概率与数理统计第6章新.ppt

1、 数理统计学是数学的一个分支，它以概率论为基础，是一门用有效的方法收集和分析带有随机影响的数据的学科，它是研究如何有效地收集、整理和分析受随机影响的数据，并对所考虑的问题作出推断或预测，直至为采取决策和行动提供依据和建议的一门应用性学科。更直观的说：学习和研究统计学的目的就是要从数据中提炼、挖掘出有用的信息。情书（一）情书（一）亲爱的丁：亲爱的丁：我们的感情，在组织的亲切关怀下、在领我们的感情，在组织的亲切关怀下、在领导的过问下，一年来正沿著健康的道路蓬勃发导的过问下，一年来正沿著健康的道路蓬勃发展。这主要表现在：展。这主要表现在：（一）我们共通信（一）我们共通信121121封，平均封，平均3

2、.013.01天一天一封。其中你给我的信封。其中你给我的信5151封，占封，占42.1%42.1%我给你我给你的信的信7070封，占封，占57.9%57.9%。每封信平均。每封信平均15021502字，最字，最长的达长的达52155215字，最短的也有字，最短的也有624624字。字。情书（二情书（二）（二）（二）约会共约会共9898次，平均次，平均3.73.7天一次。其天一次。其中你主动约我中你主动约我3838次，占次，占38.7%38.7%我主动约你我主动约你6060次，次，占占61.3%61.3%。每次约会平均。每次约会平均3.83.8小时，最长小时，最长达达6.46.4小时，小时，最短

3、的也有最短的也有1.61.6小时。小时。（三）（三）我到你家看望你父母我到你家看望你父母3838次，平均次，平均每每9.49.4天一次，你到我家看望我父母天一次，你到我家看望我父母3636次，平次，平均均1010天一次。天一次。以上充分证明通过一年来的交往，我们已以上充分证明通过一年来的交往，我们已形成了恋爱的共识，我们爱情的主流是互相了形成了恋爱的共识，我们爱情的主流是互相了解、互相关心、互相帮助，解、互相关心、互相帮助，是平等互利的。是平等互利的。情书（三）情书（三）当然，任何事物都是一分为二的，缺点的当然，任何事物都是一分为二的，缺点的存在是不可避免的。我们二人虽然都是积极的，存在是不可

4、避免的。我们二人虽然都是积极的，但从以上的数据看，发展还不太平衡，积极性但从以上的数据看，发展还不太平衡，积极性还存在一定的差距，这是前进中的缺点。相信还存在一定的差距，这是前进中的缺点。相信在新的一年里，我们一定会发扬成绩、克服缺在新的一年里，我们一定会发扬成绩、克服缺点、携手前进，开创我们爱情的新局面点、携手前进，开创我们爱情的新局面。情书（四情书（四）因此，我提出三点意见供你参考：因此，我提出三点意见供你参考：（一）要围绕一个（一）要围绕一个爱爱字，字，（二）要狠抓一个（二）要狠抓一个亲亲字，字，（三）要落实一个（三）要落实一个敢敢字。字。让我们弘扬团结拼搏的精神，共同振兴我让我们弘扬团

5、结拼搏的精神，共同振兴我们的爱情，争取达到一个新高度，登上一个新们的爱情，争取达到一个新高度，登上一个新台阶。本着幸福由我们主宰，爱情由我们创造台阶。本着幸福由我们主宰，爱情由我们创造，幸福属于我们的精神来发展我们的感情，共，幸福属于我们的精神来发展我们的感情，共创我们人生的辉煌！享受人生！创我们人生的辉煌！享受人生！你的王子你的王子 一、总体与个体一、总体与个体1.总体总体试验的全部可能的观察值称为总体试验的全部可能的观察值称为总体.在研究在研究2000名学生的名学生的年龄时年龄时,这些学生的年龄的全这些学生的年龄的全体就构成一个总体体就构成一个总体,每个学生每个学生的年龄就是个体的年龄就是

6、个体.2.个体个体总体中的每个可能观察值称为个体总体中的每个可能观察值称为个体.实例实例1 某工厂某工厂10月份生产的灯泡寿命所组成的月份生产的灯泡寿命所组成的总体中总体中,个体的总数就是个体的总数就是10月份生产的灯泡数月份生产的灯泡数,这是一个有限总体这是一个有限总体;而该工厂生产的所有灯泡寿而该工厂生产的所有灯泡寿命所组成的总体是一个无限总体命所组成的总体是一个无限总体,它包括以往生它包括以往生产和今后生产的灯泡寿命产和今后生产的灯泡寿命.有限总体和无限总体有限总体和无限总体实例实例2 当有限总体包含的个体的当有限总体包含的个体的总数很大时总数很大时,可近似地将它看可近似地将它看成是无限

7、总体成是无限总体.总体总是与所研究的对象的某个总体总是与所研究的对象的某个(或某些或某些)数量数量指标相联系指标相联系,因而它是一个随机变量因而它是一个随机变量(或多维随或多维随机变量机变量).记为记为X.X 的分布函数和数字特征称为总体的分的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征布函数和数字特征.二、样本二、样本 从总体中抽取的部分个体从总体中抽取的部分个体.为推断总体分布及各种特征，按一定规则为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为得有关总体的信息，这一抽取过程称为抽样抽样，所

8、抽取的部分个体称为所抽取的部分个体称为样本样本.样本中所包含样本中所包含的个体数目称为的个体数目称为样本容量样本容量.但是，一旦取定一组样本，得到的是但是，一旦取定一组样本，得到的是n个具个具体的数体的数(x1,x2,xn)，称为样本的一次观察值，称为样本的一次观察值，简称简称样本值样本值.容量为容量为n的样本可以看作的样本可以看作n维随机变量维随机变量.样本空间样本空间 样本所有可能取值的集合样本所有可能取值的集合.由于抽样的目的是为了对总体进行统计推由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽样方法信息，必

9、须考虑抽样方法.2.独立性独立性：X1,X2,Xn是相互独立的随是相互独立的随机变量机变量.最常用的一种抽样方法叫作最常用的一种抽样方法叫作“简单随简单随机抽样机抽样”，它要求抽取的样本满足下面，它要求抽取的样本满足下面两点两点:1.代表性代表性：X1,X2,Xn中每一个与所考察中每一个与所考察的总体有相同的分布的总体有相同的分布.由简单随机抽样得到的样本称为由简单随机抽样得到的样本称为简单随简单随机样本机样本，它可以用与总体独立同分布的，它可以用与总体独立同分布的n个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量X1,X2,Xn表示表示.根据定义得根据定义得:,21的一个样本的一个样本为为若若FXX

10、Xn的联合分布函数为的联合分布函数为则则nXXX,21).(),(*121 niinxFxxxF,fX 具有概率密度具有概率密度又若又若的联合概率密度为的联合概率密度为则则nXXX,21).(),(*121 niinxfxxxf.),(,),(,)0(2121的概率密度的概率密度求样本求样本是来自总体的样本是来自总体的样本布布的指数分的指数分服从参数为服从参数为设总体设总体nnXXXXXXX 解解的概率密度为的概率密度为总体总体 X ,0,0,0,e)(xxxfx ,21有相同的分布有相同的分布且与且与相互独立相互独立因为因为XXXXn的概率密度为的概率密度为所以所以),(21nXXX)(),

11、(121 niinnxfxxxf .,0,0,e1其他其他ixnxnii 例例.),(,),(,10),1(2121的分布律的分布律求样本求样本是来自总体的样本是来自总体的样本其中其中服从两点分布服从两点分布设总体设总体nnXXXXXXppBX 解解的分布律为的分布律为总体总体 X,21相互独立相互独立因为因为nXXXiippiXP 1)1()1,0(i,有相同的分布有相同的分布且与且与X的分布律为的分布律为所以所以),(21nXXX例例,2211nnxXxXxXP 2211nnxXPxXPxXP niiniixnxpp11)1(.1,0,21中取值中取值在集合在集合其中其中nxxx6.2 抽

12、样分布抽样分布1.统计量的定义统计量的定义.),(,),(,21212121计量计量是一个统是一个统则称则称不含未知参数不含未知参数中中若若的函数的函数是是的一个样本的一个样本是来自总体是来自总体设设nnnnXXXggXXXXXXgXXXX.),(),(,21212121的观察值的观察值是是则称则称的样本值的样本值是相应于样本是相应于样本设设nnnnXXXgxxxgXXXxxx?,),(,22321哪些不是哪些不是些是统计量些是统计量判断下列各式哪判断下列各式哪为未知为未知为已知为已知其中其中样本样本的一个的一个是来自总体是来自总体设设 NXXX,11XT ,3212XeXXT ),(3132

13、13XXXT ),max(3214XXXT ,2215 XXT).(123222126XXXT 是是不是不是实例实例12.几个常用统计量的定义几个常用统计量的定义.,2121是这一样本的观察值是这一样本的观察值是来自总体的一个样本是来自总体的一个样本设设nnxxxXXX(1)样本平均值样本平均值;11 niiXnX(2)样本方差样本方差 niiXXnS122)(11.11122 niiXnXn.11 niixnx其观察值其观察值其观察值其观察值 niixxns122)(11.11122 niixnxn(3)样本标准差样本标准差 ;11122 niiXXnSS其观察值其观察值.)(1112 ni

14、ixxns(4)样本样本 k 阶阶(原点原点)矩矩;,2,1,11 kXnAnikik其观察值其观察值.,2,1,11 kxnnikik(5)样本样本 k 阶中心矩阶中心矩;,3,2,)(11 kXXnBnikik其观察值其观察值.,3,2,)(11 kxxnbnikik.,2,1,)(kAnXEkXkPkkk 时时则当则当存在存在记成记成阶矩阶矩的的若总体若总体证明证明,21同分布同分布独立且与独立且与因为因为XXXXn,21同分布同分布独立且与独立且与所以所以kknkkXXXX.)()()(21kknkkXEXEXE 故有故有辛钦定理辛钦定理再根据第五章再根据第五章辛钦定理辛钦定理知知由以

15、上定义得下述由以上定义得下述结论结论:由第五章关于依概率收敛的序列的性质知由第五章关于依概率收敛的序列的性质知),(),(2121kPkgAAAg .是连续函数是连续函数其中其中g;,2,1,11 kXnkPniki 以上结论是下一章所要介绍的矩估计法以上结论是下一章所要介绍的矩估计法的理论根据的理论根据.3.经验分布函数经验分布函数.)(分布函数分布函数相应的统计量称为经验相应的统计量称为经验总体分布函数总体分布函数xF经验分布函数的做法如下经验分布函数的做法如下:,21的一个样本的一个样本是总体是总体设设FXXXn,)()(21的随机变量的个数的随机变量的个数于于中不大中不大表示表示用用x

16、XXXxxSn )(为为定义经验分布函数定义经验分布函数xFn)(),(1)(xxSnxFn .)(,的观察值容易求得的观察值容易求得对于一个样本值对于一个样本值xFn ).)()(表示表示的观察值仍以的观察值仍以xFxFnn实例实例2 ,3 ,2 ,1 具有一个样本值具有一个样本值设总体设总体 F )(3的观察值为的观察值为则经验分布函数则经验分布函数xF .3,1,32,32,21,31,1,0)(3xxxxxF实例实例3 ,2 ,1 ,1 具有一个样本值具有一个样本值设总体设总体 F )(3的观察值为的观察值为则经验分布函数则经验分布函数xF .2,1,21,32,1,0)(3xxxxF

17、一般地，一般地，,21样本值样本值的一个容量为的一个容量为是总体是总体设设nFxxxn,21按自小到大的次序排列按自小到大的次序排列先将先将nxxx,并重新编号并重新编号,)()2()1(nxxx )(的观察值为的观察值为则经验分布函数则经验分布函数xFn .,1,0)()()1()()1(nkknxxxxxnkxxxF.10)()(suplim ,)(1 )(,xFxFPxFxFnxnxnn即即一致收敛于分布函数一致收敛于分布函数以概率以概率时时当当对于任一实数对于任一实数.)(,)()(,使用使用来来从而在实际上可当作从而在实际上可当作只有微小的差别只有微小的差别与总体分布函数与总体分布函

18、数数的任一个观察值数的任一个观察值经验分布函经验分布函时时充分大充分大当当对于任一实数对于任一实数xFxFxFnxn格里汶科格里汶科格里汶科定理格里汶科定理统计中常用分布统计中常用分布(1)(1)正态分布正态分布则则niiiniiiniiiaaNXa12211,特别地特别地,nNXnXnii21,1则则nXXX,21),(2NXi若若i.i.d.若若nXXX,21),(2iiN标准正态分布的 分位数分布的分布的上上 分位数分位数.定义定义正态分布的正态分布的双侧双侧 分位数分位数.若若 ，则称，则称u 为标准正态为标准正态uXP若若 ,则称则称 为标准为标准2uXP2u标准正态分布的标准正态分

19、布的 分位数图形分位数图形 575.296.1645.1005.0025.005.0uuu-2-1120.10.20.30.4u 常用数字-2-1120.10.20.30.4/2-u/2=u1-/2/2 u/2-u/2 uXP2uXP)(2n分布分布(n为自由度为自由度)(22n记为记为定义定义 设设 相互独立相互独立,都服从正态都服从正态分布分布N(0,1),则称随机变量：则称随机变量：所服从的分布为自由度为所服从的分布为自由度为 n 的的 分布分布.nXXX,21222212nXXX22分布是由正态分布派生出来的一种分布分布是由正态分布派生出来的一种分布.分布的概率密度为分布的概率密度为)

20、(2n .00,e)2(21)(2122其他其他yynyfynn.)(2图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如n 分布的性质分布的性质2 性质性质1).(,),(),(2122221222122221221nnnn 则则立立独独并且并且设设)(2分布的可加性分布的可加性(此性质可以推广到多个随机变量的情形此性质可以推广到多个随机变量的情形.).(,),2,1(),(21212222mmiiiiinnnmin 则则独立独立相互相互并且并且设设性质性质2.2)(,)(),(2222nDnEn 则则若若证明证明),1,0(NXi因为因为,1)()(2 iiXDXE所以所以2242)()()(i

21、iiXEXEXD ,123 .,2,1ni niiXEE122)(故故 niiXE12)(,n niiXDD122)(niiXD12)(.2n)(2分布的数学期望和方差分布的数学期望和方差 分布的分位点分布的分位点 2.)()(d)()(,10,22)(222分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点称满足条件称满足条件对于给定的正数对于给定的正数 nnyyfnPn .,分位点的值分位点的值得上得上可以通过查表求可以通过查表求对于不同的对于不同的 n,de21)1,0(),1,0(22 xzXPzNNXzx满足满足分位点分位点的上的上服从标准正态分布服从标准正态分布设设.,可通过查表完成可通过查

22、表完成的值的值求求 z05.0z025.0z根据正态分布的对称性知根据正态分布的对称性知.1 zz ,645.1,96.1 例例1分位点满足分位点满足的上的上设设 )(),(22nnZ,d);()()(222 nynynZP .,)(2可通过查表完成可通过查表完成的值的值求求n )8(2025.0)10(2975.0)25(21.0,535.17,247.3.382.34 例例2.)12(21)(,22分位点分位点是标准正态分布的上是标准正态分布的上其中其中充分大时充分大时当当 znznn 例如例如2205.0)99645.1(21)50(.221.67 利用上面公式利用上面公式,而查详表可得

23、而查详表可得.505.67)50(205.0 .,45 分位点的近似值分位点的近似值上上时时可以求得可以求得 n费舍尔费舍尔(R.A.Fisher)证明证明:).(,/,),(),1,0(2ntttnnYXtYXnYNX记为记为分布分布的的服从自由度为服从自由度为则称随机变量则称随机变量独立独立且且设设 t 分布又称分布又称学生氏学生氏(Student)分布分布.tntnnnthn,1221)(212 分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为)(nt分布分布t2.图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如t.0对称的对称的显然图形是关于显然图形是关于 t当当 n 充分大时充分大时,其其图形类

24、似于标准正图形类似于标准正态变量概率密度的态变量概率密度的图形图形.,e21)(lim22tnth 因为因为,)1,0(分布分布分布近似于分布近似于足够大时足够大时所以当所以当Ntn.)1,0(,分布相差很大分布相差很大分布与分布与但对于较小的但对于较小的Ntn.)()(d)()(,10,)(分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点称满足条件称满足条件对于给定的对于给定的 ntnttthnttPnt .分位点的值分位点的值得上得上可以通过查表求可以通过查表求 由分布的对称性知由分布的对称性知).()(1ntnt .)(,45 zntn 时时当当分布的分位点分布的分位点 t分位点满足分位点满足的

25、上的上设设)(),(ntntT,d);()()(ntynytntTP .,)(可通过查表完成可通过查表完成的值的值求求nt)10(05.0t,8125.1)15(025.0t.1315.2 例例3).,(,),(/,),(),(2121212212nnFFFnnnVnUFVUnVnU记为记为布布分分的的服从自由度为服从自由度为随机变量随机变量则称则称独立独立且且设设 分分布布F3.分布的概率密度为分布的概率密度为),(21nnF .,0,0,1222)(2212112221212111其他其他ynynnnynnnnynnnn 图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如F根据定义可知根据定义可

26、知,).,(1),(1221nnFFnnFF则则若若分布的分位点分布的分位点F.),(),(d)(),(,10,2121),(2121分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点称满足条件称满足条件对于给定的对于给定的 nnFnnFyynnFFPnnF 分位点满足分位点满足分布的上分布的上设设),(21nnF.,),(21可通过查表完成可通过查表完成的值的值求求nnF)8,7(025.0F)30,14(05.0F,d)(),(),(2121 nnFyynnFFP ,90.4.31.2 例例4:分位点具有如下性质分位点具有如下性质分布的上分布的上 F.),(1),(12211nnFnnF 证明证明)

27、,(1 211nnFFP 所以所以 ),(11211nnFFP ),(111211nnFFP,),(111211 nnFFP),(21nnFF因为因为,),(11 211 nnFFP故故),(1 12nnFF因为因为,),(1 12 nnFFP所以所以,),(),(11221-1nnFnnF 比较后得比较后得.),(1),(12211nnFnnF 即即)9,21(59.0F例例)12,9(105.0F 28.01.357.0 .分位点分位点的一些上的一些上用来求分布表中未列出用来求分布表中未列出 4.正态总体的样本均值与样本方差的分布正态总体的样本均值与样本方差的分布定理一定理一)./,(,)

28、,(,2221nNXXNXXXn 则有则有是样本均值是样本均值的样本的样本是来自正态总体是来自正态总体设设.),(2有以下两个重要定理有以下两个重要定理的样本均值和样本方差的样本均值和样本方差正态总体正态总体 N定理二定理二.(2);1()1(1),),(,22222221独立独立与与则有则有方差方差分别是样本均值和样本分别是样本均值和样本的样本的样本是总体是总体设设SXnSnSXNXXXn ).1(/,),(,2221 ntnSXSXNXXXn 则有则有方差方差分别是样本均值和样本分别是样本均值和样本样本样本的的是总体是总体设设证明证明),1,0(/NnX 因为因为),1()1(222 nS

29、n 且两者独立且两者独立,由由 t 分布的定义知分布的定义知)1()1(/22 nSnnX ).1(nt定理三定理三则有则有差差分别是这两个样本的方分别是这两个样本的方值值分别是这两个样本的均分别是这两个样本的均设设且这两个样本互相独立且这两个样本互相独立的样本的样本总体总体具有相同方差的两正态具有相同方差的两正态分别是分别是与与设设,)(11,)(11,1,1,),(,),(,2121211222212121121122212121 niiniiniiniinnYYnSXXnSYnYXnXNNYYYXXX 定理四定理四,(2);1,1(/(1)222212122212221时时当当 nnFS

30、S.,2)1()1(),2(11)()(2212222112212121wwwwSSnnSnSnSnntnnSYX 其中其中 证明证明(1)由定理二由定理二),1()1(1221211 nSn ),1()1(2222222 nSn ,2221独立独立由假设由假设SS 分布的定义知分布的定义知则由则由F1),1()1()1()1()1(21222222211211 nnFnSnnSn .)1,1(/2122212221 nnFSS 即即 221221,nnNYX 因为因为212111)()(nnYXU 所以所以),1,0(N(2),1()1(122211 nSn 由由),1()1(222222 nSn 分布的可加性知分布的可加性知故由故由且它们相互独立且它们相互独立2,2211)1(SnV2222)1(Sn ),2(212 nn.,分布的定义分布的定义按按相互独立相互独立与与由于由于tVU)2/(21 nnVU212111)()(nnSYXw ).2(21 nnt