高中数学直接证明与间接证明公开课课件.ppt
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1、2.22.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明2.2.1 2.2.1 综合法和分析法综合法和分析法推理推理合情推理合情推理归纳归纳(特殊特殊到到一般一般)类比类比(特殊特殊到到特殊特殊)演绎推理演绎推理三段论三段论(一般一般到到特殊特殊)复习复习 合情推理的结论不一定正确,有待证明;演绎推理得到的结论一定正确.回顾基本不等式:回顾基本不等式:(a0,b0)(a0,b0)的证明过程:的证明过程:a a+b ba a b b2 2证明证明:因为因为;所以所以所以所以所以所以 成立成立()b 20a a 20a a+b ba ab b 2a a+b ba ab b a a+b ba ab b2 2
2、证明证明:要证要证;只需证只需证;只需证只需证;只需证只需证;因为因为;成立成立所以所以 成立成立 a a+b ba ab b2 2 2a a+b ba ab b 20a a+b ba ab b()b 20a a()b 20a aa a+b ba ab b2 2利用已知条件和某些数学定义、公理、利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等定理等,经过一系列的推理论证经过一系列的推理论证,最后推最后推导出所要证明的结论成立导出所要证明的结论成立,这种证明方这种证明方法叫做法叫做综合法综合法用用P P表示已知条件、已有的定义、公理、表示已知条件、已有的定义、公理、定理等定理等,Q,Q表示所要证明的结论
3、表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为则综合法用框图表示为:1 1P PQ Q1 12 2Q QQ Q2 23 3Q QQ Qn nQ QQ Q特点:“执因索果”综合法又叫由因导果法或顺推证法综合法又叫由因导果法或顺推证法.一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求推证过程中,使每一步结论成立的充分条件,推证过程中,使每一步结论成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明的方法叫做等)为止,这种证明的方法叫做分析法
4、分析法 特点:特点:执果索因执果索因.用框图表示分析法的思考过程、特点用框图表示分析法的思考过程、特点.1 1QPQP2323PPPP1212PPPP得到一个明显得到一个明显成立的结论成立的结论分析法又叫执果索因法或叫逆推证法分析法又叫执果索因法或叫逆推证法例例1:已知:已知a0,b0,求证求证a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc因为因为b2+c2 2bc,a0所以所以a(b2+c2)2abc.又因为又因为c2+b2 2bc,b0所以所以b(c2+a2)2abc.因此因此a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc.证明证明:例例2 2:在:在中,三个内角、对应的边分中,三个内角、对应的边
5、分别为别为a a、b b、c c,且、成等差数列,且、成等差数列,a a、b b、c c成成等比数列,求证等比数列,求证为等边三角形为等边三角形证明:由证明:由A,B,C成等差数列,有成等差数列,有2B=A+C,-因为因为A,B,C是三角形的内角,所以是三角形的内角,所以A+B+C=180o,-所以所以B=60o。-由由a,b,c成等比数列,有成等比数列,有b2=ac,-则则b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac,再有得再有得a2+c2-ac=ac,即,即(a-c)2=0 因此因此a=c。从而有。从而有A=C-则由则由 得得A=B=C=60o。所以三角形所以三角形ABC是等边三角形
6、。是等边三角形。.1.PABCOABPAPBPCPOABC已知点 是直角三角形所在平面外的一点,是斜边的中点,并且,求证:平面例.1809090.OCOPABRt ABCOABOA OB OCPA PB PCPOAPOBPOCPOAPOBPOCPOAPOBPOAPOBPOCPOOA POOCAOOC OPOABC连接,如图所示,因为是的斜边,是的中点,所以又因为,所以,所以因为,所以,所以即,且,所以平面证明:2221.131.abcabcabc 已知,为正实数,求证:素材:222222222222222222222211(3331)331333()31(333222)31()()()0.31
7、.13abcabcabcabcabcabcabacbcabbccaabc 方法:所 证以明:2221.131.abcabcabc 已知,为正实数,求证:素材:22222222222222222222()2223()()11.23abcabcabacbcabcabacbcabcabcabc因为 ,所以 ,所以 方法:2221.131.abcabcabc 已知,为正实数,求证:素材:222222222222222111.13330.111()()()3331211().3333.313abcabcabcabc设 ,因为 ,所以 所以 所以 方法:2221.131.abcabcabc 已知,为正实数
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