椭圆的几何性质及综合问题汇总.docx
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1、椭圆的几何性质及综合问题汇总椭圆的几何性质一、概念及性质1. 椭圆的“范围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率及范围、a,b,c 的关系”;2. 椭圆的通经:3. 椭圆的焦点三角形的概念及面积公式:4. 椭圆的焦半径的概念及公式:主要用来求离心率的取值范围,对于此问题也可以用下列性质求41解: a - c PF1 a + c .5. 直线与椭圆的位置关系:6. 椭圆的中点弦问题:【注】:椭圆的几何性质是高考的热点,高考中多以小题出现,试题难度一般较大,高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度:(1) 根据椭圆的性质求参数的值或范围; (2)由性质写椭圆的标准方程;(3)求离心率的值或范围题
2、型一:根据椭圆的性质求标准方程、参数的值或范围、离心率的值或范围.【典例 1】求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)经过点P(-3,0), Q(0,-2) ;(2)长轴长等于 20,离心率等于3 .5+=【典例 2】求椭圆的长轴和短轴长、16x 225 y 2400离心率、焦点坐标和顶点坐标.【典例 3】已知 A,P,Q 为椭圆 C:x 2a 2+ y 2b 2= 1(a b 0)上三点,若直线 PQ 过原点,且直线 AP,AQ的斜率之积为- 1 ,则椭圆 C 的离心率为()2A. 22B. 1C.224D. 14【练习】(1)已知椭圆x2y21(ab0)的一个焦a2b2点是圆 x2y26x8
3、0 的圆心,且短轴长为 8, 则椭圆的左顶点为()A(3,0)B(4,0)C(10, 0)D(5,0)(2x2y249)椭圆4k1 的离心率为5,则 k 的值为()25A 21B 21C 19 或 2119D25或 21(3)设椭圆 C:x2y21(ab0)的左,右焦点a2为 F ,F ,过 Fb2作 x 轴的垂线与 C 相交于 A,122B 两点,F1B 与 y 轴相交于点 D,若 ADF1B,则椭圆 C 的离心率等于 x2y2【典例 4】已知 F ,F 为椭圆1(ab12a2b20) 的左,右焦点, P为椭圆上任意一点,且,则该椭圆的离心率的取值范围是PF = 5 PF12练习:如图,把椭
4、圆x 2 + y 22516= 1的长轴 AB 分成 8 等份,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分与 P1,P2,P7 七个点,F 是椭圆的一个焦点,则=PF + PF +L + PF127【典例 5】若 “过椭圆x2y21(ab0)的左,a2b2FFll右焦点,的两条互相垂直的直线, 的交1212点在椭圆的内部”,求离心率的取值范围【典例 6x2y21,点 M 与 C】已知椭圆 C: 9 4 的焦点不重合若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|BN| 【方法归纳】:1. 在利用椭圆的性质求解椭圆的标准方程时,总体原则是“先定位,再定量”
5、.2. 求解与椭圆几何性质有关的问题时,其原则是“数形结合,定义优先,几何性质简化”, 一定要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系,充分利用平面几何的性质及有关重要结论来探寻参数 a,b,c 之间的关系,以减少运算量3. 在求解有关圆锥曲线焦点问题时,结合图形,注意动点到两焦点距离的转化4. 求椭圆的离心率或其范围时,一般是依据题设得出一个关于 a,b,c 的等式(或不等式), 利用 a2b2c2 消去 b,即可求得离心率或离心率的范围;有时也可利用正弦、余弦的有界性求解离心率的范围5. 在探寻 a,b,c 的关系时,若能充分考虑平面几何的性
6、质,则可使问题简化,如典例 5.【本节练习】1已知椭圆的长轴长是 83,离心率是4,则此椭圆的标准方程是()x2y2x2y2x2y2x2A16 7 1B16 7 1 或7 161C16y2x2y2x2y2251D16251 或251612.x2y21设 e 是椭圆 4 k 1 的离心率,且 e(2,1),则实数 k 的取值范围是()A(0,3)B(316)C(0,3) 16, 3)D(0,2)( 3 ,3. 已知椭圆短轴上的两个顶点分别为 B ,B ,焦12点为 F ,F ,若四边形 B F B F是正方形,则121122这个椭圆的离心率 e 等于()A 2B1C 3D 322234. x2y
7、2如图,焦点在 x 轴上的椭圆4b211的离心率 e2,F,A 分别是椭圆的一个焦点和顶点, P是椭圆上任意一点,则PFPA的最大值为 5. 已知椭圆 C:x 2a 2+ y 2 b 2= 1(a b 0) 的左、右焦点为F , F ,12离心率为3 ,过 F32的直线 l 交 C 于 A,B 两点,14 3若AF B 的周长为,则 C 的方程为()A. x 2 + y 2 = 1 32B. x 23+ y 2 = 1C. x 2 + y 2 = 1 128D. x 2 + y 2 = 1 1246. 已知 F 、F 是椭圆 x2 y2 1 的两个焦点,P1210064是椭圆上一点,且 PF1
8、PF2,则F1PF2 的面积为 E7. 设是椭圆: x 2F , F+ y 2= 1(a b 0) 的左、右焦点,12a 2b 2P 为直线x = 3a 上一点, DF PF 是底角为 300 的等腰221三角形,则 E 的离心率为()A. 1B. 2C. 3D. 423458. 过椭圆 x 2a 2+ y 2 b 2= 1(a b 0) 的左焦点 F作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2为右焦点,若1F PF12= 600,则椭圆的离心率为()A. 5B. 3C. 1D. 123239. 已知椭圆 x 2+ y 2= 1(a b 0) 的左焦点为 F,右顶点a 2b 2为 A,上顶点为 B,若
9、BF BA ,则称其为“优美椭圆”,那么“优美椭圆”的离心率为10. 已知F 为椭圆的左焦点,A,B 分别为椭圆的1右顶点和上顶点,P 为椭圆上的点,当PF1 F A ,1POAB(O 为椭圆中心)时,椭圆的离心率为11. 已知方程x2y21 表示焦点在 y 轴上2k2k1的椭圆,则实数 k 的取值范围是()A11(2,2)B(1,)C(1,2)D(2,1)12. 矩形 ABCD 中,|AB|4,|BC|3,则以A, B 为焦点,且过 C,D 两点的椭圆的短轴的长为 ()A23B26C42D4313. 一个椭圆中心在原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,P(2, 3)是椭圆上一点,且|PF1|
10、,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为( )x2y2x2y2x2A 8 6 1B16 6 1C 8 y2x2y24 1D16 4 114.如图,已知抛物线 y22px(p0)的焦点恰好是椭圆x2y21(ab0)的右焦a2b2点 F,且这两条曲线交点的连线过点 F,则该椭圆的离心率为 =15. 已知抛物线x 2y4与椭圆 x 2 + y 2 = 1(a 0)a 218在第一象限相交于 A 点,F 为抛物线的焦点,ABy 轴于B 点,当BAF=300 时,a=16. 设 F ,F 分别是椭圆x2 y2 1 的左、右焦122516点,P 为椭圆上任一点,点 M 的坐标为(6,4), 则|
11、PM|PF1|的最大值为 17椭圆x2y236 9 1 上有两个动点 P、Q,E(3,0),EPEQ,则EPQP的最小值为() A6B3 3C9D126318. 椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距离是 3,则这个椭圆方程为 19. 若一个椭圆长轴的长度,短轴的长度和焦距依次成等差数列, 则该椭圆的离心率是 20. 已知圆锥曲线 mx24y24m 的离心率 e 为方程 2x25x20 的根,则满足条件的圆锥曲线的个数为( )A4B3C2D114. 椭圆G : x2 + y2 = 1(a b 0)的左右焦点分别为 F , F ,焦=a2b212
12、距为,若直线2cy3(x + c)与椭圆的一个交点满足MF F= 2MF F ,则该椭圆的离心率等于 1 22 1设 F (c, 0), F (c, 0)是椭圆 x 2+ y 2= 1 (ab0)12a 2b 2的两个焦点,P 是以|F F |为直径的圆与椭圆12的一个交点,且PF F =5PF F ,则该椭圆的离心率为1221(A) 1(B)3(C)2(D)23223 6若椭圆 x2 + y2 = 1 的焦点在 x 轴上,过点( 1, 1 )作a2b22圆x2 +y2 =1的切线,切点分别为 A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是21.已知椭圆x2y21(ab0)的右焦点
13、为 F1,a2b2左焦点为 F2,若椭圆上存在一点 P,满足线段PF1 相切于以椭圆的短轴为直径的圆,切点为线段 PF1 的中点,则该椭圆的离心率为( )A 5B2C 2D522. 已知3A, P,Q329为椭圆C : x2 + y2 = 1(a b 0) 上三点,若直线过原点,且直线PQa2AP, AQb2的斜率之积为1 ,则椭-2圆 的离心率等于()CA 2B 1C 2224D 14题型二:直线与椭圆的位置关系的判定.【典例 1】当 m 为何值时,直线l : y = x + m 与椭圆9x 2 + 16 y 2 = 144 相切、相交、相离?【典例 2】已知椭圆 x 2 + y 2259=
14、 1,直线l : 4x - 5 y + 40 = 0 ,椭圆上是否存在一点,它到直线 l 的距离最小? 最小距离是多少?反馈:(2012 福建)如图,椭圆 E:x 2a 2+ y 2 b 2= 1(a b 0)e =的左右焦点分别为 F1、F2,离心率1 ,过 F12的直线交椭圆于 A,B 两点,且ABF2 的周长为 8.(1) 求椭圆 E 的方程;y = kx + m(2) 设动直线 l: 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4 交于 Q,试探究:在坐标平面内,是否存在定点 M,使得以 PQ 为直径的圆恒过定点 M,若存在,求出点 M 的坐标,若不存在,请说明理由.【方法归纳】
15、:直线与椭圆位置关系判断的步骤:联立直线方程与椭圆方程;消元得出关于 x(或 y)的一元二次方程;当0 时,直线与椭圆相交;当 0 时,直线与椭圆相切;当0 时,直线与椭圆相离注:对比直线与圆的位置关系的判断,它们之间有何联系与区别?题型三:直线与椭圆相交(及中点弦)问题该问题属高考中对圆锥曲线考查的热点和重点问题,其主要方法是数形结合、判别式、根与系数的关系、整体代换.【典例 1】已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆 x 24+ y 2 = 1的1右焦点,交椭圆于 A,B 两点,求弦 AB 的长及DABF的周长、面积.【典例 2】已知椭圆x2y21(aa2b2b0)经过点(0, 3),离心率1
16、为2,左,右焦点分别为 F1(c,0),F2(c,0)(1) 求椭圆的方程;(2)1若直线 l:y2xm 与椭圆交于 A,B两点,与以 F F为直径的圆交于 C,D 两点,12|AB|53且满足|CD| 4,求直线 l 的方程+=【典例 3】已知一直线与椭圆相交于4x 29 y 236A,B 两点,弦 AB 的中点坐标为 M(1,1),求直线 AB 的方程.变式:过点 M (1,1)作斜率为 - 1 的直线与椭圆 C :2x2 + y2 = 1(a b 0) 相交于 A, B ,若M 是线段 AB 的中点,a2b2则椭圆 的离心率为C【 典例 4 】( 2015新课 标文) 已 知椭圆C :
17、x2 + y2 = 1(a b 0)的离心率为 2 ,点在 C 上.()2, 2a2b22(I) 求 C 的方程;(II) 直线 l 不经过原点 O,且不平行于坐标轴, l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 中点为M,证明:直线 OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.【典例 5】已知点(0,-2),椭圆E :x2 + y2 = 1(a b 0)Aa2b2的离心率为 3 ,F2是椭圆的焦点,直线的AF斜率为2 3 ,O3为坐标原点.()求 的方程;E()设过点 的直线 与 相交于两点,AlEP, QD当的面积最大时,求 的方程.OPQl【典例 6】已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在
18、x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点的距离的最大值为 3,最小值为 1.(1) 求椭圆 C 的标准方程;(2) 若直线 l:y = kx + m与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 均不在左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.【方法归纳】:(1) 解决直线与椭圆相交问题的原则有两个:一是数形结合;二是一条主线:“斜率、方程组、判别式、根与系数的关系” .利用根与系数的关系整体代换,以减少运算量.(2) 如果题设中没有对直线的斜率的限定,一定要讨论斜率是否存在,以免漏解;这里又有两个问题需要注意:若已知直线过 y 轴上的定点 P(0,b
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