武汉科技大学-信号与系统习题精解第1章.docx

1、第 1 章 信号及信号的时域分析1.1 本章要点本章在时域范围内讨论信号的分类和信号的基本运算，通过本章的学习，读者应该了解信号的各种分类、定义及相关波形；了解各类常用信号及其性质，掌握几种奇异信号的特性及运算方法；了解和掌握信号的基本运算方法，深刻理解卷积与输入、输出信号和系统之间的物理关系及其性质，为后续课程打下牢固的基础。1、信号的分类（1） 连续信号与离散信号一个信号，如果在连续时间范围内(除有限个间断点外)有定义， 就称该信号在此区间内为连续时间信号，简称连续信号。仅在离散时间点上有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。（2） 确定信号与随机信号确定信号是指能够以确定的时间函数表

2、示的信号。即给定某一时间值，就能得到一个确定的信号值。随机信号是时间的随机函数，即给定某一时间值，其函数值并不确定的信号。（3） 周期信号与非周期信号对于连续信号 f (t) ，若存在T 0 ，使得 f (t + rT ) = f (t) ，r 为整数，则称 f (t) 为周期信号；对于离散信号 f (n) ，若存在大于零的整数 N ，使得 f (n + rN ) = f (n) ， r 为整数，则称 f (n) 为周期信号。不满足周期信号定义的信号称为非周期信号。 几个周期信号相加而成的信号的周期问题几个周期信号相加，所产生的信号可能是周期信号，也可能是非周期信号，这主要取决20于几个周期信

3、号的周期之间是否存在最小公倍数T0。以周期分别为T 、T12（角频率分别为W , W12）的两个信号相加产生的信号 f (t )为例，1WTn( )如果W2= 2T1= 1n2= 有理数， n , n12均为整数，则 f t2p2p为周期信号，其周期T 为0T = n T= n T = n = n （1-1）01 12 21 W2 W12 离散正（余）弦信号的周期问题时域连续的正（余）弦信号一定是周期信号，但时域离散的正（余）弦信号不一定是周期信号，要求周期N 为正整数。例如：sin 2 p n 为周期信号，周期N 为 5， sin 2 n 为非周55期信号，因为5p 不是整数。（4） 能量信

4、号与功率信号归一化能量为有限值，归一化功率为零的信号为能量信号，即满足0 W ，P = 0 。归一化功率为有限值，归一化能量为无限大的信号为功率信号，即满足W ，0 P 0u(t) = 0t 00t 0（1-27）r(t) 与u(t) 之间的关系为：r(t) = t-u(t )dt（1-28）（5） 符号函数sgn(t )d r(t) = u(t) dt（1-29）符号函数用sgn(t )表示，其定义为：（6） 取样信号1 sgn(t )= 0- 1t 0t = 0（1-30）t 0取样信号用 Sa(t )表示，其定义为：Sa(t )= sin t- t （1-31）t取样信号有如下性质：1）

5、lim sin t = 1t 0t2）Sa(kp )= 0,k = 1, 2, 3,3） sin tdt = p-t（1-32）（1-33）（1-34）3、常用离散信号及其性质（1） 单位序列d (n)单位序列用d (n)表示，其定义为：1n = 0d (n) = 0n 0单位序列性质：1）f (n)d (n) = f (0)d (n)2）f (n)d (n - n ) = f (n )d (n - n )000（2） 单位阶跃序列u(n)（1-35）（1-36）（1-37）单位阶跃序列用u(n)表示，其定义为：若将u(n)移位n ，得01n 0 u(n) = 0n 0（1-38）1n nu(

6、n - n ) = 0（1-39）00n 0 ，信号 f (t - t ) 是将原信号沿正 t 轴平移t00时间，而 f (t + t ) 是将原信号沿负 t 轴平移t 时00间。（3） 信号的尺度变换与反转将信号 f (t) 的横坐标的尺寸展宽或压缩称为信号的尺度变换。可用变量at （ a 为非零常数）替代原信号 f (t) 的自变量t ，得到信号 f (at) 。如果a 为正数，当a 1时， f (at) 是将 f (t) 以原点为基准，横轴压缩到原来的 1 倍；a当0 a 0 ，信号 f (n - n ) 是将 f (n) 序列沿正n 轴000平移n 个单位，称为 f (n) 的超前序列

7、， f (n + n ) 是将 f (n) 序列沿负n 轴平移n个单位，000称为 f (n) 的延迟序列。（4） 序列 f (n) 的尺度变换 f (mn) ：当| m | 1 时， f (mn) 是 f (n) 序列每隔m 点取一点形成的，相当于时间轴n 压缩了m 倍；当| m | 1 时， f (mn) 是 f (n) 序列每两点之间插入m 个零，相当于时间轴n 扩展了m 倍；当m = -1时，f (-n) 是将 f (n) 序列绕纵轴作1800 反转，称为 f (n) 的反转序列。（5） 序列差分：( )()( )一阶前向差分Df n= f n + 1 - f n（1-69）二阶前向差

8、分 D2 f (n)= DDf (n)= Df (n + 1)- Df (n)= f (n + 2)- 2 f (n + 1)+ f (n)( )( )()（1-70）一阶后向差分f n= f n - fn -1（1-71）二阶后向差分2 f (n)= f (n)= f (n)- f (n -1)= f (n)- 2 f (n -1)+ f (n - 2)（1-72）（6） 序列求和几个典型的累加和：f (n)= i=-f (i)（1-73）1）n d (i)= u(n)（1-74）2） ni=-u(i)= (n + 1)u(n)（1-75）i=-3） niu(i)= 1 n(n + 1)u(

9、n)（1-76）2i=-n( )1 - an+1 ( )4）（7） 序列的时域分解1） 序列的脉冲分解i=-aiu i= u n1 - aa 1（1-77）任意离散序列 f (n) 可用单位序列及其移位序列表示，即f (n) = L + f (-2)d (n + 2) + f (-1)d (n + 1) + f (0)d (n)+ f (1)d (n - 1) + L + f (i)d (n - i) + L= +i = -f (i)d (n - i)（1-78）可见任意离散序列在时域可表示为d (n - i) 的线性组合。2） 序列的奇偶分解 对于无限长序列，用 fe(n) 表示共轭对称序列

10、，有f (n) = f * (-n)（1-79）ee用 f (n) 表示共轭反对称序列，有of (n) = - f * (-n)（1-80）oo一般序列都可用共轭对称序列和共轭反对称序列之和表示，即f (n) = fe所以1(n) + fo(n)（1-81）f (n) = f (n) + f * (-n)1e2f (n) = f (n) - f * (-n)o2（1-82）（1-83）对于有限长序列，用 fep(n) 表示有限长共轭对称序列，有f (n) = f * (N - n)， 0 n N - 1eep（1-84）用 f (n) 表示有限长共轭反对称序列，有opf (n) = - f *

11、 (N - n) ， 0 n N - 1opop（1-85）任何有限长序列都可表示成共轭对称序列和共轭反对称序列之和表示，即f (n) = fep所以(n) + fop1(n) ， 0 n N - 1（1-86）f (n) = f (n) + f * (N - n)1ep2op2123456123456f(n) = f (n) - f * (N - n)（1-87）（1-88）如图 1-4 所示。87原 6序54列 3210共 5轭 4对 3称 2序 1列 0 0共 轭 4反 2对 0 称序-2列-4 0123456图 1-4 有限长序列及其共轭对称、共轭反对称序列（8） 卷积和1）卷积和的定

12、义一般而言，两个序列 f (n) 与 f12(n) 的卷积和定义为f (n) = +i = -f (i) f (n - i) = f (n) * f1212(n)（1-89）如果 f (n) 与 f12(n) 均为因果序列，则有：4) 卷积和的性质f (n) * f12(n) = ni =0f (i) f12(n - i)（1-90）离散信号的卷积和运算服从交换律、结合律和分配律，即f (n) * f(n) = f(n) * f (n)（1-91）1f (n) *22f (n) * f (n) =1f (n) * f(n)* f (n)（1-92）1 23123f (n) * f (n) +

13、f (n) = f (n) * f (n) + f (n) * f (n)（1-93）1231213任一序列 f (n) 与单位序列d (n) 的卷积和等于序列 f (n) 本身，即f (n)* d (n)= d (n)* f (n)= f (n)（1-94）f (n)* d (n - n )= f (n - n )（1-95）若 f (n) = f (n) * f11(n) ，则f (n 1)2 ()()11.2 精选例题- n * f12n - n2= f n - n - n12（1-96）例 1 画出下列信号波形。（1） f (t )= td (cospt )dt（2） f (n) =

14、nu(n) - 40u(n - 4k )解：（1） f (t )= t d (cospt )dt0= t d (t - 0.5)+ d (t -1.5)+ d (t - 2.5)+Ldt0k =1= t d (t - 0.5)dt +t d (t -1.5)dt +t d (t - 2.5)dt +L= 0()(0 )() 0u t - 0.5+ u t -1.5 + u t - 2.5 +L波形如例 1 解图（a）所示。(2) f (n) = nu(n) - 4k =1u(n - 4k )= nu(n) - 4u(n - 4) - 4u(n - 8) - 4u(n - 12) -L波形如例

15、1 解图（b）所示。cosp t1-2.5-1.5-0.500.51.52.5td (cospt )(1)(1)(1)(1)(1)(1)-2.5-1.5-0.50 0.51.52.5tf (t )0.51.52.5tf (n)3.532.521.510.500n12345678910 1112(a)(b)例 1 解图例 2 判断下列信号是否为周期信号？若是周期信号，则确定其周期T。(1) f1(2) f2(3) f(t) = 1 + 3sin(p t) + sin(2p t) (t) = cos(2p t) - cos(5t)(n) = 2 sin 3 n + p 3 46 解:nWp1（1）

16、 1n2= W12= 2p=22p2p因此，公共周期T= n = 1 = 2 ,01 Wp111基频 f= = = 0.5Hz0T20W2p(2) 由于两个分量的频率比值W1 =2是无理数，因此无法找出公共周期。所以是非周期5的。(3) 按定义，周期序列 f3为序列的周期。(n)应满足 f3(n)= f3(n + N)，其中满足定义式的最小正整数N 称f (n + N )= 2 sin 3 (n + N )+ p = 2 sin 3 n + 3 N + p = 2 sin 3 n + p = f(n)欲使 3 46 446463，应该满足 3 N = 2p , 即 N = 8 p ， N 不是

17、正整数，故 f433(n)不是周期序列。例3 判断下列信号哪些是能量信号，哪些是功率信号。（1） f (t )= e- t1 ( )（2） f t = e-t（3） f解:2 ( )n3= 2e j 2pn / 4T ()201 () 1 ()（1） E1= lim e - tT dt = e 2t dt + e -2t dt = 1 - 02- 0 - 12= 1JP = 01 ( )-T-0所以 f t1是能量信号。T (（2） E= lim e-t )2 dt = e-2t dt = ()2T -T1 T2P = lim e-tdt = 所以 f2(t)T 2T-T既非能量信号，又非功率

18、信号。2 ( )（3） f n3是一个周期为 N = 4 的复数周期信号，其功率为 = 1 (P = 1 N -1 f(n)2= 1 322e j 2pn / 4 4 + 4 + 4 + 4)= 4WN3n=0例 4计算44n=0（1） d (t )sin 2t dt-t（2） 4 d(t - 2)cos p tdt()- 24（3） d-t 2 - 4 dt(4) d (n - m)m=- sin np d (n - 2)(5)n=-解： 4 （1） d (t )sin 2t dt = 2d (t )sin 2t dt = 2d (t )1dt = 2-t()p-2t()p-ppp（2） 4

19、 d t - 2 cos tdt = - 1 cos t = - sin 2 = - 244t =2444()（3） d-t 2 -1 dt因为对于形如d f (t )的冲激信号，若 f (t )= 0 有m 个互不相等的实根，有()又 t2 -1所以t=1= 2df (t )= nf (t )1i =1d (t - t )ii() 1 ()()1 d t 2 - 4 dt = d t + 1 + d t - 1 dt = 2 = 1- 22(4) d (n - m)= u(- n - 1)+ u(n)m=-(5)n=-sin np d (n - 2)= d (n - 2) 4 例5 已知信号的波形如例5图所示，分别画出 f (t )与 df (t )的波形。dtf (2 - 2t )21-2-1 01t例 5 图解：f (2 - 2t ) f - 2(t - 1) f - 2(t - 1 + 1)左移1f (- 2t )反转f (2t )横坐标扩展一倍f 1 2t = f (t )2f (t )的波形如例 5 解图（d）所示。f (t )21f (- 2t )-3-2021023tf (2t )211t046tf (t )(b)1(1)1/40-146(a)t(c)(d