2020北京数学高三一模20题汇编.docx
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1、 2020 北京数学高三一模 20 汇编 1、(2020 北京朝阳一模)已知函数 1 1 ex x x f x ()求曲线 ( )yf x 在点(0, (0)f 处的切线方程; ()判断函数 ( )f x的零点的个数,并说明理由; ()设 0 x是( )f x的一个零点,证明曲线exy 在点 0 0 (,e ) x x处的切线也是曲线lnyx 的切线 2、(2020 北京东城一模)已知函数( )(ln)f xxxax(aR). ()若1a ,求曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程; ()若( )f x有两个极值点,求实数a的取值范围; ()若1a ,求( )f x在区间0, 2a上
2、的最小值. 3、(2020 北京房山一模)已知函数 ( ) (I)求曲线 ( )在点( ( )处的切线方程; (II)讨论函数 ( )的单调性; (III)若 ,设函数 ( ) | ( )| ( )在 上的最大值不小于 3,求 a 的取值范 围. 4、(2020 北京丰台一模)已知椭圆 22 22 1(0) yx Cab ab :的离心率为 2 2 ,点(1 0)P , 在椭圆C上,直线 0 yy与椭圆C交于不同的两点A B,. ()求椭圆C的方程; ()直线PA,PB分别交y轴于M N,两点,问:轴上是否存在点Q,使得 2 OQNOQM ?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 5、
3、 (2020 北京适应一模) 已知椭圆 C 的两个端点分别为 A (0,1) , B (0, -1) , 焦距为2 3. ()求椭圆 C 的方程 ()已知直线y m 与椭圆C有两个不同的交点,M N设 D 为直线 AN 上一点,且直 线 BD,BM 的斜率的积为 1 4 ,证明:点 D 在x轴上. x 6、 (2020 北京自适应一模)椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ,它的四个顶点构 成的四边形面积为2 2 ( ) I求椭圆C的方程: ()II设P是直线 2 xa上任意一点, 过点P作圆 222 xya的两条切线, 切点分别为M, N,求证:直线MN 恒过
4、一个定点 来源:学|科|网Z|X|X|K 7、(2020 北京海淀一模)已知椭圆 ( )的离心率为 ( ) ( ) ( ) 的面积为 . (I)求椭圆 的方程; (II)设 是椭圆 上一点,且不与顶点重合,若直线 与直线 交于点 ,直线 与直线 交于点 .求证: 为等腰三角形. 8、(2020 北京密云一模)已知椭圆 ( )的离心率为 ,且过点 ( ) ()求椭圆 的标准方程; ()点 是椭圆上异于短轴端点 的任意一点, 过点 作 轴于 ,线段 的中 点 为 .直线 与直线 交于点 为线段 的中点, 设 为坐标原点, 试判断以 为直径的圆与点 的位置关系. 9、(2020 北京平谷一模)已知椭
5、圆 C: 22 22 1( xy abt ab 0)的两个焦点是 12 ,F F ( 2,1)M在椭圆C上,且 12 | 4,MFMFO为坐标原点,直线l与直线OM平行,且与椭圆 交于 A,B 两点.连接 MA、MB 与 x 轴交于点 D,E. (I)求椭圆 C 的标准方程; (II)求证:|ODOE为定值. 来源:学。科。网 10、(2020 北京人大附一模)已知椭圆 ( )的左、右焦点分别为 ( )、 ( ) | | 离心率 过直线 上任意一点 ,引椭圆 的两 条切线,切点为 、 . ()求椭圆 的方程; ()在圆中有如下结论:“过圆 上一点 ( )处的切线方程为: 由上述结论类比得到:“
6、过椭圆 ( ),上一点 ( ) 处的切线方程”(只写类比结论,不必证明). 利用中的结论证明直线 恒过定点( ). 11、(2020 北京 15 中一模)已知椭圆的离心率为,右焦点 为F(c,0),左顶点为A,右顶点B在直线l:x2 上 ()求椭圆C的方程; ()设点P是椭圆C上异于A,B的点,直线AP交直线l于点D,当点P运动时,判 断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系,并加以证明 12、(2020 北京石景山一模)已知函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ()若 ( ) ( )恒成立,求实数 的取值范围; ()当 时,过 ( )上一点( , )作 ( )的切线,判断:可以作出多少条切线,
7、并 说明理由 13、(2020 北京顺义一模)已知椭圆 ( )的焦距和长半轴长都为 ,过 椭圆 的右焦点 作斜率为 ( )的直线 与椭圆 相交于 两点。 (I)求椭圆 的方程; (II)设点 是椭圆 的左顶点,直线 分别与直线 相交于点 。 求证:以 为直径的圆恒过点 。 14、 (2020 北京通州一模)已知函数( )()exf xxaxa,设( )( )g xfx. ()求( )g x的极小值; ()若( )0f x 在(0,)上恒成立,求a的取值范围. 15、(2020 北京西城一模) 设椭圆 ,直线 经过点 ( ),直线 经过点 ( ), 直线 直线 ,且直线 , 分别与椭圆 相交于
8、两点和 两点. ()若 分别为椭圆 的左、右焦点,且直线 轴,求四边形 的面积; ()若直线 的斜率存在且不为 0,四边形 为平行四边形,求证: ; ()在()的条件下,判断四边形 能否为矩形,说明理由. 来源:Z+xx+k.Com 16、(2020 北京延庆一模)已知椭圆 : ( )的左焦点为 ( ) 且经 过点 ( ) 分别是 的右顶点和上顶点,过原点 的直线 与 交于 两点(点 在 第一象限),且与线段 交于点 . ()求椭圆 的标准方程; ()若| | ,求直线 的方程; ()若 的面积是 的面积的 倍,求直线 的方程. 答案: 1、解: ()因为 1 1 ex x x f x , 所
9、以 0 01 0 1 0)2(ef , 2 (1) 2 ex x fx , 0 2 (01) 2 03e( )f 所以曲线 ( )yf x 在点(0, (0) f 处的切线的方程为3 20xy ()函数 ( )f x有且仅有两个零点理由如下: ( )f x的定义域为 |,1x xxR 因为 2 2 ( )e0 (1) x f x x , 所以 ( )f x在(,1) 和(1, )上均单调递增 因为 (0)20f , 2 1 ( 2) 3 e0f , 所以 ( )f x在(,1) 上有唯一零点 1 x 因为 2 e(2)30f , 5 4 5 ( )e90 4 f, 所以 ( )f x在(1,)
10、上有唯一零点 2 x 综上, ( )f x有且仅有两个零点 ()曲线exy 在点 0 0 (,e ) x x处的切线方程为 00 0 ee () xx yxx,即 000 0 eee xxx yxx 设曲线 lnyx 在点 33 (,)xy 处的切线斜率为 0 ex, 则 0 3 1 ex x , 0 3 1 ex x , 30 yx ,即切点为 0 0 1 (,) ex x 所以曲线 lnyx 在点 0 0 1 (,) ex x处的切线方程为 0 0 0 1 e () e x x yxx,即 0 0 e1 x yxx 因为 0 x是( )f x的一个零点,所以 0 0 0 1 1 ex x
11、x 所以 000 0 0 0000 1 1 eee (1)(1)1 xxx x x xxxx 所以这两条切线重合 所以结论成立 15 分 2、解:解:()当1a 时,( )ln21fxxx, 所以(1)1 f . 又因为(1)1f , 所以 切线方程为11yx ,即 0xy. 4 分 ()( )ln21fxxax, 设 ( )ln21g xxax, 当0a时,易证( )g x在0 +,单调递增,不合题意. 当0a时 1 2gxa x , 令 0g x,得 1 2 x a , 当 1 0, 2 x a 时, 0g x, g x在 1 0, 2a 上单调递增, 当 1 ,+ 2 x a 时, 0g
12、 x, g x在 1 , 2a 上单调递减, 所以 g x在 1 2 x a 处取得极大值 11 ln 22 g aa . 依题意,函数 ln21g xxax有两个零点, 则 11 ln0, 22 g aa 即 1 1 2a , 解得 1 0 2 a. 又由于 11 1 2ea , 11 =20ga ee , 1 2 2 1 2 a e a , 由 2 1(0) x exx得 11 22 2 22 111 ()22122(2)111 100 222 aa g ea eaa aaa 实数a的取值范围为 1 0 2 a时, f x有两个极值 点. 13 分 ()由()可知,当1a 时, 111 (
13、 )lnln0 222 g xg aa , 所以 f x在(0 + ),上单调递减, f x在区间0, 2a上的最小值为 2 (2 )2 (ln22)faaaa. 15 分 3、解:() 2 ( )62fxxax 由(0)0 f ,(0)2f,得 曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程为2y ()定义域为 R R, 2 ( )6223fxxaxxxa 令( )0fx,解得 12 0, 3 a xx 若0a, 2 ( )60fxx,( )f x在R上单调递增; 若0a, 在,0上,( )0fx,( )f x单调递增, 在( 0 , ) 3 a 上,( )0fx, ( )f x单调递减,
14、 在, 3 a 上,( )0fx,( )f x单调递增; 若0a,, 3 a 上,( )0fx,( )f x单调递增, 在( , 0 ) 3 a 上,( )0fx, ( )f x单调递减, 在0,上,( )0fx,( )f x单调递增; ()若0a,函数( )f x的单调减区间为0, 3 a ,单调递增区间为 (,0), 3 a . 当1 3 a 时,即3a,由()知,( )f x在 1,0上单调递增,在0,1上 单调递减, 则 max ( )max|( 1)|,|(0)|,|(1)|max ,2,|4|3g xfffaa 当1 3 a 时,即03a,( )f x在 1,0和,1 3 a 上单
15、调递增,在0, 3 a 上 单调递减, ( )f x在 3 a x 处取得极小值 3 ( )20 327 aa f 则 max ( )max|( 1)|,|(0)|,|(1)|max ,2,4g xfffaa, 若 max ( )3g x,则43a,即01a 综上,实数a的取值范围为0,13, 4、解:()由题意 2 222 1 1 2 2 . b c a abc , , 解得 22 21ab,. 所以椭圆C的方程为 2 2 1 2 y x.5 分 ()假设存在点Q使得 2 OQNOQM .设(0)Q m,, 因为 2 OQNOQM , 所以OQNOMQ .则tantanOQNOMQ. 即 O
16、NOQ OQOM ,所以OMONOQ 2 . 因为直线 0 yy交椭圆C于AB,两点,则AB,两点关于y轴对称. 设 0000 ()()A xyBxy, 0 (1)x , 因为(1 0)P ,, 则直线PA的方程为:) 1( 1 0 0 x x y y. 令0x,得 1 0 0 x y yM. 直线PB的方程为:) 1( 1 0 0 x x y y. 令0x,得 1 0 0 x y yN. 因为OMONOQ 2 , 所以 1 2 0 2 0 2 x y m. 又因为点 00 ()A x y,在椭圆C上, 所以 22 00 2(1)yx. 所以 2 20 2 0 2(1) 2 1 x m x .
17、即2m . 所以存在点(2 0)Q ,使得 2 OQNOQM 成立.14 分 5、解答:() 由题意知 3c , 222 , 1,4acbxabc只能且焦点在 轴上, 所以椭圆 C 的方程为: 2 2 1 4 x y。 ()由题意可设 00 (,),(,)Mx m N x m,11m 。则 22 0 4(1)xm- 因为点 D 为直线 AN 上一点,所以 0 (,1)ADANx m, 所以0,11ODANOAxm 所以 00 (1)211 4 BDBM mm KK xx 整理得 22 0 4 (1)8(1)mmx 将代入整理得1 (1) 10mm, 10, (1) 10mm ,即0 D y 所
18、以点 D 在x轴上。 6、 【解答】解:( ) I由题意可知, 222 1 222 2 2 2 2 ab c e a abc ,解得2a ,1bc, 所以椭圆的标准方程 2 2 1 2 x y; ()II证明:方法一:设点 0 (2,)Py, 1 (M x, 1) y, 2 (N x, 2) y 其中 22 11 2xy, 22 22 2xy,由PMOM,PNON, 101 11 1 2 yyy xx , 202 22 1 2 yyy xx ,即 22 11110 20xyxy y, 22 22220 20xyxy y, 注意到 22 11 2xy, 22 22 2xy,于是, 110 220
19、xy y, 220 220xy y, 所以,M,N满足 0 220xyy, 由 0 y的任意性可知,1x ,0y ,即直线MN恒过一个定点(1,0) 方法二: 设点 0 (2,)Py, 过点P且与圆 22 2xy相切的直线PM,PN, 切点分别为M,N, 由圆的知识可知,M,N是圆以OP为直径的圆 22200 (1)()1() 22 yy xy 和圆 22 2xy 的两个交点, 由 22 222200 2 (1)()1() 22 xy yy xy ,消去二次项得直线MN方程为 0 220xyy, 由 0 y的任意性可知,1x ,0y ,即直线MN恒过一个定点(1,0) 方法三:由圆的极点极线可
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