最新勾股定理竞赛培优(DOC 24页).doc
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1、欢迎来主页下载-精品文档第一章 勾股定理培优专题专题一一、内容提要1. 勾股定理及逆定理:ABC中CRta2b2=c22. 勾股定理及逆定理的应用 作已知线段a的, 倍 计算图形的长度,面积,并用计算方法解几何题 证明线段的平方关系等。3. 勾股数的定义:如果三个正整数a,b,c满足等式a2b2=c2,那么这三个正整数a,b,c叫做一组勾股数.4. 勾股数的推算公式 罗士琳法则(罗士琳是我国清代的数学家17891853)任取两个正整数m和n(mn),那么m2-n2,2mn,m2+n2是一组勾股数。 如果a,b,c是勾股数,那么na,nb,nc(n是正整数)也是勾股数。5. 熟悉勾股数可提高计算
2、速度,顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有:3,4,5;5,12,13;7,24,25;8,15,17;9,40,41。1.常用勾股数口诀记忆常见勾股数3,4,5 : 勾三股四弦五5,12,13 : 512记一生6,8,10: 连续的偶数7,24,25 : 企鹅是二百五8,15,17 : 八月十五在一起特殊勾股数连续的勾股数只有3,4,5连续的偶数勾股数只有6,8,102.100以内的勾股数开头数字为20以内6. 3 4 5;5 12 13; 6 8 10;7 24 25;8 15 17;9 12 15;9 40 41;10 24 26;11 60 61;12 16 20;12 35 37;1
3、3 84 85;14 48 50;15 20 25;15 36 39;16 30 34;16 63 65;18 24 30;18 80 82二、例题例1.已知线段a a a2a 3a a求作线段a a 分析一:a 2a a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。分析二:aa是以3a为斜边,以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。作图(略)例2.四边形ABCD中DAB60,BDRt,BC1,CD2求对角线AC的长例3.已知ABC中,ABAC,B2A求证:AB2BC2ABBC例4.如图已知ABC中,ADBC,ABCDACBD求证:ABAC例5.已知梯形ABCD中,ABCD,ADBC求证:AC
4、BD证明:作DEAC,DFBC,交BA或延长线于点E、FACDE和BCDF都是平行四边形DEAC,DFBC,AECDBF作DHAB于H,根据勾股定理 AH,FHADBC,ADDFAHFH,EHBHDE,BDDEBD即ACBD例6.已知:正方形ABCD的边长为1,正方形EFGH内接于ABCD,AEa,AFb,且SEFGH求:的值三、练习1. 以下列数字为一边,写出一组勾股数: 7,8,9,10,11,12,2. 根据勾股数的规律直接写出下列各式的值: 252242,52122,3. ABC中,AB25,BC20,CA15,CM和CH分别是中线和高。那么SABC,CH,MH4.梯形两底长分别是3和
5、7,两对角线长分别是6和8,则S梯形5.已知:ABC中,AD是高,BEAB,BECD,CFAC,CFBD求证:AEAF6.已知:M是ABC内的一点,MDBC,MEAC,MFAB,且BDBF,CDCE求证:AEAF7.在ABC中,C是钝角,a2-b2=bc 求证A2B8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数。(用反证法)9.已知直角三角形三边长均为整数,且周长和面积的数值相等,求各边长10等腰直角三角形ABC斜边上一点P,求证:AP2BP22CP211.已知ABC中,ARt,M是BC的中点,E,F分别在AB,ACMEMF求证:EF2BE2CF212.RtABC中,ABC90,C60,BC2,D是
6、AC的中点,从D作DEAC与CB的延长线交于点E,以AB、BE为邻边作矩形ABEF,连结DF,则DF的长是。(2002年希望杯数学邀请赛,初二试题)13.ABC中,ABAC2,BC边上有100个不同的点p1,p2,p3,p100, 记mi=APi2+BPiPiC (I=1,2,100),则m1+m2+m100=_7. 知识点一:勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为:a,b,斜边长为c,那么a2b2c2即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方要点诠释:(1)勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。 (2)勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于锐角三角形和钝角三角。 (3)理解勾股定理的
7、一些变式: c2=a2+b2, a2=c2-b2, b2=c2-a2 ,c2=(a+b)2-2ab知识点二:用面积证明勾股定理方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形。 图(1)中,所以。 方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形。 图(2)中,所以。方法三:将四个全等的直角三角形分别拼成如图(3)1和(3)2所示的两个形状相同的正方形。 在(3)1中,甲的面积=(大正方形面积)(4个直角三角形面积), 在(3)2中,乙和丙的面积和=(大正方形面积)(4个直角三角形面积), 所以,甲的面积=乙和丙的面积和,即:.方法四:如图(4)所示,将两个直角三角形拼成直角梯
8、形。 ,所以。经典例题透析 类型一:勾股定理的直接用法1、在RtABC中,C=90(1)已知a=6, c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求a.思路点拨: 写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。解析:(1) 在ABC中,C=90,a=6,c=10,b=(2) 在ABC中,C=90,a=40,b=9,c=(3) 在ABC中,C=90,c=25,b=15,a=举一反三【变式】:如图B=ACD=90, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?类型二:勾股定理的构造应用2、如图,已知:在中,. 求:BC的长. 总
9、结升华:利用勾股定理计算线段的长,是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直条件时,也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理. 举一反三【变式1】如图,已知:,于P. 求证:. 【变式2】已知:如图,B=D=90,A=60,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD的面积。类型三:勾股定理的实际应用(一)用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60方向走了到达B点,然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点。(1)求A、C两点之间的距离。(2)确定目的地C在营地A的什么方向。总结升华:本题是一道实际问题,从已知条件出发判断出ABC是直角
10、三角形是解决问题的关键。本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。举一反三【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?(二)用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线 举一反三【变式】如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高为4cm,是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出
11、爬行的最短路程一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点,那么它所爬行的最短路线的长是_类型四:利用勾股定理作长为的线段5、作长为、的线段。举一反三 【变式】在数轴上表示的点。类型五:逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确7、如果ABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断ABC的形状。举一反三【变式1】四边形ABCD中,B=90,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。【变式2】已知:ABC的三边分别为m2n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且mn),判断ABC是否为直角三角
12、形.【变式3】如图正方形ABCD,E为BC中点,F为AB上一点,且BF=AB。 请问FE与DE是否垂直?请说明。经典例题精析类型一:勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是3:4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。总结升华:直角三角形边的有关计算中,常常要设未知数,然后用勾股定理列方程(组)求解。举一反三【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积。【变式2】直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1,n+2,n+3,求n。思路点拨:首先要确定斜边(最长的边)长n+3,然后利用勾股定理列方程求解。总结升华:注意直角
13、三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方,在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下,首先要先确定斜边,直角边。【变式4】以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是( )A、8,15,17 B、4,5,6 C、5,8,10 D、8,39,40【变式5】四边形ABCD中,B=90,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。类型二:勾股定理的应用2、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且QPN30,点A处有一所中学,AP160m。假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?请说明理由,如果受影
14、响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒? 总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。 举一反三【变式1】如图学校有一块长方形花园,有极少数人为了避开拐角而走“捷径”,在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了_步路(假设2步为1m),却踩伤了花草。【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形,这样的三角形称为单位正三角形。(1)直接写出单位正三角形的高与面积。(2)图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形?平行四边形ABCD的面积是多
15、少?(3)求出图中线段AC的长(可作辅助线)。【答案】(1)单位正三角形的高为,面积是。(2)如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形,因此其面积。(3)过A作AKBC于点K(如图所示),则在RtACK中, ,故类型三:数学思想方法(一)转化的思想方法我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决3、如图所示,ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DEDF,若BE=12,CF=5求线段EF的长。 总结升华:此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题,我们可以了
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