考点9. 变化率与导数、导数的计算 （2019年高考数学真题分类）.docx

1、 温馨提示：温馨提示： 此题库为此题库为 WordWord 版版, , 请按住请按住 Ctrl, Ctrl, 滑动鼠标滚轴滑动鼠标滚轴, , 调节合适的观调节合适的观 看比例看比例, , 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原板块。 考点考点 9 9 变化率与导数、导数的计算变化率与导数、导数的计算 一、选择题 1.(2019全国卷文科T10)曲线y=2sin x+cos x在点(,-1)处的切线方程为 ( ) A.x-y-1=0 B.2x-y-2-1=0 C.2x+y-2+1=0 D.x+y-+1=0 【命题意图】考查函数的导数与切线斜率的关系、导数的运算. 【解析】 选C.

2、由y=2sin x+cos x可得y=2cos x-sin x,当x=时,y=-2,即切线的斜率为-2,所以切线方程为2x+y-2+1=0. 2.(2019全国卷理科T6 同 2019全国卷文科T7)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则 ( ) A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1 C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1 【命题意图】本题考查导数的运算,导数在切线问题中的应用.意在考查考生导数公式、运算法则、切线的求法的求解能力. 【解析】选 D.令f(x)=aex+xln x, 则f(x)=aex+ln x+1,f(1)=ae+1=2,得

3、a= =e -1. f(1)=ae=2+b,可得b=-1. 二、填空题 3.(2019全国卷理科T13 同 2019全国卷文科T13)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为 . 【命题意图】本题根据导数的几何意义,通过求导数,确定得到切线的斜率,利用直线方程的点斜式求得切线方程. 【解析】y=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex, 所以,k=y|x=0=3, 所以,曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x,即 3x-y=0. 答案:3x-y=0 【题后反思】准确求导数是进一步计算的基础,本题易因导数的运算法则掌握不熟,而导致计算

4、错误.求导要“慢”,计算要准,是 解答此类问题的基本要求. 4.(2019天津高考文科T11)曲线y=cos x- 在点(0,1)处的切线方程为 . 【命题意图】本题考查导数的概念,求导法则以及常见函数的导函数公式. 【解题指南】利用导数值确定切线斜率,再用点斜式写出切线方程. 【解析】y=-sin x- ,当 x=0 时其值为- ,故所求的切线方程为 y-1=- x,即 x+2y-2=0. 答案:x+2y-2=0 【方法技巧】曲线切线方程的求法 (1)以曲线上的点(x0,f(x0)为切点的切线方程的求解步骤: 求出函数f(x)的导数f(x);求切线的斜率f(x0); 写出切线方程y-f(x0

5、)=f(x0)(x-x0),并化简. (2)如果已知点(x1,y1)不在曲线上,则设出切点(x0,y0),解方程组 - - 得切点(x0,y0),进而确定切线方程. 5.(2019江苏高考T11)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e 为自然 对数的底数),则点A的坐标是 . 【命题意图】主要考查导数的几何意义,根据导数的几何意义求得斜率,表示出切线方程,然后将已知点代入可得. 【解析】设点A(x0,y0),则y0=ln x0.又y= , 当x=x0时,y= , 曲线y=ln x在点A处的切线为y-y0= (x-x0), 即y-ln

6、x0= -1, 代入点(-e,-1),得-1-ln x0= - -1, 即x0ln x0=e, 考查函数H(x)=xln x,当x(0,1)时,H(x)0, 且H(x)=ln x+1,当x1 时,H(x)0,H(x)单调递增, 注意到H(e)=e,故x0ln x0=e 存在唯一的实数根x0=e,此时y0=1, 故点A的坐标为A(e,1). 答案:(e,1) 【误区警示】导数运算及切线的理解应注意的问题 (1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆. (2)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质,直线与曲线只有一个公共点,直线不一定是曲线的切线,同样,直线是曲线的切线, 则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点.