高中数学课件-第一章-导数及其应用-4生活中的优化问题举例课时1.ppt
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- 高中数学 课件 第一章 导数 及其 应用 生活 中的 优化 问题 举例 课时
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1、1 1.4 .4 生活中的优化问生活中的优化问题举例(题举例(1 1)生活中的优化问题举例内容:内容:生活中的优化问题应用应用:1.海报版面尺寸的设计2.圆柱形饮料罐的容积为定值时,所用材料最省问题 3.饮料瓶大小对饮料公司利润有影响 本课主要学习生活中的优化问题。以生活中的实际问题引入新课。本节课设计从易到难,由浅入深地发现身边的“数学”,特别是对采用一题多解,一题多变的变式教学,有利于培养学生思维的广阔性与深刻性。遵循“提出问题-分析问题-解决问题”的思维过程,注重引导学生,了解背景、思考推理、数学建模等活动。本课给出3个例题和变式,通过解决这些问题,培养学生数学建模的能力。采用例题与变式
2、结合的方法,通过例1探讨如何设计海报的尺寸,使空白面积最小;例2是饮料罐的容积为定值时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省;例3是饮料的利润最大问题通过这些问题的解决,体会导数在解决实际问题中的作用,提高将实际问题转化为数学问题的能力.问题问题1 1:学校宣传海报比赛,要求版心面积128dm左右边距1dm上下边距2dm,请问你将如何设计?版心规格(规格(L)21.250.6价格(元)价格(元)5.14.52.5问题问题2 2:下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品,若它们的价格如下表所示,则(1)对消费者而言,选择哪一种更合算呢?(2)对制造商而言,哪一种的利润更大?生活中经常遇到求利润最
3、大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.运用什么知识解决优化问题 一般地,若函数一般地,若函数y=f(x)在在a,b上的图象是一条连续不断的上的图象是一条连续不断的曲线,则求曲线,则求f(x)的最值的步骤是:的最值的步骤是:(1)求)求y=f(x)在在a,b内的极值内的极值(极大值与极小值极大值与极小值);(2)将函数的各极值与端点处的函数值)将函数的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.特别地,如果函数在给定区间内只有一个极值点,则这个极值一定是最值。yo oax1x2x3x4
4、bx例例1 1:海报版面尺寸的设计:海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm,如何设计海报的尺寸,才能使四周空白面积最小?x图图3.4-1 分析:已知版心的面分析:已知版心的面积,你会如何建立函数积,你会如何建立函数关系表示海报四周的面关系表示海报四周的面积呢?积呢?128:,xdmdmx解 设版心的高为则版心的宽为此时四周空白面积为 0,160 xs x当时,;你还有其他方法你还有其他方法求这个最值吗?求这个最值吗?128()(4)(2)128S x
5、xx51228,0 xxx2512()2S xx求导数,得2512()20S xx令1616xx解 得:,(舍)128128816x于是宽为:16,0.xs x当时,因此,x=16是函数S(x)的极小值,也是最小值点。所以,当版心高为16dm,宽为8dm时,能使四周空白面积最小。(0,1 6)x(16,)()S x()S x1 60极小值解法二:由解法(一)得512512()282 28S xxxxx2 32872512,16(0)xxxSx当且仅当2即时 取最小值8128此时y=16816dmdm答:使用版心宽为,长为时,四周空白面积最小。2.在实际应用题目中,若函数f(x)在定义域内只有一
6、个极值点x0,则不需与端点比较,f(x0)即是所求的最大值或最小值.1.设出变量找出函数关系式;(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)确定出定义域;所得结果符合问题的实际意义。练习练习1.1.一条长为 的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形,要使两个正方形的面积和最小,两段铁丝的长度分别是多少?则两个正方形面积和为2221)4()4(xlxssS)22(16122llxx解:设两段铁丝的长度分别为x,l-x,其中0 x0它表示 f(r)单调递增,即半径越大,利润越高;当半径r时,f(r)0 它表示 f(r)单调递减,即半径越大,利润越低1.半径为cm 时,利润最小,这时(2)0f表示此种瓶内饮料的
7、利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值。.半径为cm时,利润最大。?,)44.1(,:你有什么发现上观察图从函数的图象直接数工具们不用导我果如换一个角度 .,3r;,cm3,03f,3r,利润才为正值时当好相等成本恰饮料的利润与饮料瓶的时即瓶子半径是时当易看出图象上容从?,rf,2,0r解释它的实际意义吗你能是减函数时当 ory23图1.4-4由上述例子,我们不难发现,解决优化问题的基本思路是由上述例子,我们不难发现,解决优化问题的基本思路是:上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。优化问题优化问题用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题用
8、导数解决数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案优化问题的答案解决优化问题的一般步骤:解决优化问题的一般步骤:(1)(1)审题:审题:阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,找出问题的主要关系;(2)(2)建模:建模:将文字语言转化成数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;(3)(3)解模:解模:把数学问题化归为常规问题,选择合适的数 学方法求解;(4)(4)对结果进行验证评估,定性定量分析,做出正确的 判断,确定其答案。注意:实际应用中,准确地列出函数解析式并确定函数注意:实际应用中,准确地列出函数解析式并确定函数的定义域是关键的定义域是关键。习题1.4 A组 2,5,6必做题必做题:1
9、.已知已知:某商品生产成本与产量某商品生产成本与产量q的函数关系式为的函数关系式为100 4Cq,价格价格p与产量与产量q的函数关系式为的函数关系式为1258pq,求产量求产量 q 为何值时,利润为何值时,利润 L 最大?最大?1(25)(1004)8LpqCq qq解:利润21211008qq 121,0,4LqL 令84q 求得0L 当时,q84,0L 当时,q84,84qL当产量 为时,利润 最大选做题选做题:21211008qq 1(25)(1004)8LpqCq qq另解:利润2184124bqLa 当时,的值最大 h b 6 0 0 E D C B A h b 6 0 0 E D
10、C B A分析:法一法一:这是一个几何最值问题,本题可用对称性技巧获得解决.法二法二:只要能把 AE+BE代数化,问题就易解决A 多义词多义词引子:引子:v“微须微须”的故事:的故事:在清朝时有一个真实的故事。那时参加科举考试的考在清朝时有一个真实的故事。那时参加科举考试的考生都要填相貌册,以防止冒名顶替。有个考生写上生都要填相貌册,以防止冒名顶替。有个考生写上“微须微须”二二字,表示自己长有少量的胡须。没想到到了试场,考官却把他字,表示自己长有少量的胡须。没想到到了试场,考官却把他轰出了考场,理由是轰出了考场,理由是“微须微须”二字应解为二字应解为“没有胡须没有胡须”。巧的是另一个考生也写了
11、巧的是另一个考生也写了“微须微须”,他见势不妙,赶紧,他见势不妙,赶紧回去把胡子剃掉了,哪知来到考场,考官一拍惊堂木:回去把胡子剃掉了,哪知来到考场,考官一拍惊堂木:“又来又来个冒名顶替的!个冒名顶替的!”原来,考场文书是这考生的老相识,暗中把原来,考场文书是这考生的老相识,暗中把他填的他填的“微须微须”改成了改成了“有须有须”。这时,又有个考生不服同考官争执起来。考官训斥他这时,又有个考生不服同考官争执起来。考官训斥他说:说:“读书人怎能连老父子(朱熹)以读书人怎能连老父子(朱熹)以微微训训无无都不知都不知道呢?道呢?”在当时,应试者是非读朱熹注解的在当时,应试者是非读朱熹注解的四书四书不可
12、的。不可的。结果这考生也不示弱,笑着回答道:结果这考生也不示弱,笑着回答道:“照你这么说,那么孔子照你这么说,那么孔子微服而过宋,就是脱得赤膊精光了?微服而过宋,就是脱得赤膊精光了?”这一驳让考官哑口无言这一驳让考官哑口无言了。了。v巧嘴媒婆:巧嘴媒婆:一个姑娘缺一块嘴唇,一个小伙子没有鼻子。一个姑娘缺一块嘴唇,一个小伙子没有鼻子。媒婆对小伙子说:媒婆对小伙子说:“这个姑娘没有别的毛病,这个姑娘没有别的毛病,就是就是嘴不好嘴不好。”媒婆对姑娘说:媒婆对姑娘说:“这个小伙子什么都好,就这个小伙子什么都好,就是是眼下没有什么眼下没有什么。”多义词的义项:多义词的义项:v“意思意思”真有意思!真有意
13、思!辨析一下:这八个辨析一下:这八个“意思意思”都属于都属于“意思意思”在在现代汉语词典现代汉语词典中的哪些义项?中的哪些义项?v词的词的本义本义、借代引申借代引申与与比喻引申比喻引申-v“花花”的演变:的演变:v“而而”字趣闻:字趣闻:近代名士章式之在批改一个学生作文时,发近代名士章式之在批改一个学生作文时,发现这个学生在作文中一连用了十几个现这个学生在作文中一连用了十几个“而而”字,字,都不恰当,让人啼笑皆非,于是章式之在在该生都不恰当,让人啼笑皆非,于是章式之在在该生的作文本上批了一段批语:的作文本上批了一段批语:“当而而不而,不而而而而,而今而后,当而而不而,不而而而而,而今而后,宜而
14、而而也!宜而而而也!”议一议:这个绝妙的评语中一共有议一议:这个绝妙的评语中一共有19个个“而而”字,字,你能准确地说出各自的含义吗?你能准确地说出各自的含义吗?理一理:理一理:翻翻现代汉语词语现代汉语词语,归纳,归纳“而而”的义项。的义项。辨一辨:辨一辨:“而而”字的本义是什么,它又是怎样演变的?字的本义是什么,它又是怎样演变的?而本义:胡须(象形字,本义已消失)引申义:作连词、介词等(假借字)练一练:指出下面句子中练一练:指出下面句子中“而而”的意义或用法。的意义或用法。v 蟹六跪蟹六跪而而二螯。二螯。v君子博学君子博学而而日参省乎己。日参省乎己。v简能简能而而任之,择善任之,择善而而从之
15、。从之。v青,取之于蓝,青,取之于蓝,而而青于蓝。青于蓝。v诸君诸君而而有意,瞻予马首可也。有意,瞻予马首可也。v吾尝终日吾尝终日而而思矣。思矣。v 而而翁归,自与汝复算耳翁归,自与汝复算耳v(表示并列关系。一般不译,有时可译为(表示并列关系。一般不译,有时可译为“又又”。表示。表示递进关系。可译为递进关系。可译为“并且并且”或或“而且而且”。表示承接关系。可。表示承接关系。可译为译为“就就”、“接着接着”,或不译。表示转折关系。可译为,或不译。表示转折关系。可译为“但但是是”、“却却”。表示假设关系。可译为。表示假设关系。可译为“如果如果”、“假如假如”。表示修饰关系,即连接状语。可不译。用
16、作代词。只用表示修饰关系,即连接状语。可不译。用作代词。只用作第二人称,一般作定语,译为作第二人称,一般作定语,译为“你的你的”;偶尔也作主语,;偶尔也作主语,译为译为“你你”。)。)趣味延伸:趣味延伸:v 抗战时期,四川大学招考新生,学校规定按照考生的抗战时期,四川大学招考新生,学校规定按照考生的总成绩择优录取,但其中任何一门学科的成绩不得为零。总成绩择优录取,但其中任何一门学科的成绩不得为零。有一位考生其他学科的功底都不错,惟独对几何一窍不通。有一位考生其他学科的功底都不错,惟独对几何一窍不通。考几何时,他抓耳挠腮,一筹莫展。如交白卷,肯定落榜,考几何时,他抓耳挠腮,一筹莫展。如交白卷,肯
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