高中数学课件圆的一般方程资料.ppt
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1、4.1.2圆的一般方程1.1.掌握圆的一般方程的形式,熟练掌握圆的两种方程的互化掌握圆的一般方程的形式,熟练掌握圆的两种方程的互化.2.2.会用待定系数法求圆的一般方程会用待定系数法求圆的一般方程.3.3.了解几种求轨迹方程的方法了解几种求轨迹方程的方法.(1)(1)形式:形式:x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0,+Dx+Ey+F=0,化为标准方程为化为标准方程为_._.(2)(2)条件:条件:_,_,圆心为圆心为_,_,半径为半径为_._.特别地特别地,当当D D2 2+E+E2 2-4F=0-4F=0时时,方程表示点:方程表示点:_._.当当D D2 2+E+E2 2-4F0-
2、4F0-4F0DE(,)2222DE4F2不表示任何图形不表示任何图形DE(,)221.“1.“判一判判一判”理清知识的疑惑点理清知识的疑惑点(正确的打正确的打“”,”,错误的打错误的打“”).”).(1)(1)平面内任一圆的方程都是关于平面内任一圆的方程都是关于x,yx,y的二元二次方程的二元二次方程.(.()(2)(2)圆的一般方程和圆的标准方程可以互化圆的一般方程和圆的标准方程可以互化.(.()(3)(3)形如形如x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0的方程都表示圆的方程都表示圆.(.()(4)(4)方程方程x x2 2+y+y2 2-2x+Ey+1=0-2x
3、+Ey+1=0表示圆表示圆,则则E0.(E0.()提示:提示:(1)(1)正确正确.因为因为 可化为可化为x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0,+Dx+Ey+F=0,均是关于均是关于x,yx,y的二元二次方程的二元二次方程.(2)(2)正确正确.圆的一般方程与圆的标准方程可以互化圆的一般方程与圆的标准方程可以互化.(3)(3)错误错误.少了条件少了条件D D2 2+E+E2 2-4F0.-4F0.(4)(4)正确正确.因为因为D D2 2+E+E2 2-4F=4+E-4F=4+E2 2-40,-40,则则E0.E0.答案:答案:(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)2222
4、DEDE4F(x)(y)2242.“2.“练一练练一练”尝试知识的应用点尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线请把正确的答案写在横线上上).).(1)(1)圆的标准方程圆的标准方程(x-1)(x-1)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1=1化为一般方程为化为一般方程为.(2)(2)若圆的一般方程为若圆的一般方程为x x2 2+y+y2 2+4x+2=0,+4x+2=0,则圆心坐标为则圆心坐标为,半径为半径为.(3)(3)若方程若方程x x2 2+y+y2 2-x+y+m=0-x+y+m=0表示圆的方程表示圆的方程,则则m m的取值范围是的取值范围是.【解析】【解析】(1)(1)因为因为(
5、x-1)(x-1)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1,=1,所以所以x x2 2+y+y2 2-2x-6y+9=0.-2x-6y+9=0.答案:答案:x x2 2+y+y2 2-2x-6y+9=0-2x-6y+9=0(2)(2)因为因为x x2 2+y+y2 2+4x+2=0+4x+2=0化为标准方程为化为标准方程为(x+2)(x+2)2 2+y+y2 2=2,=2,所以圆心为所以圆心为(-2,0),(-2,0),半径为半径为 .答案:答案:(-2,0)(-2,0)(3)(3)因为方程因为方程x x2 2+y+y2 2-x+y+m=0-x+y+m=0表示圆的方程表示圆的方程,所以所以(-
6、1)(-1)2 2+1+12 2-4m0,-4m0,所以所以m .m .答案:答案:mm0,-4F0,通常情况下先配成通常情况下先配成(x-(x-a)a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=m,=m,通过观察通过观察m m与与0 0的关系的关系,说明方程是否为圆的一般说明方程是否为圆的一般方程方程,而不要死记条件而不要死记条件D D2 2+E+E2 2-4F0.-4F0.类型类型 一一 二元二次方程与圆的关系二元二次方程与圆的关系尝试完成下列题目尝试完成下列题目,归纳一个关于归纳一个关于x,yx,y的二元二次方程表的二元二次方程表示圆的两种判断方法示圆的两种判断方法.1.(20131.(20
7、13晋江高一检测晋江高一检测)方程方程x x2 2+y+y2 2+2x-4y-6=0+2x-4y-6=0表示的图形是表示的图形是 ()A.A.以以(1,-2)(1,-2)为圆心为圆心,为半径的圆为半径的圆B.B.以以(1,2)(1,2)为圆心为圆心,为半径的圆为半径的圆C.C.以以(-1,-2)(-1,-2)为圆心为圆心,为半径的圆为半径的圆D.D.以以(-1,2)(-1,2)为圆心为圆心,为半径的圆为半径的圆2.2.方程方程x x2 2+y+y2 2-4mx+2my+20m-20=0-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆能否表示圆?若能表示圆若能表示圆,求求出圆心和半径出圆心和半径.1
8、1111111【解题指南】【解题指南】1.1.将圆的一般方程化为标准方程即可确定圆心将圆的一般方程化为标准方程即可确定圆心与半径与半径.2.2.本题可直接利用本题可直接利用D D2 2+E+E2 2-4F0-4F0是否成立来判断是否成立来判断,也可把左端配也可把左端配方方,看右端是否为大于零的常数看右端是否为大于零的常数.【解析】【解析】1.1.选选D.D.将方程将方程x x2 2+y+y2 2+2x-4y-6=0+2x-4y-6=0化为化为(x+1)(x+1)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=11,=11,因此因此,圆心为圆心为(-1,2),(-1,2),半径为半径为 .112.2.方法
9、一:由方程方法一:由方程x x2 2+y+y2 2-4mx+2my+20m-20=0,-4mx+2my+20m-20=0,可知可知D=-4m,E=2m,F=20m-20,D=-4m,E=2m,F=20m-20,所以所以D D2 2+E+E2 2-4F=16m-4F=16m2 2+4m+4m2 2-80m+80=20(m-2)-80m+80=20(m-2)2 2,因此因此,当当m=2m=2时时,D,D2 2+E+E2 2-4F=0,-4F=0,它表示一个点它表示一个点,当当m2m2时时,D,D2 2+E+E2 2-4F0,-4F0,原方程表示圆的方程原方程表示圆的方程,此时此时,圆的圆心为圆的圆
10、心为(2m,-m),(2m,-m),半径为半径为221rDE4F5|m2|.2方法二:原方程可化为方法二:原方程可化为(x-2m)(x-2m)2 2+(y+m)+(y+m)2 2=5(m-2)=5(m-2)2 2,因此因此,当当m=2m=2时时,它表示一个点它表示一个点,当当m2m2时时,原方程表示圆的方程原方程表示圆的方程.此时此时,圆的圆心为圆的圆心为(2m,-m),(2m,-m),半径为半径为r=|m-2|.r=|m-2|.5【技法点拨】【技法点拨】方程方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0表示圆的两种判断方法表示圆的两种判断方法(1)(1)配方法配方法.
11、对形如对形如x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通过的二元二次方程可以通过配方变形成配方变形成“标准标准”形式后形式后,观察是否表示圆观察是否表示圆.(2)(2)运用圆的一般方程的判断方法求解运用圆的一般方程的判断方法求解.即通过判断即通过判断D D2 2+E+E2 2-4F-4F是是否为正否为正,确定它是否表示圆确定它是否表示圆.提醒:提醒:在利用在利用D D2 2+E+E2 2-4F0-4F0来判断二元二次方程是否表示圆时来判断二元二次方程是否表示圆时,务必注意务必注意x x2 2及及y y2 2的系数的系数.类型类型 二二 圆的一般方程的求
12、法圆的一般方程的求法通过解答下列求圆的一般方程的题目通过解答下列求圆的一般方程的题目,试总结用待定系数试总结用待定系数法求圆的一般方程的步骤及两种方程形式选择的标准法求圆的一般方程的步骤及两种方程形式选择的标准.1.1.过点过点(-1,1),(-1,1),且圆心与圆且圆心与圆x x2 2+y+y2 2-6x-8y+15=0-6x-8y+15=0的圆心相同的圆的圆心相同的圆的方程是的方程是.2.2.已知一个圆过已知一个圆过P(4,2),Q(-1,3)P(4,2),Q(-1,3)两点两点,且在且在y y轴上截得的线段轴上截得的线段长为长为 ,求圆的方程求圆的方程.4 3【解题指南】【解题指南】1.
13、1.根据所给圆的方程求出圆心坐标根据所给圆的方程求出圆心坐标,再代入设出再代入设出的方程求解的方程求解.2.2.设出圆的一般方程设出圆的一般方程,由圆过由圆过P,QP,Q两点可得两个方程两点可得两个方程,再根据圆再根据圆在在y y轴上截得的线段长可得到一个方程轴上截得的线段长可得到一个方程,通过解方程组可求出通过解方程组可求出圆的方程圆的方程.【解析】【解析】1.1.设所求圆的方程为设所求圆的方程为x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0.+Dx+Ey+F=0.由已知该圆圆心为由已知该圆圆心为(3,4),(3,4),且过点且过点(-1,1),(-1,1),故故 所以圆的方程为所以圆的方程
14、为x x2 2+y+y2 2-6x-8y=0.-6x-8y=0.答案:答案:x x2 2+y+y2 2-6x-8y=0-6x-8y=02DEF0,D6,D3,E8,2F0.E4,2 所以2.2.设圆的方程为设圆的方程为x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0.+Dx+Ey+F=0.令令x=0,x=0,得得y y2 2+Ey+F=0.+Ey+F=0.由已知由已知|y|y1 1-y-y2 2|=4 ,|=4 ,其中其中y y1 1,y,y2 2是方程是方程y y2 2+Ey+F=0+Ey+F=0的两根的两根,所以所以(y(y1 1-y-y2 2)2 2=(y=(y1 1+y+y2 2)2 2
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