2020届深圳市高三文科数学二模试卷含答案.pdf

1、 文科数学试题答案及评分参考第1页（共13页） 2020 年深圳市高三第二次调研考试 文科数学试题答案及评分参考 一、选择题 1. A 2. B 3. D 4. D 5. C 6. A 7. C 8. B 9. C 10. B 11. C 12. D 12.【解析】如图，取PB的中点M，连接CM 因为平面PBC平面ABC，平面PBC平面ABCBC=，AC平面ABC，ACBC，所以 AC 平面PBC. 设点A到平面PBC的距离为2hACx=； 由于2PCBC=，2PBx=（02x），M为PB的中点， 所以CMPB， 2 4CMx= ， 可得 22 1 244 2 PBC Sxxxx =， 22

2、2 124 (4)2 33 A PBC xx Vxxx = ， 设 2 4(02)txt= ，则 22 4xt=，所以 23 2 (4)82 (02) 33 A PBC tttt Vt = ， 关于t求导得 2 86 ( ) 3 t V t = ，令( )0V t = ，解得 2 3 3 t =，或 2 3 3 t = （舍）， 由 ( )V t单调性可知，当 2 3 3 t =时， 32 3 () 27 A PBC V = 最大 . 二、填空题： 13. 1 2 14. 5 12 或75 15. n 72 16. 5 38 16.解析：由题意得，), 0(bA，)0 ,( cF ，直线MN的

3、方程为bxy=3， 将by 5 3 =代入椭圆方程解得ax 5 4 =，所以) 5 3 , 5 4 (baN， 因为N在直线MN上，所以bab= 5 4 3 5 3 ，解得 2 3 = a b ， 所以 2 1 1 2 2 = a b e. 又 222 cba+=，所以 222 ) 3 2 (cbb+=，解得cb3=， 又)0 , 3 ( b M，所以)0 ,(cM， 所以M为椭圆C的右焦点，所以cFM2=， 绝密绝密启封并使用完毕前启封并使用完毕前 试题类型：试题类型：A 文科数学试题答案及评分参考第2页（共13页） 由椭圆的定义可知，aNMNF2=+， 所以622=+ ca，又ca2=，所

4、以1=c，2=a，3=b， 所以FAN的面积 5 38 5 8 )( 5 3 2 1 =bcbbFMS. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12 分） 已知各项都为正数的等比数列， 2 32a =， 345 8a a a = （1）求数列 n a 的通项公式； （2）设 2 log nn ba= ， 123 | nn Tbbbb=+，求 n T 【解析】（1）由等比数列通项公式可得 12 32aa q= ， 1 分 又 3 4 8a=可得 3 14 2aa q=， 3 分 联立得 7 1 2a =， 1 4

5、q =，或 1 4 q = （舍）， 5 分 所以 9 2 2 n n a =， Nn . 6 分 （2）由（1）知 2 log92 nn ban= ，Nn ， 7 分 92 , 14 | |92 | 29, 4. n nn bn nn = ， 8 分 当14n时， 2 7(92 ) 8 2 n n Tnnn + =； 9 分 当4n时， 2 1(29) (753 1)(4)832 2 n n Tnnn + =+ +=+， 11 分 所以 2 2 8, 14, 832, 4. n nnn T nnn = + 12 分 【命题意图】考查等比数列的通项公式、等比中项性质、等差数列的前n项和公式、指

6、数化简、 分段函数等知识点，考查解方程和分类讨论思想，体现了数学运算的核心素养 18（本小题满分 12 分） 为了比较两种治疗某病毒的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，某医疗团队随机地选取了服 用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如下等高条形图 （1）根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由； （2）为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别 抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天），统计并绘制了如下茎叶图，从茎叶图看，哪一 n a 0% 20% 40% 60% 80% 100% 甲药乙药 未治愈 治愈 文科数学试题答案

7、及评分参考第3页（共13页） 种药的疗效更好，并说明理由； 甲药 乙药 8 6 5 4 0 6 7 8 2 2 1 0 0 1 1 2 3 7 2 2 2 3 3 1 （3）标准差s除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平 的程度如果出现了治疗时间在 )3,3(sxsx+ 之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要 对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合（2）中甲药 的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？ 参考公式：)()()( 1 22 2 2 1 xxxxxx n s n +=. 参考数据：482340 . 【解析】

8、（1）甲药的治愈率更高 分 （）甲药的疗效更好 4 分 理由一：从茎叶图可以看出，有 10 9 的叶集中在茎0，1上，而服用乙药患者的治疗时间有 5 3 的叶集中在茎1，2上，还有 10 1 的叶集中在茎3上，所以甲药的疗效更好 理由二：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗时间的中位数为10天，而服用乙药患者的 治疗时间的中位数为5 .12天，所以甲药的疗效更好 理由三：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗时间的平均值为10天，而服用乙药患者的 治疗时间的平均值为15天，所以甲药的疗效更好 6 分 以上给出了三种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分以上给出了三种理由，考生答出其中任

9、意一种或其他合理理由均可得分 （）由（）中茎叶图可知，服用甲药患者的治疗时间的平均值和方差分别为 10 10 2212121110108654 = + =x， 8 分 8 . 44 .23 10 144441004162536 = + =s， 10 分 则4 . 43 sx，4 .243 + sx，而4 .2426， 所以应该对患者进行进一步检查 12 分 【命题意图】本题主要考查利用等高条形图，茎叶图，平均值，方差等知识，体现了数据分 析、数学运算等核心素养 19（本小题满分 12 分） 如图，在直四棱柱 1111 ABCDABC D 中，底面ABCD为菱形，60ABC=， 1 2AAAB=

10、，M，N分别为AB， 1 AA的中点 （1）求证：平面 1 B NC平面CMN； （2）若2AB =，求点N到平面 1 B MC的距离 文科数学试题答案及评分参考第4页（共13页） 【解析】（1）证明：方法一：方法一： 因为直四棱柱 1111 ABCDABC D ， 所以 1 AA 平面ABCD， 因为CM 平面ABCD， 所以 1 AACM ， 因为底面ABCD为菱形，60ABC=，M分别为AB的中 点 所以CMAB， 1 分 因为 1 AAABA= ， 1 AA 平面 11 ABB A，AB 平面 11 ABB A， 所以CM 平面 11 ABB A， 2 分 因为 1 B N 平面 11

11、 ABB A， 所以CM 1 B N； 3 分 因为M为AB中点，N为 1 AA中点， 1 2AAAB=， 所以 11 1 2 1 2 ABAB AN AA = ， 1 1 1 2 2 1 2 AA A N AM AB = ， 因为 11 90B A NNAM= =， 所以 11 AB N ANM， 所以 11 AB NANM= ， 11 A NBAMN= ， 所以 11 90A NBANM+=， 所以 1 B NMN ， 4 分 因为MNCMM=，MN 平面CMN，CM 平面CMN， 所以 1 B N 平面CMN， 5 分 因为 1 B N 平面 1 B NC， 所以平面 1 B NC平面C

12、MN. 6 分 方法二：方法二：假设 2 (0)ABa a= ，则 1 22 2AAABa= 1 分 因为直四棱柱 1111 ABCDABC D ， 所以侧面 11 ABB A为矩形， 因为M为AB中点，N为 1 AA中点， 1 22 2AAABa=， 所以3MNa=， 1 3B Ma= ， 1 6B Na=， 所以 222 11 BMBNMN=+ 所以 1 B NMN ， 2 分 因为底面ABCD为菱形，60ABC=，2ABa=， 所以2ACa=， 所以 22 6CNACANa=+= ， 因为 22 1111 6B NABANa=+=， 22 11 2 3BCBCB Ba=+=， 3 分 所

13、以 2 1 2 1 2 CBNBCN=+， 文科数学试题答案及评分参考第5页（共13页） 所以 1 B NCN ， 4 分 因为MNCNN=，MN 平面CMN，CN 平面CMN， 所以 1 B N 平面CMN， 5 分 因为 1 B N 平面 1 B NC， 所以平面 1 B NC平面CMN 6 分 （2）方法一：方法一：因为直四棱柱 1111 ABCDABC D ，2AB =，M，N分别为AB， 1 AA的中 点， 所以 1 22 2AAAB=， 22 3MNAMAN=+= ， 22 11 3BMBMBB=+=， 22 11 2 3BCBCBB=+=， 22 1111 6B NABAN=+=

14、， 7 分 因为底面ABCD为菱形，60ABC=， 所以3CM =， 22 6CNACAN=+= 8 分 由（1）知 1 B N 平面CMN，设点 1 B到平面CMN的距离为 1 h，则 1 6h =，9 分 因为 222 CNMNCM=+，所以 13 33 22 CMN S=， 因此 1 1 16 32 BCMNCMN VSh = 10 分 因为 1 3B M = ， 1 2 3BC =，3CM =， 所以 1 13 3 33 22 B CM S= =， 11 分 设点N到平面 1 BCM的距离为 2 h， 因为 111 2 1 3 BCMNN B CMB CM VVSh =， 所以 2 1

15、3 36 322 h=， 因此 2 2h = 12 分 方法二：方法二：因为直四棱柱 1111 ABCDABC D ，2AB =，M为AB中点，N为 1 AA中点 所以 1 22 2AAAB=， 22 3MNAMAN=+= ， 22 11 3BMBMBB=+=， 22 11 2 3BCBCBB=+=， 22 1111 6B NABAN=+=， 7 分 又因为底面ABCD为菱形，60ABC=， 可得3CM =， 22 6CNACAN=+= ， 易知 1 AACM ，CMAB， 1 AAABA= ，所以CM 平面 1 B MN， 设点C到平面 1 B MN的距离为 1 h，则 1 3hCM=， 8

16、 分 因为 1 1 113 2 36 222 B MN SMN B N =， 文科数学试题答案及评分参考第6页（共13页） 所以 11 1 16 32 C B MNB MN VSh =， 10 分 因为 1 3B M = ， 1 2 3BC =，3CM =， 所以 1 13 3 33 22 B CM S= =， 11 分 设点N到平面 1 BCM的距离为 2 h， 因为 111 2 1 3 BCMNN B CMB CM VVSh =， 所以 2 13 36 322 h=，因此 2 2h = 12 分 【命题意图】本题主要考查了直棱柱的定义、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理、 等体积法求点

17、到面的距离等知识，重点考查等价转换思想，体现了直观想象、数学运算、逻辑推 理等核心素养 20（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系xOy中，已知定点)0 , 1 (F，点A在x轴的非正半轴上运动，点B在y轴上 运动，满足0=BFAB，A关于点B的对称点为M，设点M的轨迹为曲线C. (1) 求C的方程； (2) 已知点 )2, 3( G ，动直线 )3( =ttx 与C相交于P，Q两点，求过G，P，Q三点的圆 在直线 2=y 上截得的弦长的最小值. 【解析】 （） 方法一：方法一： 设)0 ,(aA，), 0(bB，),(yxM， 因为 0=BFAB ， 1 分 所以() ()0, 1,=b

18、ba，所以 2 ba=， 2 分 又点B为AM的中点，所以0 2 = +ax ，b y = 2 ， 3 分 所以xa=， 4 分 将，式代入 2 ba=，得xy4 2 =， 5 分 所以C的方程为xy4 2 = 6 分 方法二：方法二：如图，过M作y轴的垂线，垂足为H，交FB的延长线于点N，连接MF， 因为B为AM的中点，所以B也为OH的中点,易证BOFRtBHNRt ，1 分 所以HNOF =，BNBF =， 易证MBFRtMBNRt， 2 分 所以MNMF =， 3 分 由1=HN得点N在直线1=x上， 4 分 文科数学试题答案及评分参考第7页（共13页） MN即为点M到直线1=x的距离，

19、5 分 由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以 )0 , 1 (F 为焦点，1=x为准线的抛物线，所以曲线 C的方程为 xy4 2 = 6 分 （2）方法一：由（1）可知，抛物线C的方程为xy4 2 =，令tx =，得ty2=， 设)2 ,(ttP，)2,(ttQ， 7 分 由于点P，Q关于x轴对称，所以过G，P，Q三点的圆E的圆心在x轴上， 设)0 ,(mE，由EPEG =得， 2222 )20()()20()3(ttmm+=+， 化简并整理得 62 134 2 + = t tt m. 8 分 圆E的方程为4) 3()( 222 +=+mymx， 令 2=y ，解得 32 1 = mx ，或 3

20、 2 =x ， 9 分 所以圆E在直线2=y上截得的弦长为 3 52 6 3 134 332 22 21 + = + = t tt t tt mxx， 10 分 又因为03t，且052 2 + tt，所以0 3 52 2 + t tt ， 所以4 3 8 ) 3( 3 8) 3(4) 3( 3 52 22 21 + += + = + = t t t tt t tt xx 4 3 8 ) 3(2+ t t424+=， 11 分 当且仅当 3 8 3 = t t，即223+=t，223=t(舍去)时取等号. 所以当223+=t时，圆E在直线2=y上截得的弦长的最小值为424+.12 分 方法二：方

21、法二：同方法一方法一得到 62 134 2 + = t tt m， 8 分 设圆E在直线2=y上截得的弦为G G ，由垂径定理得 2 2 4) 2 (EG GG =+ ，9 分 所以 3 52 3 62 134 232 22 + = + = t tt t tt mGG 10 分 又因为03t，且052 2 + tt，所以0 3 52 2 + t tt ， 所以4 3 8 ) 3( 3 8) 3(4) 3( 3 52 3 52 222 + += + = + = + t t t tt t tt t tt 文科数学试题答案及评分参考第8页（共13页） 4 3 8 ) 3(2+ t t424+=， 1

22、1 分 当且仅当 3 8 3 = t t，即223+=t，223=t(舍去)时取等号. 所以当223+=t时，圆E在直线2=y上截得的弦长的最小值为424+.12 分 【命题意图】本题以直线、抛物线和圆为载体，借助动圆在定直线截得的弦长为背景，利用 函数与方程思想和基本不等式解决几何问题，主要考察抛物线的定义、几何性质、直线与抛物线 的位置关系和圆的弦长及最值问题等知识，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思 辨能力. 21（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) e 3 e x x f x =，( ) ln2g xaxx=()aR. （1）讨论( )g x的单调性； （2）是否存在

23、实数a，使不等式( )( )fxg x恒成立?如果存在,求出a的值；如果不存在， 请说明理由. 【解析】 （1）( )g x的定义域为()0,+. ( ) 2 2 aax gx xx =， 1 分 （i）当0a 时，( )0gx ，( )g x在()0,+上是减函数； 2 分 （ii）当0a 时，当(0, ) 2 a x，( )0gx ，函数( )g x此时为增函数； 当( ,) 2 a x+，( )0gx ，函数( )g x此时为减函数， 3 分 综上可知：当0a 时，( )g x在()0,+上单调递减；当0a 时，函数( )g x在(0, ) 2 a 上为 增函数，在( ,) 2 a +上

24、为减函数 4 分 （2）方法一：方法一：要使不等式( )( )fxg x恒成立，即不等式 e 3ln2 e x x axx 恒成立， 即不等式eeln2e3e0 x xaxx+ 恒成立， 文科数学试题答案及评分参考第9页（共13页） 令( )eeln2e3e x u xxaxx=+，又( )10u= 5 分 所以当且仅当( )u x的最小值为( )1u，才能保证( )0u x 式成立， 又 ( )() () 2 e2ee e 1 e2e x x xxxa a u xx xx + =+= ， 再令( )() 2 e2ee x v xxxxa=+，( )v x在()0,+上为增函数， 6 分 所以

25、当0a 时， 0)( x u ，此时( )u x为单调递增函数，则( ) 1 10 2 uu = ，不满足题 意； 7 分 当04a时， 此时( )()14e0va=， 此时( )0e0va= ， 也就是说存在一个 0 x ()0,1使() 0 0v x=， 当() 0 0,xx时，( )0v x ， 即( )0ux ，此时( )u x为减函数； 当() 0,1 xx时，( )0v x ，即( )0ux，此时( )u x为增函数； 则()( ) 0 10u xu= . 所以不满足题意. 9 分 同理可得：当4a 时也不满足.（因为( )()14e0va=，( ) 0v a ，所以存在() 0

26、1,xa 使() 0 0v x= ，当() 0 1,xx 时，( )0v x ， 即( )0ux ，此时( )u x为减函数； 当() 0, xx a 时，( )0v x ，即( )0ux ，此时( )u x为增函数； 则()( ) 0 10u xu= ， 所以不满足题意. 10 分 当4a =时，此时( )10v=，又( )v x在()0,+单调递增. 所以当()0,1x时，( )0v x ，即( )0ux ，所以此时( )u x在()0,1上为减函数； 当()1,x+时，( )0v x ，即( )0ux ，所以此时( )u x在()1,+上为增函数； 所以此时( )u x的最小值为( )1

27、0u=，满足题意， 11 分 文科数学试题答案及评分参考第10页（共13页） 综上所述，可知4a = 12 分 方法二：方法二： ( )( )fxg x，即 e 3ln2 e x x axx ， 等价于eeln2e3e0 x xaxx+ ， 设( )eeln2e3e x u xxaxx=+，又( )10u=， 5 分 所以要使不等式成立，必须( )u x在1x =取得极小值， 又 ( )() () 2 e2ee e 1 e2e x x xxxa a u xx xx + =+= ， 所以( )10 u =，解得 4a =. 7 分 检验当4a =时， ( ) () 2 e2e4e x xxx u

28、x x + = ， 设( )() 2 e2e4e x v xxxx=+，又( )10v=， 8 分 显然( )v x在()0,+为增函数， 9 分 所以当()0,1x时，( )0v x ，即( )0ux ， 所以此时( )u x在()0,1上为减函数； 10 分 当()1,x+时，( )0v x ，即( )0ux ， 所以此时( )u x在()1,+上为增函数； 11 分 所以此时( )u x的最小值为( )10u=，满足题意 综上所述，可知4a =. 12 分 【命题意图】本题旨在考查导数在研究函数时的应用，用导数研究函数的单调性，以不等式 恒成立为载体，综合考查学生的分类讨论、化归转化、数

29、形结合等数学思想，考查了学生的数学 运算、逻辑推理等数学核心素养. 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题做答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做两题中任选一题做答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做 的第一题计分，做答时请用的第一题计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22 （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相 文科数学试题答案及评分参考第11页（共13页） 垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A，B，它们可分别在

30、纵槽和横槽中滑动，在直尺上的 点M处用套管装上铅笔， 使直尺转动一周， 则点M的轨迹C是一个椭圆， 其中2MA =，1MB =， 如图，以两条导槽的交点为原点O，横槽所在直线为x轴，建立直角坐标系. （1）将以射线Bx为始边，射线BM为终边的角xBM记为(0 2)，用表示点M的 坐标，并求出C的普通方程； （2）已知过C的左焦点F，且倾斜角为( 0 2 )的直线 1 l与C交于D，E两点，过点 F且垂直于 1 l的直线 2 l与C交于G，H两点. 当 1 |FE ，| |GH ， 1 |FD 依次成等差数列时，求 直线 2 l的普通方程. （第 22 题图） 【解析】（1）设( , )M x

31、y，由题可知2cosx=，siny=，所以(2cossin )M，2 分 因为 22 cossin1+=，所以 2 2 1 4 x y+=，所以C的普通方程为 2 2 1 4 x y+=. 4 分 （2）因为 1 l的倾斜角为( 0 2 )， 12 ll，所以 2 l的倾斜角 + 2 ， 由题意，易知(30)F ，可设直线 1 l： 3cos sin xt yt = + = ， （t为参数）， 5 分 将 3cos sin xt yt = + = ， ， 代入 2 2 1 4 x y+=，得 22 (1 3sin)2 3 cos10tt+ =， 易知 22 12cos4(1 3sin)160=

32、+=， 设D，E对应的参数分别为 1 t， 2 t，则 12 2 2 3cos 1 3sin tt += + ， 1 2 2 1 13sin t t = + ， 所以 2 12121 2 2 4 |()4 1 3sin ttttt t =+= + ， 由参数的几何意义得， 12 12121 2 |111111 |4 | tt FEFDttttt t +=+= ， 7 分 文科数学试题答案及评分参考第12页（共13页） 设G，H对应的参数分别为 3 t， 4 t，同理，对于直线 2 l，将换为 + 2 ， 即得到， 2 34343 4 2 4 |()4 1 3cos GHttttt t =+=

33、+ ， 9 分 因为 1 |FE ，| |GH ， 1 |FD 成等差数列，所以 11 2| | GH FEFD += ， 所以 2 4 |2 1 3cos GH = + ，所以 2 1 cos 3 =，易得tan 2= ，所以 2 l的斜率为 2 2 ， 所以直线 2 l的普通方程为 230xy+=. 10 分 【命题意图】本题主要考查椭圆的参数方程，直线参数方程中参数的几何意义，考查数学运 算、逻辑推理等核心素养考查学生的化归与转化能力 23（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知a，b，c为正实数，且满足1abc+ + =证明： （1） 11 |1| 22 abc+ ； （2

34、） 333 222 111 ()()3abc abc + 【解析】 （1）证明：因为a，b，c为正实数，且1abc+ + =， 所以 1 0bca+ = ， 2 分 所以 1 |1| 2 abc+ 1 | 2 aa=+ 11 |()()| 22 aa+ =， 当且仅当 1 ()()0 2 aa时，又a为正实数， 所以当 1 0 2 a时，等号成立， 所以 11 |1| 22 abc+ 4 分 （2） 333 222222 111111 ()()3()abcabc abcabc + 6 分 3 222 () 2 bcacab abc =+ 3 ( )()() 2 cbcaab abc bcacb

35、a =+ 8 分 3 (222) 2 c bc aa b abc b ca cb a + 3()3abc=+=， （当且仅当 1 3 abc=时，等号成立） 333 222 111 ()()3abc abc + 10 分 文科数学试题答案及评分参考第13页（共13页） 方法二：方法二： 因为()( ) () 2 333333222 abcabcabcabc+=+ +， 5 分 所以要证() 333 222 111 3abc abc + 成立， 只需证() 2 222 222 111 3abc abc + 成立， 6 分 即证() 222 222222 1113 abc abcabc + + 成立 又()() 2 222 222 111 1 1 19abc abc + += ， 7 分 即证 222 1 3 abc+， 即证()() 222 1 1 11abc+ +， 8 分 又()()() 2 222 1 1 11abcabc+ +=， 9 分 当且仅当 1 3 abc=时，等号成立.命题得证. 10 分 【命题意图】本题以绝对值不等式和均值不等式的证明为载体，考查学生的运算能力，转化 化归思想及数学抽象，逻辑推理等数学核心素养.