2019年高考真题文科数学（全国卷Ⅲ）试题含答案.doc

1、 20192019 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学年普通高等学校招生全国统一考试文科数学 注意事项：注意事项： 1 1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. . 2 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试 卷上无效卷上无效. . 3 3考

2、试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. . 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分, ,在每小题给的四个选项中，只有一项是在每小题给的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. . 1.已知集合 2 1,0,1,21ABx x， ，则AB（ ） A. 1,0,1 B. 0,1 C. 1,1 D. 0,1,2 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出集合 B 再求出交集. 【详解】由题意得，11Bxx ，则1,0,1AB 故选 A 【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题. 2.

3、若(1 i) 2iz ，则z （ ） A. 1i B. 1+i C. 1 i D. 1+i 【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数运算法则求解即可. 【详解】 () ( 2i2i1 i 1 i 1 i1 i 1 i)() z 故选 D 【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养采取运算法则法，利用方程思想解题 3.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（ ） A. 1 6 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 【答案】D 【解析】 【分析】 男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解. 【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生

4、人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种 数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是 1 2 故选 D 【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养采取等同法，利用等价转化 的思想解题 4.西游记 三国演义 水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某 中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 学生，其中阅读过西游记或红楼梦的 学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D.

5、0.8 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解. 【详解】 由题意得， 阅读过 西游记 的学生人数为 90-80+60=70， 则其与该校学生人数之比为 70 100=0 7 故 选 C 【点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养采取去重法，利用转化与化归思想 解题 5.函数( ) 2sinsin2f xxx在0,2的零点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】 令( )0f x ，得sin0x或cos1x，再根据 x 的取值范围可求得零点. 【详解】 由( )2sinsin22sin2sin co

6、s2sin (1 cos )0f xxxxxxxx， 得s i n0x或cos1x， 0,2x，02x 、 或 ( )f x 在0,2零点个数是 3 故选 B 【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养采取特殊值法，利 用数形结合和方程思想解题 6.已知各项均为正数的等比数列 n a的前 4 项和为 15，且 531 34aaa，则 3 a （ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 利用方程思想列出关于 1, aq的方程组，求出 1, aq，再利用通项公式即可求得 3 a的值 【详解】设正数的等比数列an的公比为q，则 2

7、3 1111 42 111 15, 34 aa qa qa q a qa qa ， 解得 1 1, 2 a q ， 2 31 4aa q，故选 C 【点睛】应用等比数列前n项和公式解题时，要注意公比是否等于 1，防止出错 7.已知曲线eln x yaxx在点1,ae处的切线方程为 2yxb ，则（ ） A. ,1ae b B. ,1ae b C. 1, 1aeb D. 1, 1aeb 【答案】D 【解析】 【分析】 通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a，将点的坐标代入直线方程，求得b 【详解】详解： / ln1, x yaex / 1 1 |12 x kyae ae 将(1,1)代入

8、2yxb 得21,1bb ，故选 D 【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误求导 要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求 8.如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD 为正三角形，平面ECD 平面,ABCD M是线段ED的中 点，则（ ） A. BMEN，且直线,BM EN是相交直线 B. BMEN，且直线,BM EN是相交直线 C. BMEN，且直线,BM EN是异面直线 D. BMEN，且直线,BM EN是异面直线 【答案】B 【解析】 分析】 利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题 【详解】BDE，N为BD中点M为DE中点，BM，E

9、N共面相交，选项 C，D为错作EOCD 于O，连接ON，过M作MFOD于F 连BF，平面CDE 平面ABCD ,EOCD EO平面CDE， EO平面ABCD，MF 平面ABCE， MFB与EON均为直角三角形 设正方形边长为 2，易知3,012EONEN， 2 395324 ,27 24244 MFBFBM BMEN，故选 B 【点睛】本题为立体几何中等问题，考查垂直关系，线面、线线位置关系. 9.执行如图所示的程序框图，如果输入的为0.01，则输出s的值等于（ ） A. 4 1 2 2 B. 5 1 2 2 C. 6 1 2 2 D. 7 1 2 2 【答案】D 【解析】 【分析】 根据程序

10、框图，结合循环关系进行运算，可得结果. 【详解】 1 1.0,0 1,0.01? 2 xSSx不成立 11 0 1,0.01? 24 Sx 不成立 6 111 0 1,0.00781250.01? 22128 Sx 成立 输出 7 67 1 1 111 2 12 1 1 222 1 2 S ，故选 D 【点睛】循环运算，何时满足精确度成为关键，加大了运算量，输出前项数需准确，此为易错点 10.已知F是双曲线 22 :1 45 xy C的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若 =OPOF，则OPF的 面积为（ ） A. 3 2 B. 5 2 C. 7 2 D. 9 2 【答案】B 【解析】 分析

11、】 设 00 ,P x y，因为=OPOF再结合双曲线方程可解出 0 y，再利用三角形面积公式可求出结果. 【详解】设点 00 ,P x y，则 22 00 1 45 xy 又453OPOF， 22 00 9xy由得 2 0 25 9 y，即 0 5 3 y， 0 1155 3 2232 OPF SOFy 故选 B 【点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采 取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题 11.记不等式组 6 20 xy xy 表示的平面区域为D，命题: ( , ),29px yDxy ；命题 :( , ),212qx yDx

12、y .给出了四个命题：p q ； pq ；p q ； pq ，这四个命题 中，所有真命题的编号是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意可画出平面区域再结合命题可判断出真命题. 【详解】如图，平面区域 D 为阴影部分，由 2 , 6 yx xy 得 2 , 4 x y 即 A（2，4） ，直线29xy与直线 212xy均过区域 D，则 p 真 q假，有p 假q 真，所以真假故选 A 【点睛】本题考点为线性规划和命题的真假，侧重不等式的判断，有一定难度不能准确画出平面区域导 致不等式误判，根据直线的斜率和截距判断直线的位置，通过直线方程的联立求出它们的交点，可采用

13、特 殊值判断命题的真假 12.设 f x是定义域为R的偶函数，且在 0,单调递减，则（ ） A. 23 32 5 1 log22 4 fff B. 23 32 8 1 log22 4 fff C. 23 32 5 1 22log 4 fff D. 23 32 5 1 22log 4 fff 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知函数为偶函数，把 23 32 3 1 log,2,2 4 fff ，转化为同一个单调区间上，再比较大小 【详解】 f x是 R 的偶函数， 33 1 loglog 4 4 ff 3 0 2 3 log 4122 ，又 f x在(0，+)单调递减， 23 32 3 log

14、 422fff ， 23 32 3 1 22log 4 fff ，故选 C 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查学生转化与化归及分析问题解决问题的能力 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13.已知向量(2,2),( 8,6)ab ，则cos, a b_. 【答案】 2 10 【解析】 【分析】 根据向量夹角公式可求出结果. 【详解】详解： 2222 282 62 cos, 10 22( 8)6 a b a b a b 【点睛】本题考点为平面向量的夹角，为基础题目，难度偏易不能正确使用平面向量坐标的运算致

15、误， 平面向量的夹角公式是破解问题的关键 14.记 n S为等差数列 n a的前n项和，若 37 5,13aa，则 10 S_. 【答案】100 【解析】 【分析】 根据题意可求出首项和公差，进而求得结果. 【详解】详解： 31 71 25 , 613 aad aad 得 1 1, 2 a d 101 10 910 9 1010 12100. 22 Sad 【点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，难度不大不能构造等数列首项和公差的方程组致使 求解不通，应设出等差数列的公差，为列方程组创造条件，从而求解数列的和 15.设 12 FF，为椭圆 22 :+1 3620 xy C的两个焦点，M为

16、C上一点且在第一象限.若 12 MFF 为等腰三角形， 则M的坐标为_. 【答案】3, 15 【解析】 【分析】 根据椭圆的定义分别求出 12 MFMF、，设出M的坐标，结合三角形面积可求出M的坐标. 【详解】由已知可得 22222 36,36,16,4abcabc ， 112 28MFFFc 122 212,4MFMFaMF 设点M的坐标为 0000 ,0,0xyxy，则 1 2 1200 1 4 2 MF F SFFyy ， 又 1 2 22 0 1 4824 15 ,44 15 2 MF F Sy ，解得 0 15y ， 2 2 0 15 1 3620 x ，解得 0 3x （ 0 3x

17、 舍去） ， M的坐标为3, 15 【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直 观想象、逻辑推理等数学素养 16.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体 1111 ABCDABC D挖去四棱 锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，,E F G H分别为所在棱的中点， 1 6cm4cmAB= BC=, AA =，3D打印所用原料密度为 3 0.9 /g cm，不考虑打印损耗，制作该模型所需原 料的质量为_g. 【答案】1188 【解析】 【分析】 根据题意可知模型的体积为四棱锥体积与四棱锥体积之差进而求得模

18、型的体积，再求出模型的质量. 【详解】 由题意得， 四棱锥 O-EFGH 的底面积为 2 1 4 642 312 2 cm ， 其高为点 O到底面 11 BBCC的 距离为 3cm，则此四棱锥的体积为 2 1 1 12 312 3 Vcm 又长方体 1111 ABCDA B C D的体积为 2 2 4 6 6144Vcm ， 所 以 该 模 型 体 积 为 2 21 144 12132VVVcm， 其 质 量 为 0.9 132118.8g 【点睛】此题牵涉到的是 3D打印新时代背景下的几何体质量，忽略问题易致误，理解题中信息联系几何体 的体积和质量关系，从而利用公式求解 三、解答题：共三、解

19、答题：共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .第第 17211721 题为必考题，每题为必考题，每 个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答. .第第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. . （一）必考题：（一）必考题： 17.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成,A B两组，每组 100 只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓 度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子

20、的百分比.根据试验数据分别得到如下 直方图： 记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到 P C的估计值为0.70. （1）求乙离子残留百分比直方图中, a b的值； （2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. 【答案】(1) 0.35a，0.10b；(2) 4.05，6. 【解析】 【分析】 (1)由 ( )0.70P C 可解得a和b的值；(2)根据公式求平均数. 【详解】(1)由题得0.20 0.150.70a，解得0.35a，由0.050.151( )1 0.70bP C ，解得 0.10b. (2)由甲离子的直方图

21、可得，甲离子残留百分比的平均值为 0.15 2 0.20 3 0.30 4 0.20 5 0.10 6 0.05 74.05 ， 乙离子残留百分比的平均值为0.05 3 0.10 4 0.15 5 0.35 6 0.20 7 0.15 86 【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题. 18.ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知sinsin 2 AC abA （1）求B； （2）若ABC为锐角三角形，且1c，求ABC面积的取值范围 【答案】(1) 3 B ;(2) 33 (,) 82 . 【解析】 【分析】 (1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于 B 的三角

22、方程，最后根据 A,B,C 均为三角形内角解得 3 B .(2) 根据三角形面积公式 1 sin 2 ABC SacB，又根据正弦定理和 12 25 得到 ABC S关于C的函数，由于VABC是 锐角三角形，所以利用三个内角都小于 2 来计算C的定义域，最后求解( ) ABC SC的值域. 【详解】(1)根据题意sinsin 2 AC abA 由正弦定理得sinsinsinsin 2 AC ABA ，因为0A， 故sin0A，消去sin A得sinsin 2 AC B 。 0B，0 2 AC 因为故 2 AC B 或者 2 AC B ，而根据题意ABC，故 2 AC B 不成立，所以 2 AC

23、 B ，又因为ABC，代入得3B，所以 3 B . (2)因为VABC是锐角三角形，又由前问 3 B ，, 62 A C ，ABC得到 2 3 AC，故 62 C 又应用正弦定理 sinsin ac AC ， 12 25 ，由三角形面积公式有 22 2 sin() 111sin3 3 sinsinsin 222sin4sin ABC C aA SacBcBcB cCC 22 sincoscossin 332233 33 (sincotcos)cot 4sin43388 CC CC C .又因 62 C ,故 333333 cotcot 88288682 ABC S ，故 33 82 ABC S

24、 . 故 ABC S的取值范围是 33 (,) 82 【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求 解） ，最后考查VABC是锐角三角形这个条件的利用。考查的很全面，是一道很好的考题. 19.图 1 是由矩形,ADEB Rt ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中 1,2ABBEBF， 60FBC，将其沿 ,AB BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图 2. （1）证明图 2 中的,A C G D四点共面，且平面ABC 平面BCGE； （2）求图 2 中的四边形ACGD的面积. 【答案】(1)见详解；(2)4. 【解析】 【分析】 (1

25、)因为折纸和粘合不改变矩形ABED，Rt ABC和菱形BFGC内部的夹角，所以/ADBE，/BFCG 依然成立， 又因E和F粘在一起， 所以得证.因为AB是平面BCGE垂线， 所以易证.(2) 欲求四边形ACGD 的面积，需求出CG所对应的高，然后乘以CG即可。 【详解】(1)证：/ADBE，/BFCG，又因为E和F粘在一起. /ADCG，A，C，G，D 四点共面. 又,ABBE ABBC. AB平面 BCGE，AB 平面 ABC，平面 ABC平面 BCGE，得证. (2)取CG的中点M，连结 ,EM DM.因为 /ABDE，AB 平面 BCGE，所以DE 平面 BCGE，故 DECG， 由已

26、知，四边形 BCGE菱形，且 60EBC得EMCG，故CG平面 DEM。 因此DMCG。 在RtDEM中，DE=1，3EM ，故2DM 。 所以四边形 ACGD的面积为 4. 【点睛】很新颖的立体几何考题。首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的。再者 粘合后的多面体不是直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法。最后将求四边形 ACGD的面积考查考生的空间想象能力. 20.已知函数 32 ( )22f xxax. （1）讨论 ( )f x的单调性； （2）当03a时，记 ( )f x在区间0,1的最大值为M，最小值为m，求M m的取值范围. 【答案】(1)见详解

27、；(2) 8 ,2) 27 . 【解析】 【分析】 (1)先求 ( )f x的导数，再根据a的范围分情况讨论函数单调性；(2) 讨论a的范围，利用函数单调性进行最 大值和最小值的判断，最终求得Mm的取值范围. 【详解】(1)对 32 ( )22f xxax求导得 2 ( )626 () 3 a fxxaxx x.所以有 当0a 时，(,) 3 a 区间上单调递增，(,0) 3 a 区间上单调递减，(0,)区间上单调递增； 当0a 时，(,) 区间上单调递增； 当0a时，(,0)区间上单调递增，(0,) 3 a 区间上单调递减，(,) 3 a 区间上单调递增. (2) 若02a， ( )f x在

28、区间(0,) 3 a 单调递减，在区间(,1) 3 a 单调递增，所以区间0,1上最小值为( ) 3 a f.而 (0)2,(1)22(0)ffaf，故所以区间0,1上最大值为(1)f. 所以 3 32 (1)( )(4) 2( )( )22 33327 aaaa Mmffaaa，设函数 3 ( )2 27 x g xx，求导 2 ( )1 9 x g x 当02x时 ( )0g x 从而( )g x单调递减.而02a，所以 3 8 22 2727 a a.即 Mm的取值范围是 8 ,2) 27 . 若23a， ( )f x在区间(0,) 3 a 单调递减，在区间(,1) 3 a 单调递增，所

29、以区间0,1上最小值为( ) 3 a f而 (0)2,(1)22(0)ffaf，故所以区间0,1上最大值为(0)f. 所以 3 32 (0)( )2 2( )( )2 33327 aaaa Mmffa，而23a，所以 3 8 1 2727 a .即Mm的 取值范围是 8 (,1) 27 . 综上得Mm的取值范围是 8 ,2) 27 . 【点睛】(1)这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少.考查的函数单调性，最 大值最小值这种基本概念的计算.思考量不大，由计算量补充. 21.已知曲线 2 :, 2 x C yD，为直线 1 2 y 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为

30、,A B. （1）证明：直线AB过定点： （2）若以 5 0, 2 E 为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程. 【答案】(1)见详解；(2) 22 5 ()4 2 xy或 22 5 ()2 2 xy. 【解析】 分析】 （1） 可设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy， 1 ( ,) 2 D t 然后求出 A， B两点处的切线方程， 比如AD： 111 1 () 2 yx xt， 又因为BD也有类似的形式，从而求出带参数直线AB方程，最后求出它所过的定点. （2）由(1)得带参数的直线AB方程和抛物线方程联立，再通过M为线段AB的中点，EM AB 得出t

31、的 值，从而求出M坐标和EM的值，最后求出圆的方程. 【详解】(1)证明：设 1 ( ,) 2 D t , 11 ( ,)A x y,则 2 11 1 2 yx。又因为 2 1 2 yx，所以yx.则切线 DA的斜率 为 1 x，故 111 1 () 2 yx xt，整理得 11 2210txy .设 22 (,)B xy，同理得 11 2210txy . 11 ( ,)A x y, 22 (,)B xy都满足直线方程2210txy .于是直线2210txy 过点 ,A B，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB方程为2210txy .即2( 21)0txy ，当 20, 210ty 时等式

32、恒成立。所以直线AB恒过定点 1 (0,) 2 . (2)由(1)得直线AB方程为2 210txy ，和抛物线方程联立得： 2 2210 1 2 txy yx 化简得 2 210xtx .于是 12 2xxt, 2 1212 () 121yyt xxt 设M为线段 AB的中点，则 2 1 ( ,) 2 M t t 由于EM AB ，而 2 ( ,2)EMt t,AB与向量(1, ) t平行，所以 2 (2)0tt t， 解得0t 或1t . 当0t 时，(0, 2)EM ，2EM 所求圆的方程为 22 5 ()4 2 xy; 当1t 时，(1, 1)EM 或( 1, 1)EM ，2EM 所求圆

33、的方程为 22 5 ()2 2 xy. 所以圆的方程为 22 5 ()4 2 xy或 22 5 ()2 2 xy. 【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就 可以.思路较为清晰，但计算量不小. （二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分分. .请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答, ,如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分 选修选修 4 4- -4 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22.如图，在极坐标系Ox中，(2,0)A，( 2,) 4 B ，( 2,) 4 C ，(

34、2, )D，弧AB，BC，CD所在圆的 圆心分别是(1,0)，(1,) 2 ，(1, )，曲线 1 M是弧AB，曲线 2 M是弧BC，曲线 3 M是弧CD. （1）分别写出 1 M， 2 M， 3 M的极坐标方程； （2）曲线M由 1 M， 2 M， 3 M构成，若点P在M上，且| |3OP ，求P的极坐标. 【答案】(1) 2cos (0,) 4 , 3 2sin (,) 44 , 3 2cos (, ) 4 , (2) ( 3,) 6 ,( 3,) 3 , 2 ( 3,) 3 , 5 ( 3,) 6 . 【解析】 【分析】 (1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方

35、程中的取值范围. (2)根据条件3逐个方程代入求解，最后解出P点的极坐标. 【详解】(1)由题意得，这三个圆的直径都是 2，并且都过原点. 1: 2cos (0,) 4 M ， 2 3 :2cos()2sin (,) 244 M , 3 3 :2cos()2cos (, ) 4 M . (2)解方程2cos3(0, ) 4 得 6 ，此时 P 的极坐标为( 3,) 6 解方程 3 2sin3(,) 44 得 3 或 2 3 ，此时 P 的极坐标为( 3,) 3 或 2 ( 3,) 3 解方程 3 2cos3(, ) 4 得 5 6 ，此时 P 的极坐标为 5 ( 3,) 6 故 P 的极坐标为

36、( 3,) 6 ,( 3,) 3 , 2 ( 3,) 3 , 5 ( 3,) 6 . 【点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题. 选修选修 4 4- -5 5：不等式选讲：不等式选讲 23.设, ,x y z R，且1xyz. （1）求 222 (1)(1)(1)xyz的最小值； （2）若 222 1 (2)(1)() 3 xyza成立，证明：3a或1a. 【答案】(1) 4 3 ；(2)见详解. 【解析】 【分析】 (1)根据条件 1xyz ，和柯西不等式得到 222 4 (1)(1)(1) 3 xyz， 再讨论 , ,x y z是否可以达到 等号成立的

37、条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的 , ,x y z代入原不等式，便可得到参数a的取 值范围. 【详解】(1) 22222222 (1)(1)(1) (111 )(1)(1)(1)(1)4xyzxyzxyz 故 222 4 (1)(1)(1) 3 xyz等号成立当且仅当111xyz 而又因1xyz，解得 5 3 1 3 1 3 x y z 时等号成立 所以 222 (1)(1)(1)xyz的最小值为 4 3 . (2) 因为 222 1 (2)(1)() 3 xyza，所以 222222 (2)(1)() (111 )1xyza. 根据柯西不等式等号成立条件，当21xyza ，

38、即 2 2 3 2 1 3 2 3 a x a y a za 时有 22222222 (2)(1)() (111 )(21)(2)xyzaxyzaa 成立. 所以 2 (2)1a成立，所以有3a或1a. 另解：用反证法. 若3a或1a不成立，那么13a成立，则 2 (2)1a而 2222222 (2)(1)() (111 )(21)xyzaxyza 左面等号成立当且仅当 21xyza ，又因为1xyz所以 2 21 3 a xyza .故此时 22222222 (2)(1)() (111 )(21)(2)1xyzaxyzaa ,即 222 1 (2)(1)() 3 xyza，与原命题矛盾放 【点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型.