2b2b2(x1+x2)(x1-x2)+a2(y1+y2)(y1-y2)=02b2(x1-x2)+2a2(y1-y2)=0b2(x1-x2)=-a2(y1-y2)b2a2=-y1-y2x1-x2=13a2=3b2a2=3(a2-c2)2a2=3c2e=63.故填63.3. 过点的直线与中心在原点

8、，焦点在轴上且离心率为的椭圆相交于、两点，直线过线段的中点，同时椭圆上存在一点与右焦点关于直线对称（1）求直线的方程；（2）求椭圆的方程答案:(1) ;(2) .解析：（1）由，得，从而设椭圆方程为 在椭圆上，则两式相减得， 设的中点为则又在直线上， ，于是，则直线的方程为. （2）右焦点关于直线的对称点设为则解得 由点在椭圆上，得， 所求椭圆的方程的方程为. 四.课后作业 巩固内化1. 若双曲线的中心为原点， 是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于， 两点，且的中点为则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 答案:B解析:由题意设该双曲线的标准方程为， ，则且，则，即，则，即，则，所以，

9、即该双曲线的方程为.故选B.2. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 （ ）A. B. C. D. 答案:D解析:由题意设该双曲线方程为，且， ， 的中点为，则且，则，即，联立，得，即该双曲线方程为；故选D.3. 已知椭圆1(ab0)的右焦点为F，过点F的直线与椭圆交于点A、B，若AB中点为(1， )，且直线AB的倾斜角为45，则椭圆方程为()A. 1 B. 1 C. 1 D. 1答案:C解析:，c，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1， 1，a2，b2.故选：C4. 已知,若在斜率为的直线上存在不同的两点，满足：

10、 且线段的中点为，则的值为( )A. B. C. D. 答案:D解析:根据条件可知点在以为焦点的双曲线上， ，那么，双曲线方程是，那么设，所以 ，两式相减得 ，两边同时除以 ，可得，解得，故选D.5. 已知中心在原点的椭圆C的右焦点为(1,0)，一个顶点为(0,3)，若在此椭圆上存在不同两点关于直线y=2x+m对称，则m的取值范围是A. （-153,153） B. （-21313,21313） C. （-12,12） D. （-1513,1513）答案:C解析:由题意得c=1,b=3a=2,x24+y23=1 设A,B为椭圆上两点关于直线y=2x+m对称，则由点差法得AB中点M满足x4-12y

11、3=0 ，又中点M满足y=2x+m解得M(-2m,-3m) ，又M在椭圆内部，所以4m24+9m231m(-12,12)，选C6. 设A、B是椭圆上的两点，点是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.确定的取值范围，并求直线AB的方程.解：（1）点在椭圆内，即12.的取值范围是.由得，焦点在y轴上.若直线AB的斜率不存在，则直线AB轴，根据椭圆的对称性，线段AB的中点N在x轴上，不合题意，故直线AB的斜率存在.由得：，.所求直线AB的方程为，即.从而线段AB的垂直平分线CD的方程为，即.7. 已知双曲线的渐近线方程为: ，右顶点为.（）求双曲线的方程；（）已知直线与双曲线交

12、于不同的两点，且线段的中点为，当时，求的值。答案:（1）；（2）3.解析:（1）因为双曲线的渐近线方程为: ，所以 ，又右顶点为，所以，即 （2）直线与双曲线联立方程组消y得 的值为8. 椭圆（0）的右焦点为，过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P为线段AB的中点.求点P的轨迹H的方程；答案: 解：设点P的坐标为，由点差法得,故：，整理，得：.点P的轨迹H的方程为.9. 在直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点P和Q.（1）求的取值范围；（2）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求的取值范围；如果不存在，请说

13、明理由.解析:（1）直线的方程为由得：直线与椭圆有两个不同的交点，0.解之得：或.的取值范围是.（2）在椭圆中，焦点在轴上，设弦PQ的中点为，则由平行四边形法则可知：与共线，与共线.，从而由得：，由（1）可知时，直线与椭圆没有两个公共点，不存在符合题意的常数.10. 椭圆C的中心在原点，并以双曲线的焦点为焦点，且离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C相交于A、B两点，使A、B两点关于直线对称，求的值. 解析:（1）在双曲线中，又,所以从而所求椭圆C的方程为.（2）设弦AB的中点为，则点P是直线与的交点，且直线. .由得：，.由得：.由、得：.又，即.在中，当时，即直线经过定点.而定点在椭圆的内部，故直线与椭圆一定相交于两个不同的交点.的值为.13