高中数学选修2-1课件11：242抛物线的简单几何性质.pptx

1、2.4.2 2.4.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？可以讨论抛物线的哪些几何性质？问题导入问题导入1.1.范围范围 因为因为p0，由方程（，由方程（1）可知，对于抛物线（）可知，对于抛物线（1）上的点上的点M(x，y)，x0，所以这条抛物线在，所以这条抛物线在y轴的右侧，轴的右侧，开口方向与开口方向与x轴正向相同轴正向相同;当当x的值增大时，的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸上方和右下方无限延伸学习新知学习新知2.对称性对称性 以以

2、y代代y，方程，方程（1）不变，所以这条抛物线关于不变，所以这条抛物线关于x轴对称轴对称.我们把抛物线的对称轴叫做我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴抛物线的轴3.顶点顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点抛物线的顶点.在方在方程（程（1）中，当）中，当y=0时，时，x=0，因此抛物线（，因此抛物线（1）的顶）的顶点就是坐标原点点就是坐标原点4.离心率离心率 抛物线上的点抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做距离的比，叫做抛物线的离心率抛物线的离心率，用，用e表示由抛表示由抛物线的定义可知，物线的定义可知，e=1xyOFABy2=

3、2px2p 过焦点而垂直于对称轴的过焦点而垂直于对称轴的弦弦AB，称为抛物线的通径，称为抛物线的通径.利用利用抛物线的抛物线的顶点顶点、通径通径的的两个端点可较准确画出反映两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图抛物线基本特征的草图.pp,2(,)2pp|AB|=2p2p越大，抛物线张口越大越大，抛物线张口越大.5.通径通径 连接连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的线的焦半径焦半径.焦半径公式：焦半径公式：xyOFP6.焦半径焦半径02pPFx例例1已知已知抛物线关于抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标轴对称，它的顶点为坐标原点，并且经过点原点，并

4、且经过点M（2，），求它的标准方程），求它的标准方程.2 2典例精析典例精析解：解：因为抛物线关于因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点点，并且经过点M（2，），所以，可设它的标），所以，可设它的标准方程为准方程为2 2因为点因为点M在抛物线上，所以在抛物线上，所以2(2 2)22,p因此因此,所求抛物线所求抛物线的的标准方程标准方程是是24.yx即即p=2.22(0)ypx p例例2斜率斜率为为1的直线的直线l 经过抛物线经过抛物线y2=4x的焦点的焦点F，且，且与抛物线相交于与抛物线相交于A，B两点，求线段两点，求线段AB的的长长.【解析解析】由由抛

5、物线的方程可以得到它的焦点坐标，抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线又直线l的斜率为的斜率为1，所以可以求出直线，所以可以求出直线l的方程；的方程；与抛物线的方程联立，可以求出与抛物线的方程联立，可以求出A,B两点的坐标；两点的坐标；利用两点间的距离公式可以求出利用两点间的距离公式可以求出 AB.这种方这种方法虽然思路简单，但是需要复杂的代数运算法虽然思路简单，但是需要复杂的代数运算.下面，我们介绍另外一种方法下面，我们介绍另外一种方法数形结合的方法数形结合的方法.如如图，设图，设A(x1,y1),B(x2,y2)由抛物线的定义可知，由抛物线的定义可知，|AF|等等于点于点A到准线的距离到

6、准线的距离|AA|.设设|AA|=dA，而，而dA=x1+1，于，于是是|AF|=dA=x1+1.同理，同理，|BF|=|BB|=dB=x2+1，于是得，于是得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2.由此可见，只要求出点由此可见，只要求出点A,B的横坐标之和的横坐标之和x1+x2，就可以求出，就可以求出|AB|.将（将（1）代入方程）代入方程y2=4x,得（得（x-1）2=4x,化简化简得得x2-6x+1=0.由求根公式得由求根公式得x1=3+2 ，x2=3-2于是于是|AB|=x1+x2+2=8.所以，线段所以，线段AB的长是的长是8.利用根与系数的关系可以直接求出利用根与系数的关系可

7、以直接求出x1+x2=6.22【解析解析】运用运用抛物线抛物线的定义和平面几何知的定义和平面几何知识来证比较简捷识来证比较简捷如上如上题，求证：以题，求证：以AB为直径的圆和抛物线的为直径的圆和抛物线的准线相切准线相切变式训练变式训练证明：如图，设证明：如图，设AB的中点为的中点为E，过，过A，E，B分别向准分别向准线线l引垂线引垂线AD，EH，BC，垂足分别为，垂足分别为D，H，C，所以所以EH是以是以AB为直径的圆为直径的圆E的半径，且的半径，且EHl，因，因而圆而圆E和准线和准线l相切相切则则AFAD，BFBCABAFBFADBC=2EH例例3 过过抛物线焦点抛物线焦点 F的直线交抛物线

8、于的直线交抛物线于A,B两点，通两点，通过点过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线求证：直线DB平行于抛物线的对称轴平行于抛物线的对称轴.【解析解析】我们我们用坐标法证明，即通过建立抛物线及用坐标法证明，即通过建立抛物线及直线的方程，借助方程研究直线直线的方程，借助方程研究直线DB与抛物线对称轴与抛物线对称轴之间的位置关系之间的位置关系.建立如图所示的直角坐标系，只要证明点建立如图所示的直角坐标系，只要证明点D的纵坐的纵坐标与点标与点B的纵坐的纵坐+标相等即可标相等即可.证明证明：如图，以抛物线的对称轴为：如图，以抛物线的对称轴为x轴，它的

9、顶点轴，它的顶点为原点为原点，建立，建立直角坐标系直角坐标系.设抛物线的方程设抛物线的方程为为y2=2px(1)抛物线的准线方程是抛物线的准线方程是联立联立(2)(3)，可得点，可得点D的纵坐标为的纵坐标为(3)2px20(4)pyy002(0)(2)pyx yy点点A的坐标为的坐标为 ，则直线，则直线OA的方程为的方程为200(,)2yyp所以，直线所以，直线DB平行于抛物线的对称轴平行于抛物线的对称轴.由由(4)(6)可知，可知，DBx轴轴.当当y02=p2时，结论显然成立时，结论显然成立.联立联立(1)(5)，可得点，可得点B的纵坐标为的纵坐标为20(6)pyy y2=4x例例4 已知已知抛物线的抛物线的方程方程为为y2=4x，直线直线l 过过定点定点P（-2,1），斜率，斜率为为k,k为何为何值时，值时，直线直线l与与抛物线抛物线 y2=4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？【解析解析】用用解析法解决这个问题，只要讨论直线解析法解决这个问题，只要讨论直线l的的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况，由方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况，由方程组解的情况判断直线方程组解的情况判断直线l与抛物线的位置关系与抛物线的位置关系.21(2),4,yk xyx（*）课堂小结课堂小结