考点15-导数的综合应用课件.ppt

1、15导数的综合应用导数的综合应用1不等式的证明问题不等式的证明问题可以从所证不等式的结构和特点出发，结合已有的知识利可以从所证不等式的结构和特点出发，结合已有的知识利用转化与化归思想，构造一个新的函数，再借助导数确定函数用转化与化归思想，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明，其一般步骤是：构造可导函数明，其一般步骤是：构造可导函数研究单调性或最值研究单调性或最值得出得出不等关系不等关系整理得出结论整理得出结论2导数在研究函数零点中的应用导数在研究函数零点中的应用(1)研究函数图象的交点

2、、方程的根、函数的零点归根到研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等底是研究函数的性质，如单调性、极值等(2)用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决3利用导数解决实际应用问题一般有如下几类利用导数解决实际应用问题一般有如下几类(1)给出了具体的函数关系式，只需研究这个函数的性质给出了具体的函数关系式，只需研

3、究这个函数的性质即可；即可；(2)函数关系式中含有比例系数，根据已知数据求出比例函数关系式中含有比例系数，根据已知数据求出比例系数得到函数关系式，再研究函数的性质；系数得到函数关系式，再研究函数的性质；(3)没有给出函数关系，需要先建立函数关系，再研究函没有给出函数关系，需要先建立函数关系，再研究函数的性质数的性质考向考向1 利用导数解决不等式问题利用导数解决不等式问题利用导数解决不等式问题是近几年高考的热点，常以解利用导数解决不等式问题是近几年高考的热点，常以解答题的形式作为试卷的最后一题考查，以压轴题形式出现，难答题的形式作为试卷的最后一题考查，以压轴题形式出现，难度较大，属中高档题常常涉

4、及不等式恒成立、证明不等式以度较大，属中高档题常常涉及不等式恒成立、证明不等式以及比较大小问题及比较大小问题例例1(2016课标课标文文，21，12分分)设函数设函数f(x)ln xx1.(1)讨论讨论f(x)的单调性；的单调性；(3)设设c1，证明当，证明当x(0，1)时，时，1(c1)xcx.令令f(x)0解得解得x1.当当0 x0，f(x)单调递增；单调递增；当当x1时，时，f(x)0，f(x)单调递减单调递减由由(1)知知f(x)在在x1处取得最大值，最大值为处取得最大值，最大值为f(1)0，所以当，所以当x(1，)时，时，ln x1，设，设g(x)1(c1)xcx，则则g(x)c1c

5、xln c，当当x0，g(x)单调递增；单调递增；当当xx0时，时，g(x)0，g(x)单调递减单调递减又又g(0)g(1)0，故当，故当0 x0.所以当所以当x(0，1)时，时，1(c1)xcx.1利用导数证明不等式的方法利用导数证明不等式的方法(1)证明证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果，如果F(x)0，则，则F(x)在在(a，b)上是减函数，同时若上是减函数，同时若F(a)0，由减函数的定义可知，由减函数的定义可知，x(a，b)时，有时，有F(x)0，即，即证明了证明了f(x)g(x)(2)证明证明f(x)g(x)，x(a，b)，

6、可以构造函数，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果，如果F(x)0，则，则F(x)在在(a，b)上是增函数，同时若上是增函数，同时若F(a)0，由增函数的定义可知，由增函数的定义可知，x(a，b)时，有时，有F(x)0，即，即证明了证明了f(x)g(x)2不等式成立不等式成立(恒成立恒成立)问题问题(1)f(x)a恒成立恒成立f(x)mina，f(x)a成立成立f(x)maxa.(2)f(x)b恒成立恒成立f(x)maxb，f(x)b成立成立f(x)minb.(4)x1M，x2N，f(x1)g(x2)f(x1)ming(x2)max.x1M，x2N，f(x1)g(x2)f(x1)ming

7、(x2)min.x1M，x2N，f(x1)g(x2)f(x1)maxg(x2)min.x1M，x2N，f(x1)g(x2)f(x1)maxg(x2)max.变式训练变式训练(2018陕西渭南月考陕西渭南月考，21，12分分)已知函数已知函数f(x)ln xx3.(1)求函数求函数f(x)的最大值；的最大值；(2)求证：求证：ln(221)ln(321)ln(421)ln(n21)12ln n！(n2，nN*)当当0 x1时，时，f(x)0；当当x1时，时，f(x)0.f(x)在在(0，1)上单调递增，在上单调递增，在(1，)上单调递减，上单调递减，f(x)的最大值为的最大值为f(1)4.(2)

8、证明证明：f(x)ln xx3在在(1，)上单调递减，上单调递减，f(x)f(1)4，即即ln xx34，ln xx1在在(1，)上恒成立上恒成立即即ln(221)ln(321)ln(421)ln(n21)12ln n！(n2，nN*)考向考向2 利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究与函数零点有关的问题从近几年高考命题情况来看，试题有小题也有大题，作从近几年高考命题情况来看，试题有小题也有大题，作为解答题难度较大此类试题一般以含参数的三次式、分式、为解答题难度较大此类试题一般以含参数的三次式、分式、以以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方为底的指数式或对数式及三角函数式

9、结构的函数零点或方程根的形式出现，是近几年高考命题的热点，一般有下列两种程根的形式出现，是近几年高考命题的热点，一般有下列两种考查形式：考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题或取值范围问题例例2(2017课标课标，21，12分分)已知函数已知函数f(x)ae2x(a2)exx.(1)讨论讨论f(x)的单调性；的单调性；(2)若若f(x)有两个零点，求有两个零点，求a的取值范围的取值范围【解析解析】(1)f(x)

10、的定义域为的定义域为(，)，f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1)若若a0，则，则f(x)0，则由则由f(x)0得得xln a.当当x(，ln a)时，时，f(x)0.所以所以f(x)在在(，ln a)上单调递减，在上单调递减，在(ln a，)上单调上单调递增递增(2)若若a0，由，由(1)知，知，f(x)至多有一个零点至多有一个零点若若a0，由，由(1)知，当知，当xln a时，时，f(x)取得最小值，取得最小值，又又f(2)ae4(a2)e222e220，故，故f(x)在在(，ln a)上有一个零点上有一个零点1利用导数研究方程根的方法利用导数研究方程根的方法研究方程根的

11、情况，可以通过导数研究函数的单调性、最研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极走势规律，标明函数极(最最)值的位置，通过数形结合的思想去值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现现2判断函数零点的个数的方法判断函数零点的个数的方法(1)直接法：令直接法：令f(x)0，则方程解的个数即为零点的个，则方程解的个数即为零点的个数数(2)画图法：转化为两个易画出图象的函数，

12、看其交点的画图法：转化为两个易画出图象的函数，看其交点的个数即可个数即可(3)定理法：利用零点存在性定理判定，可结合最值、极定理法：利用零点存在性定理判定，可结合最值、极值去解决值去解决(1)当当a为何值时，为何值时，x轴为曲线轴为曲线yf(x)的切线；的切线；(2)用用min m，n表示表示m，n中的最小值，设函数中的最小值，设函数h(x)minf(x)，g(x)(x0)，讨论，讨论h(x)零点的个数零点的个数解解：(1)f(x)3x2a.设曲线设曲线yf(x)与与x轴相切于点轴相切于点(x0，0)，则则f(x0)0，f(x0)0，(2)当当x(1，)时，时，g(x)ln x0，从而从而h(

13、x)minf(x)，g(x)g(x)0.所以只需考虑所以只需考虑f(x)在在(0，1)上的上的零点个数零点个数考向考向3 利用导数研究实际生活中的最优化问题利用导数研究实际生活中的最优化问题以实际生活为背景，通过求面以实际生活为背景，通过求面(容容)积最大、用料最省、积最大、用料最省、利润最大、效率最高等问题考查学生分析问题、解决问题以及利润最大、效率最高等问题考查学生分析问题、解决问题以及建模的能力，常与函数关系式的求法、函数的性质建模的能力，常与函数关系式的求法、函数的性质(单调性、单调性、最值最值)、不等式、导数、解析几何中曲线方程、空间几何体等、不等式、导数、解析几何中曲线方程、空间几

14、何体等知识交汇考查这类问题是高考的一种常见题型，属于中等难知识交汇考查这类问题是高考的一种常见题型，属于中等难度度(1)求求k的值及的值及f(x)的表达式；的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值达到最小，并求最小值当当0 x5时，时，f(x)0；当；当5x10时，时，f(x)0，所以当隔热层修建所以当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值厚时，总费用达到最小值70万元万元利用导数解决生活中的实际应用问题的一般步骤利用导数解决生活中的实际应用问题的一般步骤(1)分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的分析实际问题中各变量之间的关系，列

15、出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)，由，由实际意义确定定义域；实际意义确定定义域；(2)求函数的导数求函数的导数f(x)，解方程，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和使得比较函数在区间端点和使得f(x)0的点的函数值的大的点的函数值的大小，最大小，最大(小小)者为最大者为最大(小小)值；值；(4)回归实际问题作答回归实际问题作答在利用导数解决实际问题时，若在定义域内只有一在利用导数解决实际问题时，若在定义域内只有一个极值，则这个值即为最优解个极值，则这个值即为最优解(1)求求a，b的值，并确定的值，并确定y关于关于x的函数解析式；的函数解析式；解解：(1)由题意，知由题意，知x2时，时，y800，ab800.又又x3时，时，y150，b300，可得，可得a500，当当1x4时，时，f(x)500(x3)2(x1)300，则则f(x)5002(x3)(x1)500(x3)2500(3x5)(x3)，当当x4时时f(x)有最大值有最大值1 800.当当4x12时，时，当当x5.3时有最大值时有最大值1 840.1 8001 840，当当x5.3时时f(x)有最大值有最大值1 840，即当销售价格为即当销售价格为5.3元时，使店铺每日销售该特产所获利润最元时，使店铺每日销售该特产所获利润最大大