盐城市2020届高三年级第四次模拟考试数学试题含答案.pdf

1、数学 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上 . 2已知i为虚数单位，复数z满足z(3+i)=10,则|z|的值为. 3从数字0,1, 2中任取两个不同的数字构成一个两位数，则所得的两位数大于10的概率为. 4如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售 量的频率分布直方图，图中小矩形从左向右所对应的区间依次为 0,50),50, 100), 100, 150),150, 200), 200, 250.若一个月以30天计算，估计这家面包 店一个月内这种面包的日销售量少于100个的天数为天. O 50100150200250 0.0

2、02 0.003 0.004 0.005 0.006 频率 组距 日销售量/个 （第4题图） 5执行如图所示的流程图，输出k的值为. 6若双曲线 x2 a2 - y2 b2 = 1(a 0, b 0) 的渐近线为 y = 2x，则其离心率的 值为. 7若三棱柱ABC - A1B1C1的体积为12,点P为棱AA1上一点，则四梭锥P- BCC1B1的体 积为. 8“=2”是“函数f x=sin(x+ 6 )的图象关于点 5 12 ,0 对称”的条件. (选填“充分 不必要”、“必要不充分”、“充要”、 “既不充分也不必要”之一) 9在ABC中，C=B+ 4 ，AB= 32 4 AC，则tan B的

3、值为 . 10若数列an的前n项和为Sn,an=2n-1+(-1)n(2n-1)，则2a100 - S100的值为. 11若集合P=(x,y)|x2+y2-4x=0, Q=(x,y)| |x+2| y 15,则PQ表示的曲线的长度为 . 12若函数 f(x) = m+ex,x0 e2x-1,x0 的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数 m 的最大值是 . 13在 ABC 中， AB = 10， AC = 15, A 的平分线与边 BC 的交点为 D,点 E 为边 BC 的中点， 若AB AD =90,则AB AE 的值是. 14若实数x,y满足4x2+4xy+7y2=l,则7x2 -4xy

4、+4y2的最小值是. N （第5题图） 盐城市2020届高三年级第四次模拟考试 1若集合A=x|xm，B= x|x-1,且AB= m，则实数m的值为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 15（本小题满分14分） 若函数f(x)= M sin(x + )(M 0, 0,00)的短轴长为2，F1，F2分别是椭 圆 C 的左、右焦点，过点 F2的动直线与椭圆交于点 P, Q, 过点 F2与 PQ 垂直的直线与椭圆 C 交于 A、B两点.当直线AB过原点时，PF1=3PF2 （1）求椭圆的标准方程； （2）若点H(3,0)，记直线

5、PH,QH,AH,BH的斜率依次为k1,k2,k3,k4； 若k1+k2= 2 15 ，求直线PQ的斜率； 求(k1+k2)(k3+k4)的最小值 F1F1 A Q B H P x y (第18题图） 19（本小题满分16分） 如果存在常数k使得无穷数列 an满足amn=kaman恒成立，则称 an为P(k)数列 （1）若数列 an是P(1)数列，a6=1，a12=3，求a3； （2）若等差数列是 bn是P(2)数列，求数列 bn的通项公式； （3）是否存在P(k)数列 cn，使得c2020,c2021,c2022,是等比数列？若存在，请求出所有满足条件 的数列 cn；若不存在，请说明理由.

6、20（本小满分16分） 设函数f(x)=-3x+x3+ax2ln-2ax. （1）若a=0时，求函数f(x)的单调递增区间； （2）若函数f(x)在x=1时取极大值，求实数a的取值范围； （3）设函数f(x)的零点个数为m，试求m的最大值 数学(附加题) 21【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若 多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A.选修选修42：矩阵与变换：矩阵与变换（本小题满分10分） 已知矩阵A A= a2 b1 ，若矩阵A A属于特征值3的一个特征向量为 = 1 1 ，求该矩阵属于另一个特 征值的特征向

7、量. B.选修选修44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在极坐标系中，已知直线l:cos+2=msin（m为实数），曲线C：=2+cos4sin，当直 线l被曲线C截得的弦长取得最大值时，求实数m的值 C选修选修4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分10分） 已知实数x，y，z满足x+y+2z=1，求x2+y2+z2的最小值 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 22.（本小题满分10分） 如图，抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F，过点P(2,0)作直线l与抛物线交于A,B两点

8、，当直 线l与x轴垂直时AB的长为42 . （1）求抛物线的方程； （2）若APF与BPO的面积相等，求直线l的方程. A B FPO y x (第22题图） 23.（本小题满分10分） 若有穷数列 an共有k项（k2），且a1=1, ar+1 ar = 2(r-k) r+1 当1rk-1时恒成立.设Tk=a1 +a2+ak. （1）求T2，T3； （2）求Tk. 高三数学答案 第 1 页 共 8 页 盐盐城城市市 2 20 02 20 0 届届高高三三年年级级第第四四次次模模拟拟考考试试 数数学学参参考考答答案案 一一、填填空空题题：本本大大题题共共 1 14 4 小小题题，每每小小题题 5

9、 5 分分，计计 7 70 0 分分 112103 4 3 412546578 8充分不必要921029911 3 2 12 2 1e13 2 175 14 8 3 二二、解解答答题题：本本大大题题共共 6 小小题题，计计 90 分分解解答答应应写写出出必必要要的的文文字字说说明明，证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤，请请把把答答案案 写写在在答答题题纸纸的的指指定定区区域域内内 15解析： （1）因为( )f x的最小值是2，所以 M22 分 因为( )f x的最小正周期是2，所以1，4 分 又由( )f x的图象经过点(,1) 3 N ，可得( )1 3 f ， 1 sin() 32 ，

10、 所以2 36 k 或2 36 k ，kZ， 又0 ，所以 2 ，故( )2sin() 2 f xx ，即( )2cosf xx6 分 （2）由（1）知( )2cosf xx，又 8 ( ) 5 f A ， 10 ( ) 13 f B ， 故 810 2cos,2cos 513 AB，即 45 cos,cos 513 AB， 又因为ABC中，,(0, )A B， 所以 22 43 sin1cos1( ) 55 AA， 22 512 sin1cos1() 1313 BB，10 分 所以coscos()cos()CABAB (coscossinsin)ABAB 4531216 () 5135136

11、5 14 分 16证明：(1)设ACBDO，连结OE， 因为底面ABCD是菱形，故O为BD中点， 又因为点E是PC的中点，所以/AP OE2 分 又因为OE 平面 BDE，AP 平面 BDE， 所以/AP平面 BDE6 分 A B P C D E O 高三数学答案 第 2 页 共 8 页 (2) 因为平面PBC 平面ABCD，PCBC，平面PBC 平面=ABCD BC，PC 平面PBC， 所以PC 平面ABCD9 分 又BD 平面ABCD，所以PCBD ABCD是菱形，ACBD， 又PCBD，ACPCC，AC 平面PAC，PC 平面PAC， 所以BD 平面PAC12 分 又BD 平面BDE，所

12、以平面PAC 平面BDE14 分 17解析：连接 CM，设PCM，则 1 cos PC ，tanPMPN， 1 10 cos OPOCPC ， 2 220 cos ABOP ， 设新建的道路长度之和为( )f，则 3 ( )2tan30 cos fPMPNABOP ，6 分 由110PC得 1 cos1 10 ，设 0 1 cos= 10 ， 0 0 2 ， 则 0 (0， 0 3 sin=11 10 ， 2 23sin ( ) cos f ，令( )0f得 2 sin = 3 ， 10 分 设 1 2 sin= 3 ， 10 (0， ,( ),( )ff的情况如下表： 1 (0)， 1 10

13、 (， ( )f+0- ( )f极大 由表可知 1 = 时( )f有最大值， 此时 2 sin = 3 ， 5 cos = 3 ， 2 tan = 5 ，( )=305f13 分 答：新建道路长度之和的最大值为30 5 千米14 分 注：定义域扩展为(0,) 2 ，求出最值后验证也可. 18解析：(1)因为椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的短轴长为 2，所以=1b， 当直线AB过原点时，xPQ 轴，所以 21F PF为直角三角形， 由定义知aPFPF2 21 ，而 21 3PFPF ，故aPFaPF 2 1 2 3 21 ， 高三数学答案 第 3 页 共 8 页 由 2 21

14、 2 2 2 1 FFPFPF得) 1(4 4 1 4 4 1 4 9 22222 aacaa，化简得 2 2 a ， 故椭圆的方程为1 2 2 2 y x 4 分 （2）设直线) 1(:xkyPQ，代入到椭圆方程得：0)22(4)21 ( 2222 kxkxk， 设),(),( 2211 yxQyxP，则 2 2 21 2 2 21 21 22 , 21 4 k k xx k k xx ，6 分 所以 )3)(3( )3)(1()3)(1( 33 21 1221 2 2 1 1 21 xx xxxxk x y x y kk ， 化简可得 15 2 78 2 2 21 k k kk，10 分

15、解得：1k或 8 7 k，即为直线 PQ 的斜率12 分 当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时， 1234 ()()0kkkk， 当两条直线与坐标轴都不垂直时， 由知 78 2 2 21 k k kk，同理可得 2 43 78 2 k k kk ，14 分 故 225 4 113 1 256 4 113) 1 (56 4 1135656 4 )( 2 2 2 2 24 2 4321 k k k k kk k kkkk ， 当且仅当 2 2 1 k k 即1k时取等号 综上， 1234 ()()kkkk的最小值为 225 4 16 分 19解析：(1)由数列 n a是(1)P数列得3, 1 621

16、2326 aaaaaa，可得 3 1 3 a2 分 (2)由 n b是(2)P数列知2 mnmn bb b恒成立，取1m 得 nn bbb 1 2恒成立， 当0, 0 1 n bb时满足题意，此时0 n b， 当0 1 b时，由 2 11 2bb 可得 2 1 1 b，取2mn得 2 24 2bb ， 设公差为d，则 2 ) 2 1 (23 2 1 dd解得0d或者 2 1 d， 综上，0 n b或 2 1 n b或 2 n bn，经检验均合题意8 分 (3)方法一:假设存在满足条件的( )P k数列 n c，不妨设该等比数列 202020212022 ccc， 的公比为q， 则有 20202

17、020 202020202020 20202020202020202020 ckcqcckcc ，可得 2020 202020202020 kcq ， 高三数学答案 第 4 页 共 8 页 qckcqcckcc 20202020 202020212020 20202021202020212020 ，可得 2020 202120212020 kcq ， 综上可得1q，10 分 故 202020202020 cc ，代入 2020202020202020 ckcc 得 k c 1 2020 ，则当2020n时 k cn 1 ，12 分 又 k cckcc 1 1202012020 ， 当20201

18、 n时，不妨设 2020 i n ， Ni 且i为奇数， 由 i n i n n nn n n n nnn ckcckckcckccc iiiii )()( 122 2211 ， 而 k c i n 1 ，所以 i n i ck k )( 1 1 ， ii n k c) 1 ()(， k cn 1 ， 综上，满足条件的( )P k数列 n c有无穷多个，其通项公式为 k cn 1 16 分 方法二:同方法一得，当2020n时 k cn 1 ， 当20201 n时， 20202020nn ckc c ，而 2020 1 n c k ， k c 1 2020 ，故 k cn 1 ，以下同方法一 方

19、法三:假设存在满足条件的( )P k数列 n c，显然 n c的所有项及 k 均不为零， 1 1 =c k ， 不妨设该等比数列 202020212022 ccc， 的公比为q， 当20181 n时， 20202020nn ckc c ， ( +1) 20201 2020nn ckcc ，两式相除可得 ( +1) 20202020 1 2020 = n n nn c c q cc ， 故当20191 n时 n c也为等比数列，10 分 故 )1(2020)1(2020 1 1 nn n q k qcc，则 2020 2 1 q k c， 6060 4 1 q k c，由 2 24 )(ckc

20、得1 2020 q，且当 20191 n时 k cn 1 ，12 分 则 20202 1010 111 =ckc ck kkk ， 20255 405 111 =ckc ck kkk ， 5 2025 2020 =1= c q c ，1q ， 故当2020n时 k cn 1 ， 综上，满足条件的( )P k数列 n c有无穷多个，其通项公式为 k cn 1 16 分 20解析： （1）当0a 时， 3 ( )3lnf xxx ，所以 3 2 31 ( )33() x fxx xx ，1 分 由( )0fx得1x ，当(0,1)x时，( )0fx；当(1,)x时，( )0fx， 高三数学答案 第

21、 5 页 共 8 页 所以函数( )f x的单调增区间为(1,)3 分 （2）由题意得 22 33(1)2 ( )322(1)1 3 xa fxxaxaxx xx ， 令 2 2 ( )(1)1(0) 3 a g xxxx，则 3(1) ( )( ) x fxg x x ， 当 2 10 3 a 即 3 2 a 时，( )0g x 恒成立，得( )f x在(0,1)上递减，在(1,+ )上递增，所以1x 是 函数( )f x的极小值点； 当 2 2 (1)40 3 a 即 93 22 a时，此时( )0g x 恒成立，( )f x在(0,1)上递减，在(1,+ )上递 增，所以1x 是函数(

22、)f x的极小值点； 当 2 2 (1)40 3 a 即 9 = 2 a或 3 2 a 时， 易得( )f x在(0,1)上递减， 在(1,+ )上递增， 所以1x 是 函数( )f x的极小值点；6 分 当 2 2 (1)40 3 a 时，解得 9 2 a 或 3 2 a （舍） ， 当 9 2 a 时，设( )g x的两个零点为 12 ,x x，所以 12 1x x ，不妨设 12 0xx， 又 2 (1)30 3 a g，所以 12 01xx ，故 12 3 ( )()(1)()fxxxxxx x ， 当 1 (0,)xx时，( )0fx；当 1 ( ,1)xx时，( )0fx；当 2

23、(1,)xx时，( )0fx； 当 2 (,)xx时，( )0fx；( )f x在 1 (0,)x上递减，在 1 ( ,1)x上递增，在 2 (1,)x上递减，在 2 (,)x 上递增；所以1x 是函数( )f x极大值点. 综上所述 9 2 a 10 分 （3）由（2）知当 9 2 a 时，函数( )f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，故函数( )f x 至多有两个零点，欲使( )f x有两个零点，需(1)10fa ，得1a ， 此时 32 ( )3ln23ln2f xxxaxaxxax ， 1 ( )3ln2fa a ， 当ae时， 1 ( )0f a ，此时函数( )f

24、x在(0,1)上恰有 1 个零点；12 分 又当2x 时， 33 ( )3ln(2)3lnf xxxax xxx ， 由（1）知 3 ( )3lnxxx 在(1,)上单调递增， 所以 3 ( )30f ee ，故此时函数( )f x在(1,)恰有 1 个零点； 高三数学答案 第 6 页 共 8 页 由此可知当ae时，函数( )f x有两个零点14 分 当 9 2 a 时，由（2）知( )f x在 1 (0,)x上递减，在 1 ( ,1)x上递增，在 2 (1,)x上递减，在 2 (,)x 上递增； 而 1 01x，所以 3 11111 ()3ln(2)0f xxxax x ， 此时函数( )f

25、 x也至多有两个零点. 综上所述，函数( )f x的零点个数m的最大值为 216 分 附加题答案 21A解：由题意知 211 3 111 a A b ，所以 23 13 a b ，即 1 2 a b ，4 分 所以矩阵A的特征多项式 2 1 2 ( )(1)4 21 f ， 由( )0f，解得3或1 ，8 分 当1 时， 220 220 xy xy ，令1x ，则1y ， 所以矩阵A的另一个特征值为1，对应的一个特征向量为 1 1 10 分 21B解：由题意知直线l的直角坐标方程为20xym，2 分 又曲线C的极坐标方程2cos4sin，即 2 2 cos4 sin， 所以曲线C的直角坐标方程

26、为 22 240xyxy， 所以曲线C是圆心为(1,2)的圆，8 分 当直线l被曲线C截得的弦长最大时，得12 20m ，解得5m 10 分 21C解：由柯西不等式有 2222222 (112 )()(2 )1xyzxyz，6 分 所以 222 1 6 xyz(当且仅当 112 xyz 即 1 6 xy， 1 3 z 时取等号)，8 分 所以 222 xyz的最小值是 1 6 10 分 22解： （1）当直线l与x轴垂直时AB的长为4 2，又(2,0)P，取(2,2 2)A，1 分 所以 2 (2 2)22p，解得2p ，所以抛物线的方程为 2 4yx2 分 高三数学答案 第 7 页 共 8

27、页 （2）由题意知 11 22 APFAA SFP yy ， 1 2 BPOBB SOP yy ， 因 APFBPO SS ，所以2 AB yy，4 分 当0 AB k时，直线AB与抛物线不存在两个交点，所以0 AB k， 故设直线AB的方程为2xmy，代入抛物线方程得 2 480ymy， 所以4 AB yym，8 AB y y ，6 分 当0,0 AB yy时，2 AB yy ， 2 28 B y ，所以2 B y ， 2 1 4 B B y x ， 所以2 PB k，直线AB的方程为240xy，8 分 当0,0 AB yy时，同理可得直线AB的方程为240xy， 综上所述，直线AB的方程为

28、240xy10 分 23解： （1）当2k 时，1r ，由 2 1 2(1 2) 1 1 1 a a ，得 2 1a ， 2 0S ，1 分 当3k 时，1r 或2，由 2 1 2(1 3) 2 1 1 a a ，得 2 2a ， 由 3 2 2(23)2 2 13 a a ，得 3 4 3 a ， 3 1 3 S 3 分 （2）因 1 2() 1 r r ark ar ，由累乘法得 321 12 2(1) 2(2)2() 231 r r aaakkrk aaar ， 所以 1 (1) (2)()! ( 2)( 2) 231(1)!(1)! rr r kkkrk a rk rkr ，5 分 所以 11 1 1 ( 2) 2 rr rk aC k ，6 分 当0r 时， 1 1a 也适合 11 1 1 ( 2) 2 rr rk aC k ， 所以 1122 1 ( 2)( 2)( 2) 2 kk kkkk SCCC k ，8 分 即 001122 1 ( 2)( 2)( 2)( 2)1 2 kk kkkkk SCCCC k ， 所以 11 (1 2)11 ( 1) 22 kk k S kk 10 分 高三数学答案 第 8 页 共 8 页