竞赛中的三角问题(DOC 32页).doc

1、 Y.P.M数学竞赛讲座 1 竞赛中的三角问题 高中联赛中的三角问题具有知识的载体性、综合性和方法的功能性,本文分类研究竞赛中的三角问题. 1.角的范围例1:(2000年全国高中数学联赛试题)设sina0,cosacos,则的取值范围是( )(A)(2kp+,2kp+),kZ (B)(+,+),kZ(C)(2kp+,2kp+p),kZ (D)(2kp+,2kp+)(2kp+,2kp+p),kZ解析:类题:1.(2006年全国高中数学联赛四川初赛试题)若是第二象限的角,则-是( )(A)第一象限角 (B)第二象限角 (C)第一、三象限角 (D)第二、四象限角2.(2006年全国高中数学联赛新疆初

2、赛试题)已知是第三象限的角,且sincosx的x的取值范围是_.4.(2005年全国高中数学联赛福建初赛试题)不等式组sinxcosxtanxcotx在(0,2)中的解集(用区间表示)是 .5.(2009年全国高中数学联赛陕西初赛试题)若sin3-cos3cos-sin,02,则角的取值范围是 .6.(2011年全国高中数学联赛试题)如果cos5-sin5e|cos|-ln|sin|,且(0,2),则角的取值范围是 . 2.恒等变换例2:(2003年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知函数f(x)=-,则f(x)可化简为( )(A)cos2x (B)sin2x (C)cosx-sinx (D)c

3、os-sin解析:类题:1.(1981全国高中数学联赛试题)条件甲:=a.条件乙:sin+cos=a.(A)甲是乙的充分必要条件 (B)甲是乙的必要条件 (C)甲是乙的充分条件 (D)甲不是乙的必要条件,也不是充分条件2.(2010年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知条件p:=和条件q:|sin+cos|=.则p是q的( )(A)充分但不必要条件 (B)必要但不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件3.(2011年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知,则-可化简为( )(A)2sin (B)-2sin (C)-2cos (D)2cos 2 Y.P.M数学竞赛讲座 3.(1981全国

4、高中数学联赛试题)设(k=0,1,2,),T=.(A)T取负值 (B)T取非负值 (C)T取正值 (D)T取值可正可负4.(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)化简三角有理式的值为( )(A)1 (B)sinx+cosx (C)sinxcosx (D)1+sinxcosx5.(2007年全国高中数学联赛陕西初赛试题)实数x,y满足tanx=x,tany=y,且|x|y|,则-的值等于 .6.(2008年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知0x,sinx-cosx=.若tanx+可以表示成的形式(a,b,c是正整数).则a+b+c=( )(A)8 (B)32 (C)48 (D)507.(200

5、8年全国高中数学联赛江西初赛试题)若对所有实数x,均有sinkxsinkx+coskxcoskx=cosk2x,则k=( )(A)6 (B)5 (C)4 (D)3 3.三角求值例3:(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)若实数x,满足x=log3tan=-log3tan,且-=则x的值是 .解析:类题:1.(2011年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)若f(g(x)=sin2x,g(x)=tan(0x),则f()= .2.(1996年第七届希望杯数学邀请赛高二试题)已知是第三象限的角,并且sin4cos4=,那么sin2的值是 .3.(2006年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设cos2=,则c

6、os4+sin4的值是 .4.(2011年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设cos4=,则cos4+sin4的值是 .5.(2006年全国高中数学联赛吉林初赛试题)若sin2(x+)-sin2(x-)=-,且x(,),则tanx的值为 .6.(2006年全国高中数学联赛陕西初赛试题)已知为锐角,且=,则= .7.(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)已知=3,则的值是 . 4.角的变换例4:(1992年第三届希望杯数学邀请赛高二试题)若xR,则数列cosx+(n1)的前7项和( )(A)比1大 (B)比1小 (C)等于1 (D)是零解析: Y.P.M数学竞赛讲座 3 类题:1.(2004年全

7、国高中数学联赛河南初赛试题)已知、为锐角,sin=x,cos=y,cos(+)=-,则y与x的函数关系式为 .2.(2009年全国高中数学联赛浙江初赛试题)己知sin+sin=,cos+cos=,则cos2= .3.(2011年第二十二届希望杯数学邀请赛高一试题)已知sin+sin=1,cos+cos=0,则= .4.(1993年第四届希望杯数学邀请赛高二试题)已知,都是锐角,tan=-,coscos=,则sinsin= .5.(2007年第十八届希望杯数学邀请赛高一试题)已知0xy0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是 .2.(2008年全国高中数学联赛吉林初赛试题)为了

8、得到函数y=sin(2x-)的图象,可以将函数y=cos2x的图象( )(A)向右平移个单位长度 (B)向右平移个单位长度(C)向左平移个单位长度 (D)向左平移个单位长度3.(2005年全国高中数学联赛江苏初赛试题)函数y=f(x)的图像按向量a=(,2)平移后,得到的图像的解析式为y=sin(x+)+2,那么y=f(x)的解析式为( )(A)y=sinx (B)y=cosx (C)y=sinx+2 (D)y=cosx+24.(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)把函数y=sin(2c+)-1的图象按向量a=(,1)平移,再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的,则所得图象的函数解析式是

9、. 8.周期性质例8:(2005年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设f1(x)=,f2(x)=sinx+cosx,f3(x)=sin+cosx,f4(x)=sinx2,上述函数中,周期函数的个数是 .解析:类题:1.(2007年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知函数y=sin2x,则( )(A)有最小正周期为2 (B)有最小正周期为 (C)有最小正周期为 (D)无最小正周期2.(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)函数f(x)=sin2x+cos2x的最小正周期是 .3.(2005年全国高中数学联赛山东初赛试题)函数ycos4x+sin2x的最小正周期为 . Y.P.M数学竞赛讲座 5 4.

10、(2011年全国高中数学联赛浙江初赛试题)函数f(x)=2sin-cosx的最小正周期为_.5.(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)xR,函数f(x)=2sin+3cos的最小正周期为 .6.(1994年第五届希望杯数学邀请赛高二试题)函数f1(x)=|sin|cos|,f2(x) =sin+cos,f3(x)=arcos(sinx)的最小正周期分别是T1,T2,T3,则( )(A)T1T2T3 (B)T3T2T1 (C)T1T3T2 (D)T3T10,0,xR)为偶函数的充要条件是( )(A)=2k (B)=k (C)= (D)=k+2.(2010年全国高中数学联赛湖北初赛试题)若|l

11、g|0,0)在同一周期内,当x=时,ymax=3;当x=时,ymin=-3,则函数y的解析式是 .3.(2005年第十六届希望杯数学邀请赛高二试题)函数y=sinax+cosax的最小正周期为4,则它的对称轴可能是直线 .4.(2007年全国高中数学联赛试题)设函数f(x)=3sinx+2cosx+1.若实数a、b、c使得af(x)+bf(x-c)=1对任意实数x恒成立,则的值等于( )(A)- (B) (C)-1 (D)1 11.有界性质例11:(1994全国高中数学联赛试题)设a,b,c是实数.那么对任何实数x,不等式asinx+bcosx+c0都成立的充要条件是( )(A)a,b同时为0

12、,且c0 (B)=c (C)c解析:类题:1.(2005年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知函数f(x)是定义在(-,3上的减函数,且对于xR,f(a2-sinx)f(a+1+cos2x)恒成立.则实数a的取值范围是 .2.(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)过函数f(x)=x+cosx-sinx的图象上的一点的切线的斜率为k,则k的取值范围是 .3.(2009年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知sincos1,则cos(+) .4.(2005年全国高中数学联赛浙江初赛试题)若sinx+siny=1,则cosx+cosy的取值范围是 .5.(2008年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知c

13、osx+cosy=1,则sinx-siny的取值范围是( )(A)-1,1 (B)-2,2 (C)0, (D)-,6.(2008年全国高中数学联赛福建初赛试题)实数x,y满足(0y).则x+y= .7.(2009年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知角,满足2sin2+sin22sin=0,则cos2+cos2的取值范围是 . 12.有界应用例12:(2004年全国高中数学联赛天津初赛试题)若函数f(x)=11-8cosx-2sin2x的最大值为a,最小值为b,则等于( )(A)18 (B)6 (C)5 (D)0解析:类题: Y.P.M数学竞赛讲座 7 1.(2004年全国高中数学联赛四川初赛试

14、题)函数ycos3x+sin2xcosx的最大值等于( )(A)(B)(C)(D)2.(2006年全国高中数学联赛四川初赛试题)x为实数,函数f(x)4cos3x3cos2x6cosx+5的最大值是( )(A)7(B)(C)(D)53.(2005年全国高中数学联赛江苏初赛试题)函数y=|cosx|+|cos2x|(xR)的最小值是 .4.(2004年全国高中数学联赛河南初赛试题)函数f(x)=|sinx|sinx+|cosx|cosx的值域是 .5.(2008年全国高中数学联赛试题)设f(x)=cos2x-2a(1+cosx)的最小值为-,则a= .6.(2009年全国高中数学联赛试题)已知函

15、数y=(acos2x-3)sinx的最小值为-3,则实数a的取值范围是 .7.(2011年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知f(x)=cos2x+p|cosx|+q,xR.记f(x)的最大值为h(p),则h(p)的表达式为 14.单调区间例14:(2010年全国高中数学联赛江苏初赛试题)函数y=|sinx|+|cosx|(xR)的单调减区间是 .解析:类题:1.(2006年第十七届希望杯数学邀请赛高二试题)函数y=logcos(2x)的单调递减区间是 .2.(1998年第九届希望杯数学邀请赛高二试题)函数y=arccos(ax1)在0,1上是减函数,则实数a的取值范围是 .3.(1998年第九

16、届希望杯数学邀请赛高一试题)函数f(x)=2asin(2x+)的值域为-1,1,在区间-,上是单调递减函数,则常数a与的值分别为 .4.(2005年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设函数f(x)=4sinxsin2(+)+cos2x.若|f(x)-m|2成立的充分条件是x,则实数m的取值范围是 .5.(2011年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知sin(x+sinx)=cos(x-cosx),x0,则x= . 15.单调性质例15:(1982年全国高中数学联赛试题)对任何(0,)都有( )(A)sinsincoscoscoscos (C)sincoscoscossin (D)sincoscosc

17、ossin解析:类题:1.(1996年全国高中数学联赛试题)设x(-,0),以下三个数a1=cos(sinx),a2=sin(cosx),a3=cos(x+1)的大小关系是( )(A)a3a2a1 (B)a1a3a2 (C)a3a1a2 (D)a2a3a12.(2008年全国高中数学联赛湖南初赛试题)设a=sin(sin20080),b=sin(cos20080),c=cos(sin20080),d=cos(cos20080),则 8 Y.P.M数学竞赛讲座 a,b,c,d的大小关系是( )(A)abcd (B)badc (C)cdba (D)dcab3.(2007年全国高中数学联赛陕西初赛试

18、题)设a=sin(sin20070),b=sin(cos20070),c=cos(sin20070),d=cos(cos20070),则a,b,c,d的大小关系是( )(A)abcd (B)badc (C)cdba (D)dcabc (B)bca (C)cab (D)bac5.(2004年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知(0,),则sin+cos与1的大小关系是( )(A)sin+cos1 (B)sin+cos1 (C)sin+cos=1 (D)大小与的取值有关 16.单调综合例16:(1990年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设(,),则(cos)cos,(sin)cos,(cos)sin的

19、大小顺序是( )(A)(cos)cos(sin)cos(cos)sin (B)(cos)cos(cos)sin(sin)cos(C) (sin)cos(cos)cos(cos)sin (D)(cos)sin(cos)cos(sin)cos解析:类题:1.(1994全国高中数学联赛试题)已知0b1,0,则下列三数:x=,y=,z=的大小关系是( )(A)xzy (B)yzx (C)zxy (D)xyz2.(1995年全国高中数学联赛试题)logsin1cos1,logsin1tan1,logcos1sin1,logcos1tan1的大小关系是( )(A)logsin1cos1logcos1sin

20、1logsin1tan1logcos1tan1 (B)logcos1sin1logcos1tan1logsin1cos1logsin1tan1(C)logsin1tan1logcos1tan1logcos1sin1logsin1cos1 (D)logcos1tan1logsin1tan1logsin1cos1logcos1sin13.(2008年全国高中数学联赛吉林初赛试题)若0x1,a=()2,b=,c=,则a,b,c的大小关系为 .4.(1998年第九届希望杯数学邀请赛高二试题)函数f(x)=()x+()x,0,0时,f(x)2,则( )(A)0+ (B)0+ (C)+ 17.几何意义例1

21、7:(1989年全国高中数学联赛试题)当s和t取遍所有实数时,则(s+5-3|cost|)2+(s-2|sint|)2所能达到的最小值是_.解析:类题:1.(1984年全国高中数学联赛试题)若动点P(x,y)以等角速度在单位圆上逆时针运动,则点Q(-2xy,y2-x2)的运动方程是( )(A)以角速度在单位圆上顺时针运动 (B)以角速度在单位圆上逆时针运动(C)以角速度2在单位圆上顺时针运动 (D)以角速度2在单位圆上逆时针运动 Y.P.M数学竞赛讲座 9 2.(1990年全国高中数学联赛试题)设A(2,0)为平面上的一定点,P(sin(2t-600),cos(2t-600)为动点,则当t由1

22、50变到450时,线段AP所扫过的图形的面积是_.3.(2004年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知点P(x,y)满足(x-4cos)2+(y-4sin)2=4(R),则点P(x,y)所在区域的面积为( )(A)36 (B)32 (C)20 (D)164.(2000年第十三届希望杯数学邀请赛高二试题)已知方程acosx+bsinx=c在0x上有两个根和,则sin(+) =_.5.(2007年第十八届希望杯数学邀请赛高二试题)函数y=(-x)的单调递减区间是 .6.(2005年全国高中数学联赛试题)设、满足02,若对于任意xR,cos(x+)+cos(x+)+cos(x+)=0,则-= .7.(

23、1996年全国高中数学联赛试题)求实数a的取值范围,使得对任意实数x和任意0,恒有(x+3+2sincos)2+(x+asin+acos)2. 18.三角综合例18:(1994年第五届希望杯数学邀请赛高二试题)方程2sinx=cosx在0,2上的根的个数是 .解析:类题:1.(1984年全国高中数学联赛试题)方程sinx=lgx的实根个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)大于32.(2004年全国高中数学联赛河南初赛试题)方程log2x=3cosx共有( )组解.(A)1 (B)2 (C)3 (D)43.(2010年全国高中数学联赛广东初赛试题)方程x+sinx=2在区间(0,上的实

24、根个数为_.4.(1992年第三届希望杯数学邀请赛高二试题)方程2cos=10x+10x+1的实根的个数是 .5.(2009年全国高中数学联赛四川初赛试题)若实数x满足log2x=1+cos,其中-,0,则函数f(x)=|x-1|+2|x-3|的最大值等于 .6.(2008年全国高中数学联赛吉林初赛试题)若存在钝角,使得sin-cos=log2(x2-x+2)成立,则实数x的取值范围是 .7.(2011年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知函数f(x)=sin(2x-)-m在0,上有两个零点,则m的取值范围 .8.(2002年全国高中数学联赛安徽初赛试题)如果圆x2+y2=k2至少覆盖函数f(x

25、)=sin的一个最大值点和一个最小值点,则k的取值范围是( )(A)|k|3 (B)|k|2 (C)|k|1 (D)1|k|29.(2005年全国高中数学联赛湖南初赛试题)如果圆x2+y2=n2至少覆盖函数f(x)=sin的一个最大点和一个最小点,则正整数n的最小值为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 10 Y.P.M数学竞赛讲座 10.(2000年第十三届希望杯数学邀请赛高二试题)设和分别是方程cos(sinx)=x和sin(cosx)=x在区间(0,)上的解,则它们的大小关系是_.11.(2005年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=sin2x+e|sinx+cosx|的

26、最大值与最小值之差等于_. 19.三角代换例19:(1993年全国高中数学联赛试题)实数x,y满足4x2-5xy+4y2=5,设S=x2+y2,则+=_.解析:类题:1.(2010年全国高中数学联赛江西初赛试题)函数f(x)=的值域是 .2.(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)若实数x、y满足x2+y2=1,则的最小值是 .3.(2010年全国高中数学联赛安徽初赛试题)函数f(x)=2x-的值域是_.4.(2008年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知f(x)=x2+(a2+b2-1)x+a2+2ab-b2是偶函数,则函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值是 .5.(2006年全国高中数学联赛江西初赛试题) x,y为实数,满足x2+y21,则 |x2+2xy-y2|的最大值为 .6.(2011年全国高中数学联赛内蒙古初赛试题)函数f(x)=+的最大值为 .7.(2011年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设x,y为实数,则(x2+y2)=_. 20.三角最值例20:(1994全国高中数学联赛试题)设0,则sin(1+cos)的最大值是 .解析:评注:类题:1.(2006年全国高中数学联赛试题)设f(x)=sin4x-sinxcosx+cos4x,则f(