初中数学竞赛辅导讲义及习题解答-第19讲-转化灵活的圆中角(DOC 16页).doc

1、第十九讲 转化灵活的圆中角 角是几何图形中最重要的元素，证明两直线位置关系、运用全等三角形法、相似三角形法都要涉及角，而圆的特征，赋予角极强的活性，使得角能灵活地互相转化根据圆心角与圆周角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化；由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索；由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角互相联系起来熟悉以下基本图形、基本结论注：根据顶点、角的两边与圆的位置关系，我们定义了圆心角与圆周角，类似地，当角的顶点在圆外或圆内，我们可以定义圆外角与圆内角，这两类角分别与它们的所夹弧度数有怎样的关系?读者可自行作一番探

2、讨【例题求解】【例1】 如图，直线AB与O相交于A，B再点，点O在AB上，点C在O上，且AOC40，点E是直线AB上一个动点(与点O不重合)，直线EC交O于另一点D，则使DE=DO的点正共有 个 思路点拨 在直线AB上使DE=DO的动点E与O有怎样的位置关系?分点E在AB上(E在O内)、在BA或AB的延长线上(E点在O外)三种情况考虑，通过角度的计算，确定E点位置、存在的个数注： 弧是联系与圆有关的角的中介，“由弧到角，由角看弧”是促使与圆有关的角相互转化的基本方法 【例2】 如图，已知ABC为等腰直角三形，D为斜边BC的中点，经过点A、D的O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M，对于如

3、下五个结论：FMC=45；AE+AFAB；2BM2=BFBA；四边形AEMF为矩形其中正确结论的个数是( ) A2个 B3个 C4个 D5个 思路点拨 充分运用与圆有关的角，寻找特殊三角形、特殊四边形、相似三角形，逐一验证注：多重选择单选化是近年出现的一种新题型，解这类问题，需把条件重组与整合，挖掘隐合条件，作深入的探究，方能作出小正确的选择【例3】 如图，已知四边形ABCD外接O的半径为5，对角线AC与BD的交点为E，且AB2=AEAC，BD8，求ABD的面积思路点拨 由条件出发，利用相似三角形、圆中角可推得A为弧BD中点，这是解本例的关键【例4】 如图，已知AB是O的直径，C是O上的一点，

4、连结AC，过点C作直线CDAB于D(ADDB)，点E是AB上任意一点(点D、B除外)，直线CE交O于点F，连结AF与直线CD交于点G (1)求证：AC2=AGAF；(2)若点E是AD(点A除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立?若成立请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由 思路点拨 (1)作出圆中常用辅助线证明ACGAFC； （2）判断上述结论在E点运动的情况下是否成立，依题意准确画出图形是关键 注：构造直径上90的圆周角，是解与圆相关问题的常用辅助线，这样就为勾股定理的运用、相似三角形的判定创造了条件【例5】 如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB=CD=EF，且对角线AD、BE、CF相

5、交于一点Q，设AD与CF的交点为P 求证：（1）；(2) 思路点拨 解本例的关键在于运用与圆相关的角，能发现多对相似三角形(1) 证明QDEACF；(2)易证，通过其他三角形相似并结合(1)把非常规问题的证明转化为常规问题的证明注：有些几何问题虽然表面与圆无关，但是若能发现隐含的圆，尤其是能发现共圆的四点，就能运用圆的丰富性质为解题服务，确定四点共圆的主要方法有： (1)利用圆的定义判定；(2)利用圆内接四边形性质的逆命题判定学历训练1一条弦把圆分成2：3两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为 2如图，AB是O的直径，C、D、E都是O上的一点，则1+2= 3如图，AB是O的直径，弦CDAB，F

6、是CG的中点，延长AF交O于E，CF=2，AF=3，则EF的长为 4如图，已知ABC内接于O，AB+AC=12，ADBC于D，AD3，设O的半径为，AB的长为，用的代数式表示，= 5如图，ABCD是O的内接四边形，延长BC到E，已知BCD：ECD3：2，那么BOD等于( )A120 B136 C144 D1506如图，O中，弦ADBC，DA=DC，AOC=160，则BOC等于( ) A20 B30 C40 D507如图，BC为半圆O的直径，A、D为半圆O上两点，AB=，BC=2，则D的度数为( ) A60 B 120 C 135 D150 8如图，O的直径AB垂直于弦CD，点P是弧AC上一点(

7、点P不与A、C两点重合)，连结PC、PD、PA、AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F给出下列四个结论：CH2=AHBH；AD=AC；AD2=DFDP； EPC=APD，其中正确的个数是( ) A1 B2 C3 D4 9如图，已知B正是ABC的外接圆O的直径，CD是ABC的高 (1)求证：ACBC=BECD；(2) 已知CD=6，AD=3，BD=8，求O的直径BE的长 10如图，已知AD是ABC外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连结FB，FC (1)求证：FB=FC；(2)求证：FB2=FAFD；(3)若AB是ABC的外接圆的直径，EAC=120

8、，BC=6cm，求AD的长 11如图，B、C是线段AD的两个三等分点，P是以BC为直径的圆周上的任意一点(B、C点除外)，则tanAPBtanCPD= 12如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，BAD=60，AC=，则四边形ABCD的面积为 13如图，圆内接四边形ABCD中，A60，B90，AD=3，CD=2，则BC= 14如图，AB是半圆的直径，D是AC的中点，B=40，则A等于( ) A60 B50 C80 D70 15如图，已知ABCD是一个以AD为直径的圆内接四边形，AB=5，PC=4，分别延长AB和DC，它们相交于P，若APD=60，则O的面积为( ) A25 B16 C15

9、D13 (2001年绍兴市竞赛题)16如图，AD是RtABC的斜边BC上的高，AB=AC，过A、D两点的圆与AB、AC分别相交于点E、F，弦EF与AD相交于点G，则图中与GDE相似的三角形的个数为( ) A5 B4 C3 D217如图，已知四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE=EC，AB=AE，且BD=，求四边形ABCD的面积 18如图，已知ABCD为O的内接四边形，E是BD上的一点，且有BAE=DAC 求证：(1)ABEACD；(2)ABDC+ADB CACBD19如图，已知P是O直径AB延长线上的一点，直线PCD交O于C、D两点，弦DFAB于点H，CF交AB于

10、点E (1)求证：PAPB=POPE；(2)若DECF，P=15，O的半径为2，求弦CF的长 20如图，ABC内接于O，BC=4，SABC=，B为锐角，且关于的方程有两个相等的实数根，D是劣弧AC上任一点(点D不与点A、C重合)，DE平分ADC，交O于点E，交AC于点F (1)求B的度数； (2)求CE的长； (3)求证：DA、DC的长是方程的两个实数根 参考答案 第二十讲 直线与圆 直线与圆的位置有相交、相切、相离三种情形，既可从直线与圆交点的个数来判定，也可以从圆心到直线的距离与圆的半径的大小比较来考察讨论直线与圆的位置关系的重点是直线与圆相切，直线与圆相切涉及切线的性质和判定、切线长定理

11、、弦切角的概念和性质、切割线定理等丰富的知识，这些丰富的知识对应着以下基本图形、基本结论：注： 点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系的确定有共同的精确判定方法，即量化的方法(距离与半径的比较)，我们称“由数定形”，勾股定理的逆定理也具有这一特点【例题求解】【例1】 如图，AB是半圆O的直径，CB切O于B，CD切O于D，交BA的延长线于E，若EA=1，ED=2，则BC的长为 思路点拨 从C点看，可用切线长定理，从E点看，可用切割线定理，而连OD，则ODEC，又有相似三角形，先求出O的半径注：连结圆心与切点是一条常用的辅助线，利用切线的性质可构造出直角三角形，在圆的证明与计算中有广泛的应用 【例2

12、】 如图，AB、AC与O相切于B、C，A=50，点P是圆上异于B、C的一个动点，则BPC的度数是( ) A65 B115 C60和115 D130和50 (山西省中考题)思路点拨 略【例3】 如图，以等腰ABC的一腰AB为直径的O交BC于D，过D作DEAC于E，可得结论：DE是O的切线问：(1)若点O在AB上向点B移动，以O为圆心，OB为半径的圆的交BC于D，DEAC的条件不变，那么上述结论是否还成立?请说明理由； (2)如果AB=AC=5cm，sinA=，那么圆心O在AB的什么位置时，O与AC相切? (2001年黑龙江省中考题)思路点拨 (1)是结论探索题，(2)是条件探索题，从切线的判定方

13、法和性质入手，分别画图，方能求解【例4】 如图，已知RtABC中，AC=5，BC=12，ACB=90，P是AB边上的动点(与点A、B不重合)，Q是BC边上的动点(与点B、C不重合) (1)当PQAC，且Q为BC的中点时，求线段PC的长； (2)当PQ与AC不平行时，CPQ可能为直角三角形吗?若有可能，求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由 (广州市中考题) 思路点拨 对于(2)，易发现只有点P能作为直角顶点，建立一个研究的模型以CQ为直径的圆与线段AB的交点就是符合要求的点P，从直线与圆相切特殊位置入手，以此确定CQ的取值范围 注：判定一直线为圆的切线是平面几何中一种常见问题，判定的

14、基本方法有： (1)从直线与圆交点个数入手； (2)利用角证明，即证明半径和直线垂直； (3)运用线段证明，即证明圆心到直线的距离等于半径一个圆的问题，从不同的条件出发，可有不同的添辅助线方式，进而可得不同的证法，对于分层次设问的问题，需整体考虑； 【例5】如图，在正方形ABCD中，AB=1，是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点（1）当DEF=45时，求证点G为线段EF的中点；（2）设AE=x，FC=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）将DEF沿直线EF翻折后得D1EF，如图，

15、当EF=时，讨论AD1D与ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由 思路点拨 图中有多条B的切线，由切线长定理可得多对等长线段，这是解(1)、(2)问的基础，对于(3)，由(2)求出的值，确定E点位置，这是解题的关键注：本例将几何图形置于直角坐标系中，综合了圆的有关性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质等丰富的知识，并结合了待定系数法、数形互助等思想方法，具有较强的选拔功能 学力训练1如图，AB为O的直径，P点在AB延长线上，PM切O于M点，若OA=， FM=，那么PMB的周长为 2PA、PB切O于A、B，APB=78，

16、点C是O上异于A、B的任意一点，则ACB= 3如图，EB、EC是O的两条切线，B、C是切点，A、D是O上两点，如果F=46，DCF=32，则A的度数是 4如图，以ABC的边AB为直径作O交BC于D，过点D作O的切线交AC于E，要使DEAC，则ABC的边必须满足的条件是 5、表示直线，给出下列四个论断：；切O于点A；切O于点B；AB是O的直径若以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，可以构造出一些命题，在这些命题中，正确命题的个数为( ) 1 B2 C3 D4 6如图，圆心O在边长为的正方形ABCD的对角线BD上，O过B点且与AD、DC边均相切，则O的半径是( ) A B C D 7直角梯形

17、ABCD中，ADBC，B=90，AD+BCDC，若腰DC上有一点P， 使APBP，则这样的点( ) A不存在 B只有一个 C只有两个 D有无数个 8如图，圆内接ABC的外角ACH的平分线与圆交于D点，DPAC于P，DHBH于H，下列结论：CH=CP；A D=DB；APBH；DH为圆的切线，其中一定成立的是( ) A B C D 9如图，O是ABC的外接圆，已知ACB=45，ABC=120，O的半径为1，(1)求弦AC、AB的长；(2)若P为CB的延长线上一点，试确定P点的位置，使PA与O相切，并证明你的结论10如图，AB是O的直径，点P在BA的延长线上，弦CDAB于E，且PC2=PEPO (1

18、)求证：PC是O的切线； (2)若OE：EA=1：2，且PA6，求O的半径； (3)求sinPCA的值 11(1)如图a，已知直线AB过圆心O，交O于A、B，直线AF交O于F(不与B重合)，直线交O于C、D，交AB于E且与AF垂直，垂足为G，连AC、 AD，求证：BAD=CAG；ACAD=AEAF(2)在问题(1)中，当直线向上平行移动与O相切时，其他条件不变请你在图b中画出变化后的图形，并对照图a标记字母；问题(1)中的两个结论是否成立?如果成立，请给出证明；如不成立，请说明理由12如图，在RtABC中，A=90，O分别与AB、AC相切于点E、F，圆心O在BC上，若AB=a，AC=b，则O的

19、半径等于 13如图，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动(不与点M重合)，点Q在半圆O上运动，且总保持PQ=PO，过点Q作O的切线交BA的延长线于点C (1)当QPA=60时，请你对QCP的形状做出猜想，并给予证明 (2)当QPAB时，QCP的形状是 三角形 (3)由(1)、(2)得出的结论，请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时，QCP一定是 三角形 14如图，已知AB为O的直径，CB切O于B ，CD切O于D，交BA的延长线于E，若AB=3，ED=2，则BC的长为( ) A2 B3 C35 D4 15如图，PA、PB是O的两条切线，A、B切点，直线OP交O于

20、C、D，交AB于E，AF为O的直径，下列结论：(1)APB=AOP；(2)BC=DF；(3)PCPD=PEPO，其中正确结论的个数有( )A3个 B2个 C1个 D0个 16如图，已知ABC，过点A作外接圆的切线交BC的延长线于点P，点D在AC上，且，延长PD交AB于点E，则的值为( ) A B C D 17如图，已知AB为半圆O的直径，AP为过点A的半圆的切线 在AB上任取一点C(点C与A、B不重合)，过点C作半圆的切线CD交AP于点D；过点C作CEAB，垂足为E连结BD，交CE于点F(1)当点C为AB的中点时(如图1)，求证：CFEF；(2)当点C不是AB的中点时(如图2)，试判断CF与E

21、F的相等关系是否保持不变，并证明你的结论 18如图，ABC中，C=90，AC=6，BC=3，点D在AC边上，以D为圆心的D与AB切于点E(1)求证：ADEABC；(2)设D与BC交于点F，当CF=2时，求CD的长；(3)设CD=，试给出一个值，使D与BC没有公共点，并说明你给出的值符合的要求 19如图，PA、PB与O切于A、B两点，PC是任意一条割线，且交O于点E、C，交AB于点D求证：20如图，O与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，圆心O的坐标是(1，一1)，半径是，(1)求A、B、C、D四点的坐标； (2)求经过点D的切线的解析式；(3)问过点A的切线与过点D的切线是否垂直?若垂直，请写出证明过程；若不垂直，试说明理由21当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想? 如图，设墙壁上的展品最高处点P距离地面a米，最低处点Q距离地面b米，观赏者的眼睛点E距离地面m米，当过 P、Q、E三点的圆与过点E的水平线相切于点E时，视角PEQ最大，站在此处观赏最理想 (1)设点E到墙壁的距离为x米，求a、b、m，x的关系式； (2)当a=2.5，b=2，m=1.6时，求： (a)点E和墙壁距离x米；(b)最大视角PER的度数(精确到1度) 参考答案 21