（数学）河南省南阳市2019-2020学年高二下学期期中质量评估（理）.doc

1、 参考答案 一、选择题 1-6 BACBCC 7-12 DDABDA 二、填空题 13. 2 14. -6 15. )10, 0( 16. 2 136 (364 也对） 三、解答题 17 证明：(1)由 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca 得 a2b2c2abbcca. 由题设得(abc)21， 即 a2b2c22ab2bc2ca1， 所以 3(abbcca)1，即 abbcca1 3.-5 分 （2）因为 abc1， 所以 1(abc)2a2b2c22ab2bc2ac， 因为 2aba2b2, 2bcb2c2, 2aca2c2， 所以 2ab2bc2ac2(a2b2c2)， 所以

2、 1a2b2c22(a2b2c2)，即 a2b2c21 3.-10 分 18.解 (1)因为函数 f(x)的定义域为(0，)，且 f(x)1ln x x2 ，-2 分 由 f(x)0， x0， 得 0xe； 由 f(x)0， x0， 得 xe. 所以函数 f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，) 所以，无极小值有极大值, 1 1 )()( e efxf-5 分 (2)当 2me， m0， 即 0me 2时，函数 f(x)在区间m,2m上单调递增， 所以 f(x)maxf(2m)ln(2m) 2m 1；-7 分 当 me2m，即e 2me 时，函数 f(x)在区间(m，e)上单

3、调递增，在(e,2m)上单调递 减， 所以 f(x)maxf(e)ln e e 11 e1；-9 分 当 me 时，函数 f(x)在区间m,2m上单调递减， 所以 f(x)maxf(m)ln m m 1. -11 分 综上所述，当 0me 2时，f(x)max ln(2m) 2m 1； 当e 2me 时，f(x)max 1 e1； 当 me 时，f(x)maxln m m 1.-12 分 19证明： （1） 222 2(cossin )cos2 cossinsincos2sin2niii当时， 所以，2n时，等式成立。-3 分 （2）假设当kn2)k（时，等式成立，即kiki k sincos

4、sincos）（。 -5 分 那么，当1kn时， 1 cossincossincossin(cossin) cossin kk iiikiki （）（） （）（） -7 分 2 coscossincossincossinsin (coscossinsin )(sincossincos ) cos(1)sin(1) kikikik kkikk kik 所以：当时，1 kn等式也成立。 -10 分 综上可知，要证明的等式nini n sincossincos）（，当2n时成立。-12 分 20.解： （1）设交于点，过作，垂足为， 在中， ，2 分 在中， ，4 分 所以 ， 5 分 （2）要使侧

5、面积最大，由（1）得： AOBCDOOEABE AOE10cosAE 220cosABAE ABD sin20cossinBDAB 1 220sin cos20cos 2 S 2 400 sin cos(0) 2 23 400 sin cos400 (sinsin)S E D 设 6 分 则，由得： 当时，当时， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，8 分 所以在时取得极大值，也是最大值； 所以当时，侧面积取得最大值， 10 分 此时等腰三角形的腰长 答：侧面积取得最大值时，等腰三角形的腰的长度为12 21解： （1） 2 (21)2 ( ) ex axax fx ，(0)2 f 因此曲线

6、( )yf x在点(0, 1)处的切线方程是210xy -4 分 （2）方法一：当1a 时， 21 ( )e(1 e)e xx f xxx 令 12 1)( x exxxg，则 1 12)( x exxg-8 分 当1x 时，( )0g x，( )g x单调递减；当1x 时，( )0g x，( )g x单调递增； 所以( )g x( 1)=0g因此( )e0f x -12 分 方法二：由(1)知: 2 (21)2 ( ) ex axax fx = x e xax)2)(1( 因 为1a， 所 以1 1 0 a ， 所 以0 1 1 a 。 令2 1 , 0)(x a xxf或 -6 分 所以)

7、(xf在，和 2) 1 ,( a 上单调递减，在)2 , 1 ( a 上单调递增。 当2x时，0, 01 2 x exax，所以0)(, 0)(exfxf即 当2x时，)(xf在) 1 ,( a 上单调递减，在)2 , 1 ( a 上单调递增。 所以 a e a fxf 1 min ) 1 ()(。-8 分 3 ( ),(01)f xxxx 2 ( )1 3fxx 2 ( )1 30fxx 3 3 x 3 (0,) 3 x( )0fx 3 (,1) 3 x( )0fx ( )f x 3 (0,) 3 3 (,1) 3 ( )f x 3 3 x 3 sin 3 S 22 320 6 20cos2

8、0 1 sin20 1 () 33 AB SAB 20 6 cm 3 要证即可即证：0, 0)( 1 a eeexf-9 分 令) 1( ,)( 1 aeeah a ，所以上恒成立，在10)( 2 1 a e ah a -10 分 所以)(ah在, 1上单调递增。 , 0) 1 ()( min hah所以上恒成立，在10 1 a ee 故综上所述，当0)(1exfa时，-12 分 22解：（1） x x x xF 1 1 1 1 )(.当, 0x时，0)( x F，当0 , 1x时， 0)( x F 所以0)0()( max FxF-4 分 (2)根据题意 , 1 , 1 1 )( m x m

9、x m mxmx xG 令0)( x G， 解得0 1 x， 或 m mx 1 2 因为10m， 所以0 1 m m， 且 m m m 11 所以当 , 0 1 , 1 m m m x时，0)( x G 当 0 1 ， m mx时，0)( x G 所以)(xG在 , 0 1 , 1 ， m m m 上单调递增，在 0 1 ， m m上单调递减-7 分 因为0)0(G，所以)(xG在 ， m m 1 上有且只有 1 个零点-8 分 又)(xG在 0 1 ， m m上单调递减，所以0)0() 1 (G m mG -9 分 当 m m m x 1 , 1 时，mx m x1ln, 1 ，所以)(xG， 又函数)(xG在 m m m x 1 , 1 上单调递增 所以 0 1 , 1 00 xG m m m x， -11 分 故当10m时，函数)()()(xgxfxG有2个零点-12 分