竞赛中的不等式问题(DOC 29页).doc
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- 竞赛中的不等式问题DOC 29页 竞赛 中的 不等式 问题 DOC 29
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1、 Y.P.M数学竞赛讲座 1 不等式的基本问题 高中联赛中不等式的基本问题包括:不等式的同向可加性、函数的单调性质、大小比较和解不等式. 1.同向可加例1:(1983年全国高中数学联赛试题)(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知函数f(x)=ax2c,满足4f(1)1,1f(2)5.那么,f(3)的取值范围是_.解析:类题:1.(2010年辽宁高考试题)已知-1x+y4,且2x-y3,则z=2x-3y的取值范围是_(答案用区间表示).2.(2004年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知二次函数y=ax2+c,且当x1时,4y1,当x2时,1y5,则当x3时,y的取值范围是 .3.(200
2、1全国高中数学联赛试题)己知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元,而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元,则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是( )(A)2枝玫瑰价格高 (B)3枝康乃馨价格高 (C)价格相同 (D)不确定4.(1988年全国高中数学联赛上海初赛试题)设x+2y1,5x+y2,则log8(2x+2y)的最小值是_.5.(2010年江苏高考试题)设实数x,y满足3xy28,49,则的最大值是_.6.(2008年四川高考试题)设等差数列an的前n项和为Sn,若S410,S515,则a4的最大值为 .7.(1986年全国高中数学联赛试题)x,y,z为非负实数,且满足方
3、程-68+256=0,那么x+y+z的最大值与最小值的乘积等于 . 2.函数单调性例2:(1999年全国高中数学联赛试题)若(log23)x-(log53)x(log23)-(log53),则( )(A)x-y0 (B)x+y0 (C)x-y0 (D)x+y0解析:类题:1.(2005年全国高中数学联赛试题)已知f(x)是定义在(0,+)上的减函数,若f(2a2+a+1)O,x2+x3O,x3+x1O,则( )(A)f(x1)+f(x2)+f(x3)0 (B)f(x1)+f(x2)+f(x3)f(x3)3.(2006年全国高中数学联赛试题)设f(x)=x3+log2(x+),则对任意实数a,b
4、,a+b0是f(a)+f(b)0的( )(A)充分必要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件4.(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)已知函数f(x)=x3-log2(-x).则对于任意实数a、b(a+b0),的值( )(A)恒大于零 (B)恒等于零 (C)恒小于零 (D)符号不确定 2 Y.P.M数学竞赛讲座 5.(2007年全国高中数学联赛福建初赛试题)设f(x)=+lg,则不等式fx(x-)b,则下列不等式一定成立的是( )(A)a2b2 (B)0 (D)()a()b7. (1985年全国高中数学联赛试题)(2003年全国高中数学联赛安徽初赛
5、试题)设0a1,若x1=a,x2=,x3=,xn=,则数列xn(A)是递增的 (B)是递减的 (C)奇数项是递增的,偶数项是递减的 (D)偶数项是递增的,奇数项是递减的 (1986年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知三个实数a,b=aa,c=,若0.9a1,则( )(A)acb (B)abc (C)bac (D)ca1,a=-,b=-那么( )(A)ab (B)ayx (B)xy=yx (C)xya1,t0,若ax=a+t,则bx与b+t的大小关系是( )(A)bxb+t (B)bxbc (B)bca (C)bac (D)acb7.(2004年全国高中数学联赛天津初赛试题)若0a(+)2 (B
6、)(a+)(b+)(+)2 (C) (D) 4.解不等式 Y.P.M数学竞赛讲座 3 例4:(2001年全国高中数学联赛试题)不等式|+2|的解集为 .解析:类题:1.(1998年全国高中数学联赛试题)设命题P:关于x的不等式a1x2+b1x+c10与a2x2+b2x+c20的解集相同;命题Q:=.则命题Q( )(A)是命题P的充分必要条件 (B)是命题P的充分条件但不是必要条件(C)是命题P的必要条件但不是充分条件 (D)既不是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件2.(1989年全国高中数学联赛试题)若loga1,则a的取值范围是_. (1995年第六届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)如
7、果loga1,那么a的取值范围是 , (2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若loga1,则a的取值范围是_. (1994年第五届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)若loga(2-a2)1,则实数a的取值范围是 .3.(2004年全国高中数学联赛四川初赛试题)不等式|x22|2x+1的解集为_. (2003年全国高中数学联赛试题)不等式|x|32x24|x|+3的解集是 . (1995年第六届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)若a0,a1,且|loga2|loga+12,则a的取值范围是 .4.(1995年第六届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)不等式1log2x的解是 . (2006年全
8、国高中数学联赛试题)设logx(2x2+x-1)logx2-1,则x的取值范围为 . (2004年全国高中数学联赛试题)不等式+20的解集为 .4.(2007年全国高中数学联赛江苏初赛试题)关于x的不等式x2ax20a2c.已知实数ab,则满足1的x构成的区间的长度之和为 .6.(1996年第七届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)若1+log2(x4+1). Y.P.M数学竞赛讲座 1 基本不等式 高中联赛客观题中的不等式包括:二元均值不等式:基本不等式a2+b22|ab|及其推论a2+b2+c2ab+bc+cd;a2+b2+c2+d2ab+bc+cd+da;x12+x2+xn2x1x2+x2
9、x3+xn-1xn+xnx1,等号当且仅当x1=x2=xn时成立;当a0,b0时,等号当且仅当a=b时成立,其中,称为调和不等式;三元均值不等式:当a+b+c0时,a3+b3+c33abc,等号当且仅当a+b+c=0,或a=b=c时成立;当a0,b0,c0时,等号当且仅当a=b=c时成立;当a0,b0,c0时,等号当且仅当a=b=c时成立;n元均值不等式:当ai0(i=1,2,n)时,(调和平均数)(几何平均数)(算朮平均数)(方幂平均数),等号当且仅当a1=a2=an时成立;柯西不等式:基本形式C0:当ai,biR(i=1,2,n)时,(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2)(a
10、1b1+a2b2+anbn)2,等号当且仅当a1:b1=a2:b2=an:bn时成立;变形式C1:当ai,biR+(i=1,2,n)时,(a1+a2+an)(b1+b2+bn)(+)n,等号当且仅当a1:b1=a2:b2=an:bn时成立;变形式C2:当ai,biR+(i=1,2,n)时,(a1b1+a2b2+anbn)(+) (a1+a2+an)2,等号当且仅当b1=b2=bn时成立;变形式C3:当aiR+,biR(i=1,2,n)时,(a1+a2+an)(+)(b1+b2+bn)2,等号当且仅当a1:|b1|=a2:|b2|=an:|bn|时成立.不等式的认识应从不等式成立条件、等号成立条
11、件、不等式的变形和不等式等号成立的条件在求最值问题中的巧用等方面进行. 1.等号成立的条件例1:(2011年全国高中数学联赛试题)设a,b为正实数,2,(a-b)2=4(ab)3,则logab= .解析:类题:1.(2007年北京高考试题)如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么( )(A)abc+d,且等号成立时a,b,c,d的取值惟 (B)abc+d,且等号成立时a,b,c,d的取值惟(C)abc+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不惟 (D)abc+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不惟2.(2010年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知函数f(x)=的最小值是0,则非零实数k
12、的值是 .3.(2010年全国I高考试题)(理)已知函数f(x)=|lgx|.若0ab,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是 . 2 Y.P.M数学竞赛讲座 (2009年全国高中数学联赛上海初赛试题)(2011年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设函数f(x)=|x2-2|,若f(a)=f(b),且0ab,则ab的取值范围是 . (2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知函数f(x)=.若a,b,c是互不相等的实数,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是 .4.(1996年全国高中数学联赛试题)如果在区间1,2上函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+在同一点取相同的
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