2020基础生艺体生培优考点题型篇考点10-15平面向量和立体几何专题 学生 .docx

1、 考点 10 平面向量的概念和运算 玩前必备 1向量的有关概念 (1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量AB 的大小叫做向量的长度(或模)，记作 |AB |. (2) 零向量：长度为 0 的向量叫做零向量，其方向是任意的 (3) 单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量 (4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可 以移到同一直线上 规定：0 与任一向量平行 (5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 (6) 相反向量： 与向量a长度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量 规定零向量的相反向量仍是零向量 2.向量

2、的加法 (1) 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 (2) 法则：三角形法则；平行四边形法则 (3) 运算律：abba；(ab)ca(bc) 3.向量的减法 (1) 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法 (2) 法则：三角形法则 (3) 运算律：aba(b) 4.向量的数乘 (1) 实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a，它的长度与方向规定如下： |a|a； 当 0 时，a 与 a 的方向相同； 当 0 时，a 与 a 的方向相反；当 0 时，a0. (2) 运算律：设 、R，则： (a)()a； ()aaa； (ab)ab 5. 向量共线的判定定理 a 是一个非零向量，若存在一

3、个实数 ，使得 ba，则向量 b 与非零向量 a 共线 6平面向量基本定理 如果 e1， e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量 a， 存在唯一一对实数 1、 2， 使 a1e12e2. 我们把不共线的向量 e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底 一个平面向量 a 能用一组基底 e1，e2表示，即 a1e12e2.则称它为向量的分解。当 e1，e2互相垂直时， 就称为向量的正交分解。 7平面向量的坐标运算 (1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB (x 2x1，y2y1)，|AB | x 2x1 2y 2y1 2. (2)设 a(x1，y1)，b(

4、x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)， (3)若 a(x，y)，则 a(x，y)；|a| x2y2. 8向量平行的坐标表示 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0.abab x1y2x2y10. 玩转典例 题型一题型一 平面向量的基本概念平面向量的基本概念 例例 1 给出下列命题： 向量AB 的长度与向量BA的长度相等； 两个非零向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； 两个有公共终点的向量一定是共线向量 其中不正确命题的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 例例 2

5、 下列命题中，正确的是_(填序号) 有向线段就是向量，向量就是有向线段； 向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； 向量AB 与向量CD 共线，则 A、B、C、D 四点共线； 如果 ab，bc，那么 ac； 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 题型题型二二 平面向量的线性运算平面向量的线性运算 例例 3（2015新课标）设D为ABC所在平面内一点，3BCCD，则( ) A 14 33 ADABAC B 14 33 ADABAC C 41 33 ADABAC D 41 33 ADABAC 例例 4（2018新课标）在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则

6、(EB ) A 31 44 ABAC B 13 44 ABAC C 31 44 ABAC D 13 44 ABAC 例例 5(2020 威海模拟)在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别为边 BC，CD 的中点，若AB xAEyAF(x，yR)， 则 xy_. 题型三题型三 平面向量坐标运算平面向量坐标运算 例例 6（2015全国）设平面向量( 1,2)a ，(3, 2)b ，则2(ab ) A(1,0) B(1,2) C(2,4) D(2,2) 例例 7（2015新课标）已知点(0,1)A，(3,2)B，向量( 4, 3)AC ，则向量(BC ) A( 7, 4) B(7,4) C( 1,4

7、) D(1,4) 例例 8（2015江苏）已知向量(2,1)a ，(1, 2)b ，若(9manb，8)(m，)nR，则mn的值为 题型题型四四 平面向量共线定理平面向量共线定理 例例 9 (新课标 II 理)设向量 a，b 不平行，向量 ab 与 a2b 平行，则实数 _. 例例 10（2020上饶一模）已知, a b是不共线的向量，OAab，2OBab，2OCab，若A、B、 C三点共线，则、满足( ) A3 B3 C2 D2 例例 11（2016全国）平面向量( ,3)ax与(2, )by平行的充分必要条件是( ) A0x ，0y B3x ，2y C6xy D6xy 例例 12(2018

8、 全国)已知向量 a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若 为实数，(ab)c 则 ( ) A. 1 4 B. 1 2 C1 D2 玩转练习 1对于非零向量 a，b，“a2b0”是“ab”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2已知向量AB a3b，BC5a3b，CD 3a3b，则( ) AA，B，C 三点共线 BA，B，D 三点共线 CA，C，D 三点共线 DB，C，D 三点共线 3.如图， 在正方形 ABCD 中， 点 E 是 DC 的中点， 点 F 是 BC 上的一个靠近点 B 的三等分点， 那么EF 等于( ) A.1 2AB 1 3AD

9、B.1 4AB 1 2AD C.1 3AB 1 2DA D.1 2AB 2 3AD 4.如图，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C，D 是半圆弧的两个三等分点，AB a，ACb，则AD 等于( ) Aa1 2b B.1 2ab Ca1 2b D.1 2ab 5已知 M(3，2)，N(5，1)，且MP 1 2MN ，则 P 点的坐标为( ) A(8,1) B. 1，3 2 C. 1，3 2 D(8，1) 6(2020 山西榆社中学诊断)若向量AB DC (2,0)，AD (1,1)，则AC BC等于( ) A(3,1) B(4,2) C(5,3) D(4,3) 7(2020 海南联考)设向量 a

10、(x，4)，b(1，x)，若向量 a 与 b 同向，则 x 等于( ) A2 B2 C 2 D0 8已知平面直角坐标系内的两个向量 a(1,2)，b(m，3m2)，且平面内的任一向量 c 都可以唯一的表示 成 cab(， 为实数)，则实数 m 的取值范围是( ) A(，2) B(2，) C(，) D(，2)(2，) 9在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1,0)，B(0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点，AOC 4，且|OC| 2，若OC OA OB ，则 等于( ) A2 2 B. 2 C2 D4 2 10 (2020 蚌埠期中)已知向量 m sin A，1 2 与向量 n(3， s

11、in A 3cos A)共线， 其中 A 是ABC 的内角， 则角 A 的大小为( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 11若三点 A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共线，则实数 a 的值为_ 12设向量 a，b 满足|a|2 5，b(2,1)，且 a 与 b 的方向相反，则 a 的坐标为_ 考点 11 平面向量数量积 玩前必备 1两个向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b，作OA a，OB b，AOB(0 180 )叫作向量 a 与 b 的夹角，记作当 0 时，a 与 b 同向；当 180 时，a 与 b 反向；当 90 时，则称向量 a 与 b 垂直，记作 ab. 2平面向

12、量的数量积 已知两个向量 a 和 b，它们的夹角为 ，我们把|a|b|cos 叫作 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a b，即 a b |a|b|cos . 3平面向量数量积的几何意义 数量积 a b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上的射影|b|cos 的乘积或 b 的长度|b|与 a 在 b 方向上的射影|a|cos 的乘积 注意：b 在 a 方向上的投影为|b|cos a b |a|，而 a 在 b 方向上的投影为|a|cos a b |b|，投影是一个数量，它可 以为正，可以为负，也可以为 0. 4平面向量数量积的重要性质 (1) aba b0； (2)当 a 和 b

13、同向时，a b|a|b|；当 a 和 b 反向时，a b|a|b|；特别地，a a |a|2，|a| a a； (3)cos a b |a|b|； 5平面向量数量积的坐标运算 设两个非零向量 a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)， (1) a bx1x2y1y2， (2) |a|2x12y12或|a|x12y12. (3) abx1x2y1y20. (4) cos x1x2y1y2 x12y12 x22y22 玩转典例 题型题型一一 平面向量数量积的计算平面向量数量积的计算 例例 1（2020兖州区模拟）等腰直角三角形ABC中， 2 ACB ，2ACBC，点P是斜边AB上一点， 且2BP

14、PA，那么(CP CACP CB ) A4 B2 C2 D4 例例 2（2020上海）三角形ABC中，D是BC中点，2AB ，3BC ，4AC ，则AD AB 例例 3（2019新课标）已知(2,3)AB ，(3, )ACt，| 1BC ，则(AB BC ) A3 B2 C2 D3 例例 4（2018新课标）已知向量a，b满足| 1a ，1a b ，则(2)(aab ) A4 B3 C2 D0 题型二题型二 利用数量积求模长利用数量积求模长 例例 5（2020香坊区模拟）已知单位向量, a b的夹角为，且 1 tan 2 ，若向量53mab，则| (m ) A2 B3 C26 D2或26 例例

15、 6（2020 江西省南昌市第十中学校高三模拟（理） ）设, x yR，向量( ,1),ax(2, ),by( 2,2)c ， 且ac，/ /bc，则ab_. 题型题型三三 利用数量积求夹角利用数量积求夹角 例例 7（2020临汾模拟）已知夹角为的向量a，b满足()2a ab，且| 2| 2ab，则向量a，b的关 系是( ) A互相垂直 B方向相同 C方向相反 D成120角 例例 8 （2020 江西省南昌市新建二中高三二模 （理） ） 已知向量a，b满足1a ，1, 3b ， 若2a a b ， 则a与b的夹角为_. 题型题型四四 利用数量积求解垂直问题利用数量积求解垂直问题 例例 9（20

16、20 河南省鹤壁市高级中学高三二模）已知非零向量a，b满足|ab|=|，则“22abab”是 “ab”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件解: 例例 10 （2020 吉林省高三二模（理） ） 已知(1,3),(2,2),( , 1)abcn，若()acb，则n等于（ ） A3 B4 C5 D6 题型题型五五 利用数量积求射影利用数量积求射影 例例 1111(湖北，7)已知点 A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为( ) A. 3 2 2 B. 3 15 2 C3 2 2 D3 15 2 玩转练习

17、1.（2020新建区校级模拟）如图，在ABC中，,3,| 2ADAB DCBD AD，则AC AD的值为( ) A3 B8 C12 D16 2.（2020内蒙古模拟）已知向量(1,2)ab，( 3,0)ab ，则(a b ) A1 B1 C3 D3 3 （2020随州模拟）已知向量a，b满足| | 2aab，向量b在向量a方向上的投影为 3，则向量a与 向量b的夹角为( ) A30 B45 C60 D90 4（2020湘潭一模） 在平行四边形ABCD中，60BAD，3ABAD，E为线段CD的中点， 若6AE AB ， 则(AC BD ) A4 B6 C8 D9 5 （2020齐齐哈尔一模）已知

18、两个单位向量a，b的夹角为120，(1)ctatb若1a c 则实数t的 值为( ) A1 B1 C2 D2 6.（2020福州一模）已知两个单位向量 12 ,e e，若 121 (2 )eee，则 12 ,e e的夹角为( ) A 2 3 B 3 C 4 D 6 7.（2020 湖南省长沙市明达中学高三二模（理）已知向量a和b的夹角为 3 ，且2,3ab，则 (2)(2 )ab ab（ ） A10 B7 C4 D1 8 （2020 江西省名高三第二次大联考（理） ）若1a ，2b ，则ab的取值范围是（ ） A1,9 B1,9 C1,3 D1,3 9 （2020 黑龙江哈尔滨师大附中高三模拟

19、（理） ）已知在边长为 3 的等边ABC中， 1 2 BDDC，则 AD AC（ ） A6 B9 C12 D6 10 （2020 河南省实验中学高三二测（理） ）若| 3a ，| 2b ，237ab，则a与 b的夹角为 _. 11 （2020 北京市西城区高三一模）若向量 2 21axbx， ，满足 3a b ，则实数x的取值范围是 _. 12（2020 四川省成都市树德中学高三二诊 （理） ） 已知向量AB= （1， 2） ，AC= （-3， 1） ， 则AB BC =_ 13 （2020 广西师大附属外国语学校高三一模（理） ）已知,a b为两个单位向量，且向量a b 与b垂直， 则23a

20、b=_ 14 （2020 江西省南昌市第十中学校高三模拟（理） ）设, x yR，向量 ( ,1),ax (2, ),by ( 2,2)c ， 且ac，/ /bc，则ab_. 15.（2020 福建省泉州市高三质检（理） ）已知向量,2ax，2,1b ，且 /a b ，则a _ 考点 12 空间空间几何体表面积和体积几何体表面积和体积 玩前必备 1. 空间几何体的结构特征 多面 体 棱柱 棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是平行且全等的多边形 棱锥 棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形 棱台 棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是平行 且相似的多边形 旋转 体 圆

21、柱 圆柱可由矩形绕其任意一边旋转得到 圆锥 圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到 圆台 圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上、下底中点连线旋转 得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到 球 球可以由半圆或圆绕直径旋转得到 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧2rl S圆锥侧rl S圆台侧(r1r2)l 3.空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积S侧2S底 VS底 h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积S侧S底 V1 3S 底 h 台体(棱台和圆台) S表面积S侧S上S下 V1 3(S

22、上S下 S上S下)h 球 S4R2 V4 3R 3 玩转典例 题型题型一一 简单几何体的概念简单几何体的概念 例例 1 以下命题： 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； 一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 其中正确命题的个数为( ) A0 B1 C2 D3 例例 2 给出下列四个命题： 有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱； 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体； 底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 其中不正确的命题为_(填序号

23、) 题型题型二二 简单几何体的表面积简单几何体的表面积 例例 3 (2018 全国)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是 面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A12 2 B12 C8 2 D10 例例 4 （2019全国） 已知平面截球O的球面所得圆的面积为，O到的距离为 3， 则球O的表面积为 例例 5（2020桥东区校级模拟）胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形研究 发现，该金字塔底面周长除以 2 倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率 355 113 若胡夫金字塔的高为h，则 该金字塔的侧棱长为( ) A

24、2 21h B 2 24 8 h C 2 16 4 h D 2 216 4 h 题型题型三三 简单几何体的体积简单几何体的体积 例例 6(2018 全国卷)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为 30.若SAB 的面积为 8，则该圆锥的体积为_ 例例 7(2017 全国卷)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的 体积为( ) A B3 4 C. 2 D 4 例例 8.(2018 天津卷)如图， 已知正方体 ABCD- A1B1C1D1的棱长为 1， 则四棱锥 A1BB1D1D 的体积为_ 题型题型四四 简单几何体切

25、接问题简单几何体切接问题 例例 9（2016新课标）体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为( ) A12 B 32 3 C8 D4 例例 10（2017新课标）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面 SCA 平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为 9，则球O的表面积为 例例 11（2020眉山模拟）已知腰长为 3，底边长 2 为的等腰三角形ABC，D为底边BC的中点，以AD为折 痕，将三角形ABD翻折，使BDCD，则经过A，B，C，D的球的表面积为( ) A10 B12 C16 D20 玩转练习 1.(2015 新课标全国卷)

26、九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米 依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一 个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已 知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有( ) A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛 2.（2020凯里市校级模拟） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有阳 马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？“其意思为： “今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，

27、它的底面长、宽分别为 7 尺和 5 尺，高为 8 尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥 的体积为( ) A140 立方尺 B280 立方尺 C 280 3 立方尺 D140 3 立方尺 3.（2020 湖南省长沙市明达中学高三二模（理）魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中，称一个 正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”， 刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积 与“牟合方盖”的体积之比应为：4.若正方体的棱长为 2，则“牟合方盖”的体积为( ) A16 B16 3 C16 3 D128 3 4.（2020 陕西省西安中学高三三模（理） ）把边长为4的正方

28、形ABCD沿对角线AC折起，当直线BD和平 面ABC所成的角为60时，三棱锥DABC的体积为( ) A 8 2 3 B 4 6 3 C 8 6 3 D16 2 3 5.（2019 江苏 9）如图，长方体的体积是 120，E 为的中点，则三棱锥 E-BCD 的体 积是 . 6.(2019 江西重点中学联考)算术书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最 早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一， 该术相当于给出圆锥的底面周长 l 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 V 1 36l 2h，它实际上是将圆锥体积公式 中的圆周率

29、近似取 3，那么，近似公式 V 25 942l 2h 相当于将圆锥体积公式中的 近似取( ) A.22 7 B.25 8 C.157 50 D.355 113 7 （2019 天津理 11）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周 经过四棱锥四条侧棱的中点， 另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心， 则该圆柱的体积为 . 8.(2018 天津)已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为 点 E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为 1111 ABCDABC D 1 CC 25 9.(2018 江苏)如

30、图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 10.（2020咸阳二模）正四棱锥PABCD的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为6，高为 3，则它 的外接球的表面积为( ) A4 B8 C16 D20 考点 13 空间点、直线、平面的位置关系和平行证明 玩前必备 1. 空间点、线、面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形 语言 符号 语言 ab a 相交关系 图形 语言 符号 语言 abA aA l 独有关系 图形 语言 D1C1 B1 A1 M H G F E DC B A 符号 语言 a，b 是异面直线 a 2 直线与平面平行的判定与性质

31、 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a a，b，ab a a，a， b 结论 a b a ab 3. 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a， b， ab P，a，b ，a， b ，a 结论 ab a 玩转典例 题型题型一一 点线面的位置关系点线面的位置关系 例例 1 如图所示， 在长方体 ABCDABCD中， 如果把它的 12 条棱延伸为直线， 6 个面延展为平面， 那么在这 12 条直线与 6 个平面中： (1)与直线 BC平行的直线和平面分别有哪几个？ (2)与直线 BC垂直的直线和平面分别有哪几个？ (3)与平面 BC平行的平面有哪几个？ (4)与平面 BC垂直

32、的平面有哪几个？ 题型题型二二 线面平行的判定和性质线面平行的判定和性质 例例 2 （2020 北京市平谷区高三一模）如图，在三棱柱ADFBCE中，平面ABCD平面ABEF，侧面 ABCD为平行四边形，侧面ABEF为正方形，ACAB，24ACAB，M为FD的中点. （1）求证：/FB平面ACM； 例例 3 （2020厦门模拟）如图，四边形ABCD是边长为 2 的菱形，BF，DE，CG都垂直于平面ABCD， 且222CGBFED （1）证明：/ /AE平面BCF； 例例 4（2020龙岩一模）如图，在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，E，F，M分别是棱AB，BC， AD的中点

33、 （1）证明： 1 / /D M平面 1 A EF； 例例 5 如图， 四边形 ABCD 是平行四边形， 点 P 是平面 ABCD 外一点， M 是 PC 的中点， 在 DM 上取一点 G， 过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH.求证：PAGH. 题型题型三三 面面平行的判定和性质面面平行的判定和性质 例例 6 如图所示，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G 分别是棱 B1B，D1D，DA 的 中点求证：平面 AD1E平面 BGF. 例例 7 (2020 合肥质检)如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，BF平面 ABCD，DE平

34、面 ABCD，BFDE，M 为棱 AE 的中点 (1)求证：平面 BDM平面 EFC； 玩转练习 1.（2019 全国理 7）设 ， 为两个平面，则 的充要条件是 A 内有无数条直线与 平行 B 内有两条相交直线与 平行 C， 平行于同一条直线 D， 垂直于同一平面 2.(2018 浙江)已知平面，直线m，n满足m，n，则“mn”是“m”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3.（2019江苏）如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，D，E分别为BC，AC的中点，ABBC 求证： （1） 11/ / AB平面 1 DEC； 4.(新课标全国，18)如

35、图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点 (1)证明：PB平面 AEC； 5.(新课标全国，18)如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E 分别是 AB，BB1 的中点. (1)证明：BC1平面 A1CD； 6.(2016 新课标全国，19)如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ADBC，AB ADAC3，PABC4，M 为线段 AD 上一点，AM2MD，N 为 PC 的中点. (1)证明：MN平面 PAB； 7.(江苏， 16)如图， 在直三棱柱 ABC-A1B1C1中， 已知 ACBC， BCCC1.设 AB1的中点为 D

36、， B1CBC1E. 求证：(1)DE平面 AA1C1C； 8.(山东，18)如图，三棱台 DEF-ABC 中，AB2DE，G，H 分别为 AC，BC 的中点 (1)求证：BD平面 FGH； 9.（2018 江苏）在平行六面体 1111 ABCDABC D中， 1 AAAB， 111 ABBC 求证：(1)AB平面 11 ABC； 10.（2017 浙江）如图，已知四棱锥PABCD，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BCAD， CDAD，22PCADDCCB，E为PD的中点 （）证明：CE平面PAB； 11.（2020桥东区校级模拟）如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，2ABAC，

37、1 2BCAA，O，M分 别为BC， 1 AA的中点 （1）求证：/ /OM平面 11 CB A； D1 C1 B1 A1 D C B A E D CB A P 考点 14 直线、平面垂直的判定与性质 玩前必备 1直线与平面垂直 图形 条件 结论 判定 ab，b(b 为 内的任意直线) a am，an，m、n，mnO a ab，a b 性质 a，b ab a，b ab 2两个平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直 (2)平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一个平面经过另一个平面的一条 垂线那么这两个平

38、面互相垂直 l l (3)平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质 定理 如果两个平面垂直，那么在 一个平面内垂直于它们交线 的直线垂直于另一个平面 a l la l 玩转典例 题型题型一一 线面垂直的判定与性质线面垂直的判定与性质 例例1 （2020湖北模拟） 如图， AB为O的直径， PA垂直于O所在的平面， M为圆周上任意一点， ANPM， N 为垂足 (1)求证：AN平面 PBM. (2)若 AQPB，垂足为 Q，求证 NQPB. 例例 2 （2019北京）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中 点 （）求证：BD 平面PAC

39、； （）若60ABC，求证：平面PAB 平面PAE； 题型二题型二 平面与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质 例例 3 （2020梅河口市校级模拟） 如图， 在四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，/ /ABCD，ABBC， 4ABBC，22CDCE （1）证明：平面PAD 平面PDE； 例例 4 （2020咸阳二模）如图，在直角梯形ABCD中，/ /ABDC，90ABC，22ABDCBC，E为 AB的中点，沿DE将ADE折起，使得点A到点P位置，且PEEB，M为PB的中点，N是BC上的动 点（与点B，C不重合） （1）求证：平面EMN 平面PBC； 玩转练习 1.(天津，17)

40、如图，已知 AA1平面 ABC，BB1AA1，ABAC3，BC2 5， AA1 7，BB12 7，点 E 和 F 分别为 BC 和 A1C 的中点. (1)求证：EF平面 A1B1BA； (2)求证：平面 AEA1平面 BCB1； 2.(山东， 18)如图， 四棱锥 PABCD 中， AP平面 PCD， ADBC， ABBC1 2AD， E， F 分别为线段 AD，PC 的中点 (1)求证：AP平面 BEF； (2)求证：BE平面 PAC. 3.(2016 北京，18)如图，在四棱锥 PABCD 中，PC平面 ABCD，ABDC，DCAC. (1)求证：DC平面 PAC； (2)求证：平面 P

41、AB平面 PAC； (3)设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F，使得PA平面CEF？说明理由. 4.（2019 江苏 16）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB=BC 求证：（1）A1B1平面 DEC1；（2）BEC1E 5.（2015重庆）如图，三棱锥PABC中，平面PAC 平面ABC， 2 ABC ，点D、E在线段AC上， 且2ADDEEC，4PDPC，点F在线段AB上，且/ /EFBC （）证明：AB 平面PFE 6 （2019新课标）图 1 是由矩形ADEB，Rt ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中1AB ， 2BEBF

42、，60FBC将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图 2 （1）证明：图 2 中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC 平面BCGE； 7 （2018江苏）在平行六面体 1111 ABCDABC D中， 1 AAAB， 111 ABBC 求证： （1）/ /AB平面 11 A B C； （2）平面 11 ABB A 平面 1 A BC 8 （2018新课标） 如图， 矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点 （1）证明：平面AMD 平面BMC； （2）在线段AM上是否存在点P，使得/ /MC平面PBD？说明理由 9 （2018新课标）如图，在平行四边

43、形ABCM中，3ABAC，90ACM，以AC为折痕将ACM 折起，使点M到达点D的位置，且ABDA （1）证明：平面ACD 平面ABC； 10 （2020 福建省泉州市高三质检（理） ）如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PA 平面ABCD， AEPD. （1）证明：AE平面PCD； 11 （2020 北京市西城区高三一模） 如图， 在四棱柱中，平面， 底面 ABCD 满足BC，且 ()求证:平面; 12.（2020 吉林省高三二模（理） ）如图，已知三棱柱 111 ABCABC中， 1 ABCB BC与是全等的等边三 角形. （1）求证： 1 BCAB； 考点 15 直线、平面所成的角 玩

44、前必备 1两条异面直线所成角的求法 1111 ABCDABC D 1 AA ABCD AD 1 22 2.ABADAABDDC， AB 11 ADD A 设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2的方向向量，则 l1与 l2所成的角 a 与 b 的夹角 范围 (0， 2 0， 求法 cos |a b| |a|b| cos a b |a|b| 2.直线与平面所成角的求法 设直线 l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 n，直线 l 与平面 所成的角为 ，a 与 n 的夹角为 ，则 sin |cos |a n| |a|n|. 3求二面角的大小 (1)如图，AB，CD 是二面角 l 的两个面内与棱 l 垂直