（答案）广东省惠州市2023届高三一模数学试题.pdf

1、【答案】第 1 页 共 6 页 惠州市惠州市 2023 届高三第一次模拟考试数学届高三第一次模拟考试数学参考答案参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A A B B D C A C AC ABD BD BCD 1372 142 2 153（答案一般形式*()26nnxnN）；1627a 1【答案】A【解析】(12i)43i5z，55(1 2i)1 2i12i(12i)(1 2i)z 故选 A 2【答案】A【解析】由6264，72128，92512，1021024，得7,8,9M，则其元素个数为 3，故选 A 3【答案】B【解析】因为8 15%1.2，所以该数学成绩的

2、15%分位数为第 2 个数据 70，选 B 4【答案】B【解析】由图 2 知无水部分体积与有水部分体积比为 1：2，所以图 1 中高度比为 1：2，得3h 选 B 5【答案】D【解析】因为costan3sin，所以sincoscos3sin，即223sinsincos，所以223sinsincos1，即1sin3，所以27sin 2cos21 2sin29，故选 D 6【答案】C【解析】由图 4 可知，“心形”关于y轴对称，所以上部分的函数为偶函数，排除 B，D；又“心形”函数的最大值为 1，而 A 选项中1x 时，24 131y，排除 A故选 C 7【答案】A【解析】由已知得总项数 7 项，

3、则6n，展开式的通项366621661C(2)C 2rrrrrrrTxxx，当r是偶数时该项为有理项，0,2,4,6r，从中任取 2 项，则都是有理项的概率为2427C2C7P 选 A 8【答案】C【解析】对于 A，由函数()g x是“类奇函数”，所以()()1g x gx，且()0g x，所以当0 x 时，(0)(0)1gg，即(0)1g，故 A 正确；对于 B，由()()1g x gx，即1()()gxg x，()gx随()g x的增大而减小，若max()(4)4g xg，则min1()(4)4g xg成立，故 B 正确；对于 C，由()g x在(0,)上单调递增，所以1()()gxg x

4、在(0,)x上单调递减，设(,0)tx ，()g t在(,0)t 上单调递增，即()g x在(,0)x 上单调递增，故 C 错误；对于 D，由()()1g x gx，()()1h x hx，所以()()()()()()1G x Gxg x gx h x hx，所以函数()()()G xg x h x也是“类奇函数”，所以 D 正确；故选 C 9【答案】AC 【解析】对于 A，由于14,4B，则()4 0.251E，故 A 正确；对于 B，2(3,)XN，(34)0.640.50.14PX，故(23)(34)0.14PXPX，故 B 错误，对于 C，12310,x xxx的方差是 3，则1231

5、02,2,2,2xxxx的方差不变，故 C 正确；对于 D，回归方程必过样本中心点，则2.80.3mm，解得4m ，故 D 错误 10【答案】ABD 【解析】6log 2a，6log 3b，则1ab 对于 A，6226log 3log 3log 21log 2ba，故 A 正确，对于 B，666log 3log 2log 61ab，且0a，0b，2()144abab，故 B 正确，【答案】第 2 页 共 6 页 对于 C，22211()2121242abababab ，故 C 错误，对于 D，66632435()5logloglog 61232ba，故 D 正确，11【答案】BD【解析】数形结

6、合作出抛物线图象，由过焦点直线斜率及抛物线定义可得2p，故 A 错误；由图知AOB为钝角知 C 错误，故选：BD 12【答案】BCD【解析】对于 A，连接1D F，1D A，可证得1/D AEF，1,A E F D四点共面，又可证得11/AGD F，所以1/AG平面AEF，故 A 错误；对于 B，三棱锥1CBCD的外接球半径22211144(4 3)2 522RAC，三棱锥1CBCD的外接球的表面积为2480R，故 B 正确；对于 C，11()()8AE GCABBEGFFC ，11182 35cos,3520 28AE GCAE GCAEGC ，故 C 正确；对于 D，设二面角1CADB的平

7、面角为，则1C DC，所以1tan3C CCD，于是60，MNMPPQQN ，且MPPQ，PQQN，,120MP QN 22222()27MNMPPQQNMPMPQNMP QN ，7MN，故D正确 故选BCD 13【答案】72【解析】设公差为d，492d，74d，故722cad故答案为：72 14【答案】2 2 【解析】因为弦AB将圆分成两段弧长之差最大，此时AB垂直OP，由圆半径为 2，2OP，由勾股定理得2 422 2AB 15【答案】3（答案一般形式*()26nnxnN）【解析】由3222Txx，T，故22，()sin 23f xx，令2,3xkkZ，即,26kxkZ，(1,2,3,)2

8、6nnxn，【答案的一般形式】(1,2,3,)26nnxn，对n取特殊值即可，取1n，得13x；取2n，得25,6x（答案不唯一）16【答案】27a 【解析】由14BA ，设(7,0)A、(7,0)B，由6CACB ，得点C的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为 6 的双曲线的右支（不含右顶点），因为CD是ABC的角平分线，且(0)ADACBEBAACAD ，E为ABC的内心，设00(,)E xy，由内切圆的性质得，00()2ACBCcxcxa，得03xa，BE 在a上的投影长为4ca，则BE 在a上的投影向量为27a 17【解析】（1）当1n 时，111225Saa，解得13a，1 分【答案】第

9、3 页 共 6 页 当2n时，1122(1)5nnSan2 分 可得11225 22(1)5nnnnSSanan，整理得：122nnaa，3 分 从而122(2)(2)nnaan，4 分 又121a，所以数列2na 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，5 分 所以122nna，所以122nna 6 分（2）由（1）得122nna，所以122nna，所以21log)2(nnban，7 分 11111(1)1nnbbn nnn，8 分 所以1 22 33 411111111111111223341nnnTbbb bb bb bnn9 分 1111nnn 10 分 18【解析】（1）【解法一】在A

10、BD中，由余弦定理222cos2ADABBDAAD AB 1 分 得222(2 3)2cos2 2 32BDA，即2163cos8BDA，2 分 同理，在BCD中，22222cos2 2 2BDC，3 分 即28cos8BDC4 分 得3coscos1AC，所以当BD长度变化时，3coscosAC为定值，定值为 15 分【解法二】在ABD中，由余弦定理2222cosBDADABAD ABA，1 分 得222(2 3)22 2 32 cosBDA ，即2168 3cosBDA，2 分 同理，在BCD中，2222cos88cosBDCDCBCD CBCC，3 分 所以168 3cos88cosAC

11、 4 分 化简得3cos1cosAC，即3coscos1AC 所以当BD长度变化时，3coscosAC为定值，定值为 1 5 分（2）222222221211sinsin44SSABADABCCDC6 分 2212sin44cosAC7 分 22212sin44(3cos1)24cos8 3cos12AAAA 8 分 令cosAt，(1,1)t（或写出(0,1)t），9 分 所以223248 31224146yttt 10 分 所以36t，即3cos6A 时，11 分 2212SS有最大值为 14 12 分 19【解析】（1）【解法一】连接1B A，由已知得，11/BCBCAD，且1112BC

12、AMBC，所以四边形11ABC M是平行四边形，1 分 即11/C MB A，2 分 又1C M 平面11AAB B，1B A平面11AAB B，3 分 所以1/C M平面11AAB B 4 分【答案】第 4 页 共 6 页【解法二】连接1AB，1MD，由已知得11AAMD，(1 分)11111111MCMDDCAAABAB，即11/C MB A，(2 分)又1C M 平面11AAB B，1B A平面11AAB B，(3 分)所以1/C M平面11AAB B(4 分)（2）取BC中点Q，连接AQ，由题易得ABC 是正三角形，所以AQBC，即AQAD，5 分 由于1AA 平面ABCD分别以1,A

13、Q AD AA为,x y z轴，建立如图空间直角坐标系，(6 分)则(0,0,0)A，10,()0,1A，10,()1,1D，(3,0,0)Q，假设点E存在，设点E的坐标为(3,0)，11，(3,0)AE，1(0,1,1)AD 7 分 设平面1AD E的法向量为(,)nx y z，则100n AEn AD ，即300 xyyz，可取(,3,3)n8 分 又平面1ADD的法向量为(3,0,0)AQ，9 分 所以231cos,336AQ n ，解得：32 10 分 由于二面角1EADD为锐角，则点E在线段QC上，所以32，即312CE 11 分 故BC上存在点E，当312CE 时，二面角1EADD

14、的余弦值为13 12 分 20【解析】（1）当2a 时，222()exxxf x，2()exxfx，1 分 所以切线的斜率(1)ekf，2 分 又(1)ef，所以切点为()1,e，3 分 切线方程为ee(1)yx，化简得e0 xy4 分（2）【解法一】当0 x时，()2f x 恒成立，故22exxaxa，也就是22exxaxa，即2(1)2exa xx，由10 x 得22e1xxax，5 分 令22e()(0)1xxh xxx，则222(2e2)(1)(2e)(2e2)()(1)(1)xxxx xxxxh xxx，6 分 令()2e2xt xx，则()2e1xt x，7 分 可知()t x在0

15、,)单调递增，则()(0)1t xt，即()0t x在(0,)恒成立，8 分 故()t x在0,)单调递增 9 分 所以()(0)0t xt，故()0h x在0,)恒成立10 分 所以()h x在0,)单调递增，而(0)2h，所以()2h x，11 分 故2a12 分【解法二】因为当0 x时，()2f x 恒成立，故max()2f x，由2(2)(2)()(0)eexxxa xx xafxx，5 分 令()0fx，得0 x 或2xa，6 分 当20a，即2a时，()0fx在,)0 x上恒成立，ABCDD1A1B1C1MQxyz【答案】第 5 页 共 6 页 f x在0,)x上单调递减，max0

16、()(0)2af xfae，7 分 当2a 时合题意，当2a 时不合题意8 分 当20a，即2a 时，()f x在0,2)xa上单调递增，在(2,)xa上单调递减，max24()(2)aaf xfae，9 分 设20at，2ttye，则10ttye 恒成立，2ttye在(0,)上单调递减，10 分 0022tyye，即max()2f x，符合题意 11 分 综上，2a12 分 21【解析】（1）双曲线C的渐近线方程为0bxay和0bxay 1 分 所以有22222200000022222222b xa ybxaybxaya babababab 2 分 由题意可得2222245ba bab，又2

17、2 5c，则2225cab，解得2a，1b 3 分 则双曲线C的方程为2214xy4 分（2）【解法一】当直线斜率不存在时，易知此时(2,0)P，直线:2l x，不妨设(2,1)M，(2,1)N，得2MONS；5 分 当直线斜率存在时，设直线l的方程为ykxm，与双曲线的方程2244xy联立，可得222(41)8440kxkmxm，6 分 直线与双曲线的右支相切，可得222(8)4(41)(44)0kmkm，故2241km7 分 设直线l与x轴交于D，则,0mDk，8 分 又双曲线的渐近线方程为12yx，联立12yxykxm，可得2,1212mmMkk，9 分 同理可得2,1212mmNkk，

18、122MONMODNODMNMNmSSSODyykxxk 10 分 222224222121 221 4mmmmmmkkkkkkkm 11 分 综上，MON面积为 212 分【解法二】当直线斜率不存在时，易知此时(2,0)P，直线:2l x，不妨设(2,1)M，(2,1)N，得2MONS；5 分 当直线斜率存在时，设直线l的方程为ykxm，与双曲线的方程2244xy联立，可得222(41)8440kxkmxm，6 分 直线与双曲线的右支相切，可得222(8)4(41)(44)0kmkm，故2241km，7 分 设直线l与x轴交于D，则,0mDk8 分 又双曲线的渐近线方程为12yx，联立12y

19、xykxm，可得2,1212mmMkk，9 分【答案】第 6 页 共 6 页 同理可得2,1212mmNkk，设渐近线12yx的倾斜角为角则1tan2，所以21242tan2311210 分 又2222431414cos2cos2cos2mmOM ONkkOMON ，所以113334sin2sin2tan2222cos2223OMNSOMON 11 分 综上，MON面积为 212 分 22【解析】（1）设1A“第 1 天选择米饭套餐”，2A“第 2 天选择米饭套餐”，1A“第 1 天不选择米饭套餐”1 分 根据题意12()3P A，11()3P A，且211()4P AA，2111()122P

20、 A A ，2 分 由全概率公式，得2121121()()()()()P AP A P AAP A P A A3 分 2111134323 4 分（2）（i）设nA“第n天选择米饭套餐”，则()nnPP A，()1nnP AP，根据题意11()4nnP AA，111()122nnP AA 5 分 由全概率公式，得111()()()()()nnnnnnnP AP A P AAP A P AA1111(1)4242nnnPPP 6 分 即11142nnPP，因此1212545nnPP 7 分 因为1240515P，所以25nP是以415为首项，14为公比的等比数列 8 分（ii）由（i）可得12415154nnP 9 分 当n为大于 1 的奇数时，122412415515 4515 412nnP10 分 当n为正偶数时，124125515 4512nnP 11 分 因此当2n时，512nP 12 分