高中数学第二章平面向量25从力做的功到向量的数量积课件2北师大必修4.ppt

1、2.52.5从力做的功到向量的数量积从力做的功到向量的数量积【知识提炼知识提炼】1.1.向量的夹角与投影向量的夹角与投影(1)(1)夹角夹角定义：已知两个非零向量定义：已知两个非零向量a和和b，作，作 =a,=,=b,则则_叫作向量叫作向量a与与b的夹角；的夹角；范围：范围：_；OAOB AOB=AOB=0 0180180大小与向量共线、垂直的关系：大小与向量共线、垂直的关系：=0 0a与与b_，180180a与与b_，9090a_b.同向同向反向反向(2)(2)投影投影定义：如图所示：定义：如图所示：=a，=b，过点，过点B B作作BBBB1 1垂直于直线垂直于直线OAOA，垂足为，垂足为B

2、 B1 1，则，则OBOB1 1=_._=_._叫做向量叫做向量b在在a方向上的投影数量方向上的投影数量(简称投影简称投影).).OAOB|b|cos|cos|b|cos|cos 大小与夹角的关系：大小与夹角的关系：夹角夹角 0 0 锐角锐角 9090 钝角钝角 180180 射影射影 _ _ _|b|正值正值0 0负值负值-|-|b|2.2.向量的数量积向量的数量积(1)(1)定义：已知两个向量定义：已知两个向量a与与b，它们的夹角为，它们的夹角为，我们把，我们把_叫作叫作a与与b的数量积的数量积(或内积或内积)，记作，记作_，即，即ab=_.=_.|a|b|cos|cos ab|a|b|c

3、os|cos (2)(2)几何意义：数量积几何意义：数量积ab等于等于a的长度的长度|a|与与b在在a方向上投影方向上投影_的乘积，或的乘积，或b的长度的长度_与与a在在b方向上投影方向上投影_的乘积的乘积.(3)(3)物理意义：力对物体做功，就是力物理意义：力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移与其作用下物体的位移s的数量积的数量积_._.|b|cos|cos|b|a|cos|cos Fs(4)(4)性质：性质：若若e是单位向量，则是单位向量，则ea=ae=_=_；ab_；(其中其中a,b为非零向量为非零向量););|a|=|=coscos=_(|=_(|a|b|0)|0)；对任意两个向

4、量对任意两个向量a,ba,b,有有|ab|_|_|a|b|.|.|a|cos|cos ab=0=0；a a|a ba b(5)(5)运算律：运算律：交换律：交换律：ab=_.=_.结合律：结合律：(a)b=_=_.=_=_.分配律分配律：a(b+c)=_.)=_.ba(ab)a(b)ab+ac【即时小测即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题:(1)(1)向量的夹角与直线的倾斜角的范围相同吗向量的夹角与直线的倾斜角的范围相同吗?提示提示:不相同不相同.向量的夹角范围为向量的夹角范围为0,0,而直线的倾斜角范围为而直线的倾斜角范围为0,0,).).(2)(2)影响数量积的大小的因素有哪些影响数

5、量积的大小的因素有哪些?提示提示:影响数量积的大小的因素有向量的模及其夹角的大小影响数量积的大小的因素有向量的模及其夹角的大小.2.2.若若e1 1,e2 2是两个平行的单位向量是两个平行的单位向量,则下面结果正确的是则下面结果正确的是()A.A.e1 1e2 2=1=1 B.B.e1 1e2 2=-1=-1C.|C.|e1 1e2 2|=1 D.|=1 D.e1 1e2 210,0,则则a a与与b b的夹角的夹角的取值范围是的取值范围是()【解析解析】选选A.A.因为因为a ab b0,0,所以所以coscos0,0,所以所以 .A.0,)B.,C.(,D.,2222()0,)24.4.若

6、若e1 1,e2 2是夹角为是夹角为 的单位向量的单位向量,且且a=2=2e1 1+e2 2,b=-3=-3e1 1+2+2e2 2,则则ab等于等于 ()A.1A.1 B.-4B.-4 C.-C.-D.D.37272【解析解析】选选C.C.ab=(2=(2e1 1+e2 2)(-3(-3e1 1+2+2e2 2)=-6|=-6|e1 1|2 2+|+|e1 1|e2 2|cos +2|cos +2|e2 2|2 2=-6=-61 12 2+1+11 1 +2 +21 12 2=-.=-.22112262ee ee212725.5.已知已知|a|=5,|=5,|b|=6,|=6,若若ab,则则

7、ab=_.=_.【解析解析】由由ab,可知可知a与与b的夹角为的夹角为0 0或或,故故ab=30.30.答案答案:3030【知识探究知识探究】知识点知识点1 1 向量的数量积向量的数量积观察如图所示内容观察如图所示内容,回答下列问题回答下列问题:问题问题1:1:向量的数量积可正、可负、可为零向量的数量积可正、可负、可为零,其决定因素是什么其决定因素是什么?问题问题2:2:向量数量积向量数量积ab中的中的“”能否省去能否省去?【总结提升总结提升】1.1.数量积的写法及与实数乘积的区别数量积的写法及与实数乘积的区别两向量两向量a,b的数量积也称作内积的数量积也称作内积,写成写成ab,其应与代数中的

8、其应与代数中的a,b的乘的乘积积ab区分开来区分开来,其中其中“”是一种运算符号是一种运算符号,不同于实数的乘法符号不同于实数的乘法符号.在向量运算中既不能省略在向量运算中既不能省略,也不能用也不能用“”代替代替.2.2.数量积运算的结果数量积运算的结果(1)(1)向量线性运算的结果是一个向量向量线性运算的结果是一个向量,但两个向量的数量积是一个数量但两个向量的数量积是一个数量.(2)(2)由于由于0 0180180,所以所以ab可以为正数、负数和零可以为正数、负数和零,且当且当0 0900;0;当当=90=90时时,ab=0;=0;当当9090180180时时,ab0.0.(3)(3)若若a

9、为零向量为零向量,则则|a|=|=0,从而从而ab=0,=0,故零向量与任一向量的数量故零向量与任一向量的数量积为积为0.0.(4)(4)aa=a2 2=|=|a|2 2.(5)(5)两个单位向量的数量积等于它们的夹角的余弦值两个单位向量的数量积等于它们的夹角的余弦值.知识点知识点2 2 数量积的性质及运算律数量积的性质及运算律观察如图所示内容观察如图所示内容,回答下列问题回答下列问题:问题问题1:1:向量的数量积有什么重要的性质向量的数量积有什么重要的性质?问题问题2:2:数量积与实数乘积有什么差异数量积与实数乘积有什么差异?【总结提升总结提升】1.1.数量积五条性质的应用数量积五条性质的应

10、用性质性质(1)(1)可以帮助理解数量积的几何意义可以帮助理解数量积的几何意义;性质性质(2)(2)可以解决有关垂直的问题可以解决有关垂直的问题;性质性质(3)(3)可以求向量的长度可以求向量的长度;性质性质(4)(4)可以求两向量的夹角可以求两向量的夹角;性质性质(5)(5)可以解决有关不等式的问题可以解决有关不等式的问题,当且仅当当且仅当ab时时,等号成立等号成立.2.2.数量积运算遵循的运算律及常用公式数量积运算遵循的运算律及常用公式(1)(1)遵循的运算律遵循的运算律:数量积的运算只适合交换律、分配律及数乘结合律数量积的运算只适合交换律、分配律及数乘结合律,不适合乘法结合律不适合乘法结

11、合律,即即(ab)c不一定等于不一定等于a(bc).).这是由于这是由于(ab)c表示一个与表示一个与c共线的向量共线的向量,而而a(bc)表示一个与表示一个与a共线的向量共线的向量,而而c与与a不一定共线不一定共线.(2)(2)常用公式及注意点常用公式及注意点:(a+b)(a-b)=|)=|a|2 2-|-|b|2 2;(a+b)2 2=|=|a|2 2+2+2ab+|+|b|2 2;(a-b)2 2=|=|a|2 2-2-2ab+|+|b|2 2.注意注意:|:|a|2 2=aa,|,|b|2 2=bb.【题型探究题型探究】类型一类型一 平面向量数量积的概念及运算平面向量数量积的概念及运算

12、【典例典例】1.|1.|a|=2,|=2,向量向量a与向量与向量b的夹角为的夹角为120120,则向量则向量a在向量在向量b方方向上的射影等于向上的射影等于()A.2A.2 B.120B.120C.-1 D.C.-1 D.由向量由向量b的长度确定的长度确定2.2.已知已知|a|=3,|=3,|b|=6,|=6,当当(1)(1)ab,(2),(2)ab,(3),(3)a与与b的夹角是的夹角是6060时时,分别求分别求ab,a(a+b).).【解题探究解题探究】1.1.向量向量a在向量在向量b方向上的射影公式是什么方向上的射影公式是什么?提示提示:|a|cos|cos.2.2.ab时时,两向量的夹

13、角是多少两向量的夹角是多少?提示提示:若若a与与b同向同向,则它们的夹角则它们的夹角=0=0,若若a与与b反向反向,则它们的夹角则它们的夹角=180=180.【解析解析】1.1.选选C.C.根据平面向量数量积的几何意义可知根据平面向量数量积的几何意义可知|a|cos120|cos120=2=2 =-1.=-1.2.(1)2.(1)当当ab时时,若若a与与b同向同向,则它们的夹角则它们的夹角=0=0,所以所以ab=|=|a|b|cos0|cos0=3=36 61=18,1=18,a(a+b)=)=a2 2+ab=9+18=27.=9+18=27.若若a与与b反向反向,则它们的夹角则它们的夹角=1

14、80=180,所以所以ab=|=|a|b|cos180|cos180=3=36 6(-1)=-18,(-1)=-18,a(a+b)=)=a2 2+ab=9-18=-9.=9-18=-9.12()(2)(2)当当ab时时,它们的夹角它们的夹角=90=90,所以所以ab=0,=0,a(a+b)=)=a2 2=9.=9.(3)(3)当当a与与b的夹角是的夹角是6060时时,有有ab=|=|a|b|cos60|cos60=3=36 6 =9.=9.a(a+b)=)=a2 2+ab=18.=18.12【方法技巧方法技巧】1.1.求平面向量数量积的流程求平面向量数量积的流程2.2.形如形如(m ma+n+

15、nb)(k(ka+lb)的运算技巧及注意点的运算技巧及注意点(1)(1)技巧技巧:类似于实数多项式的运算类似于实数多项式的运算,将运算转化为向量将运算转化为向量a,b的数量积的数量积运算运算.(2)(2)注意点注意点:a与与b的数量积不可书写或认为是的数量积不可书写或认为是ab,a2 2=|=|a|2 2的应用的应用.【拓展延伸拓展延伸】数量积运算时的两个注意点数量积运算时的两个注意点(1)(1)要找准两向量的夹角要找准两向量的夹角.(2)(2)注意向量数量积的运算律的应用注意向量数量积的运算律的应用.【变式训练变式训练】已知正三角形已知正三角形ABCABC的边长为的边长为1.1.求求:1 A

16、BAC.2 AB BC.，【解析解析】(1)(1)的夹角为的夹角为6060,所以所以 (2)(2)因为因为 的夹角为的夹角为120120,所以所以 ABAC 与11AB ACAB AC cos 601 1.22 ABBC 与11AB ACAB BC cos 1201 1.22 ()类型二类型二 利用数量积求向量的模利用数量积求向量的模【典例典例】已知已知|a|=|=|b|=5,|=5,向量向量a与与b的夹角为的夹角为 .求求|a+b|,|,|a-b|.|.【解题探究解题探究】联想到联想到|a|2 2=a2 2,要求要求|a+b|,|,|a-b|,|,应先求什么应先求什么?提示提示:应求应求|a

17、+b|2 2与与|a-b|2,进而可知先求进而可知先求ab.3【解析解析】方法一方法一:由题意可得由题意可得ab=|=|a|b|cos|cos=5=55 5 因为因为|a+b|2 2=|=|a|2 2+|+|b|2 2+2+2ab=25+25+2=25+25+2 =75,=75,所以所以|a+b|=5 .|=5 .同理因为同理因为|a-b|2 2=|=|a|2 2+|+|b|2 2-2-2ab=25,=25,所以所以|a-b|=5.|=5.125.222523方法二方法二:由向量线性运算的几何意义求作菱形由向量线性运算的几何意义求作菱形ABCD,ABCD,使使AB=AD=5,AB=AD=5,设

18、设 如图如图,则则 DAB3，ABAD ，ab|BDAB5 ，ab3|AC2 AE255 3.2 ab【延伸探究延伸探究】1.(1.(改变问法改变问法)本例的条件不变求本例的条件不变求|3|3a+b|.|.【解析解析】由题意可得由题意可得ab=|=|a|b|cos|cos=5=55 5 因为因为|3|3a+b|2 2=(3=(3a+b)2 2=9=9a2 2+b2 2+6+6ab=325.=325.所以所以|3|3a+b|=5 .|=5 .125.2232.(2.(变换条件变换条件)本例的已知条件若改为本例的已知条件若改为“|a|=|=|b|=5,|=5,且且|3|3a-2-2b|=5”,|=

19、5”,如何求如何求|3|3a+b|的值的值?【解析解析】因为因为|3|3a-2-2b|2 2=9|=9|a|2 2-12-12ab+4|+4|b|2 2=9=925-1225-12ab+4+425=325-1225=325-12ab,又因为又因为|3|3a-2-2b|=5,|=5,所以所以325-12325-12ab=25,=25,即即ab=25.=25.所以所以|3|3a+b|2 2=(3=(3a+b)2 2=9=9a2 2+6+6ab+b2 2=9=925+625+625+25=400.25+25=400.所以所以|3|3a+b|=20.|=20.【方法技巧方法技巧】求向量的模的常用思路及

20、方法求向量的模的常用思路及方法(1)(1)求模问题一般转化为求模平方求模问题一般转化为求模平方,与向量数量积联系与向量数量积联系,并灵活应用并灵活应用a2 2=|=|a|2 2,勿忘记开方勿忘记开方.(2)(2)aa=a2 2=|=|a|2 2或或|a|=,|=,此性质可用来求向量的模此性质可用来求向量的模,可以实现实可以实现实数运算与向量运算的相互转化数运算与向量运算的相互转化.(3)(3)一些常见的等式应熟记一些常见的等式应熟记,如如(ab)2 2=a2 22 2ab+b2 2,(,(a+b)(a-b)=a2-b2 2等等.2a【补偿训练补偿训练】已知向量已知向量a与与b的夹角为的夹角为1

21、20120,且且|a|=4,|=4,|b|=2,|=2,求求:(1)|(1)|a+b|.|.(2)|3(2)|3a-4-4b|.|.【解析解析】ab=|=|a|b|cos|cos=4=42 2cos120cos120=-4.=-4.(1)(1)因为因为|a+b|2 2=a2 2+2+2ab+b2 2=|=|a|2 2+2+2ab+|+|b|2 2=4=42 2+2+2(-4)+2(-4)+22 2=12,=12,所以所以|a+b|=2 .|=2 .(2)(2)因为因为|3|3a-4-4b|2 2=(=(3a-4-4b)2 2=9=9a2 2-24-24ab+16+16b2 2=9=916-24

22、16-24(-4)+16(-4)+164=304,4=304,所以所以|3a-4b|=4 .|3a-4b|=4 .319【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件变换条件)本例条件变为本例条件变为“已知向量已知向量a与与b的夹角为的夹角为120120,且且|a|=4,|=4,|a+b|=2|=2 ”,”,求求|b|.|.3【解析解析】因为因为ab=|=|a|b|cos|cos=4=4|b|cos120cos120=-2|=-2|b|.|.所以所以|a+b|2=a2+2ab+b2=|=|a|2 2+2+2ab+|+|b|2 2=16-4|=16-4|b|+|+|b|2 2.因为因为|a+b|=2

23、,|=2 ,即即|a+b|2 2=12,=12,所以所以16-4|16-4|b|+|+|b|2 2=12.=12.解得解得|b|=2.|=2.32.(2.(改变问法改变问法)若本例删去条件若本例删去条件“已知向量已知向量a与与b的夹角为的夹角为120120,”,”求求|a+b|的取值范围的取值范围.【解析解析】设向量设向量a与与b的夹角为的夹角为,则则ab=|=|a|b|cos|cos=4=42 2cos=8cos.cos=8cos.|a+b|2 2=a2 2+2+2ab+b2 2=4=42 2+2+28cos+28cos+22 2=20+16cos.=20+16cos.因为因为0,0,所以所

24、以cos-1,1,cos-1,1,所以所以|a+b|2 24,36,4,36,则则|a+b|2,6.|2,6.类型三类型三 向量的夹角或垂直向量的夹角或垂直【典例典例】1.1.已知已知|a|=1,|=1,|b|=4,(|=4,(a-b)(a+2+2b)=-29,)=-29,则则a与与b夹角夹角=_.=_.2.2.已知向量已知向量a,b,c满足满足a+b+c=0,且且|a|=3,|=3,|b|=5,|=5,|c|=7.|=7.求求a与与b的夹角的夹角.【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中中,若求若求a与与b的夹角的夹角,还需要什么还需要什么?提示提示:需要利用需要利用(a-b)(a+2+

25、2b)=-29)=-29求出求出ab.2.2.要求要求a与与b的夹角的夹角,关键是先求哪些量关键是先求哪些量?提示提示:关键是先求关键是先求ab.【解析解析】1.1.因为因为(a-b)(a+2+2b)=|)=|a|2 2+ab-2|-2|b|2 2=1+=1+ab-32-32=-31+=-31+ab,所以所以-31+-31+ab=-29,=-29,所以所以ab=2,=2,所以所以 又因为又因为0,0,所以所以=.=.答案答案:3321cos.1 42 a bab2.2.因为因为a+b+c=0,=0,所以所以a+b=-=-c,所以所以|a+b|=|=|c|.|.所以所以(a+b)2 2=c2 2

26、,即即a2 2+2+2ab+b2 2=c2 2.所以所以ab=22222222 cabcab4992515.22 又因为又因为a ab b=|=|a|b|cosa|b|cos,所以所以 =3=35 5cos.cos.即即coscos=,=,因为因为0,0,所以所以=.=.121523【延伸探究延伸探究】典例典例2 2中若条件不变中若条件不变,是否存在实数是否存在实数使使a+b与与a-2-2b垂垂直直?存在存在,求出求出值值,不存在不存在,说明理由说明理由.【解析解析】假设存在实数假设存在实数使使a+b与与a-2-2b垂直垂直.可得可得(a+b)(a-2-2b)=0.)=0.即即a2 2-2-2

27、b2 2-2-2ab+ab=0.=0.所以所以9-29-225-225-2 解得解得=-.=-.所以存在所以存在=-,=-,使得使得a+b与与a-2-2b垂直垂直.15150.2285128512【方法技巧方法技巧】1.1.求向量夹角的解题流程及注意事项求向量夹角的解题流程及注意事项(1)(1)解题流程解题流程:(2)(2)注意事项注意事项在个别含有在个别含有|a|,|,|b|与与ab的等量关系式中的等量关系式中,常利用消元思想计算常利用消元思想计算coscos的值的值.2.2.求求coscos的两种情形的两种情形(1)(1)求出求出ab,|,|a|,|,|b|的值代入公式计算的值代入公式计算

28、.(2)(2)得到得到ab,|,|a|,|,|b|之间的关系代入公式计算之间的关系代入公式计算.3.3.两向量垂直的确定与应用两向量垂直的确定与应用(1)(1)确定确定:通常利用两向量垂直的充要条件通常利用两向量垂直的充要条件,即计算即计算ab是否为是否为0.0.(2)(2)应用应用:若若ab,则则ab=0=0可求其中参数的值可求其中参数的值.【变式训练变式训练】(2015(2015重庆高考重庆高考)若非零向量若非零向量a,b满足满足 且且 则则a与与b的夹角为的夹角为()【解题指南解题指南】解答本题可以根据相互垂直的向量的数量积为零进行计解答本题可以根据相互垂直的向量的数量积为零进行计算算,

29、然后求出夹角然后求出夹角.2 23，ab32()()，abab3A.B.C.D.424【解析解析】选选A.A.设设a a与与b b的夹角为的夹角为,因为因为 所以所以 解得解得coscos=,=,因为因为0,0,所以所以=.=.2 2|3，ab32()()，abab22323|2|()()ababa|b|a b22282 22cos033，bbb224【补偿训练补偿训练】1.1.已知已知a,b都是非零向量都是非零向量,且且a+3+3b与与7 7a-5-5b垂直垂直,a-4-4b与与7a-2b7a-2b垂直垂直,求求a a与与b b的夹角的夹角.【解题指南解题指南】由由(a+3+3b)(7(7a

30、-5-5b)=0)=0及及(a-4-4b)(7(7a-2-2b)=0)=0建立建立ab与与b2 2以及以及|a|与与|b|的等量关系的等量关系,可求可求a与与b的夹角的夹角.【解析解析】由已知得由已知得(a+3+3b)(7(7a-5-5b)=0,)=0,即即7 7a2 2+16+16ab-15-15b2 2=0=0(a-4-4b)(7(7a-2-2b)=0,)=0,即即7 7a2 2-30-30ab+8+8b2 2=0=0,两式相减得两式相减得2 2ab=b2 2,所以所以ab=b2 2,代入代入,中任一式得中任一式得a2 2=b2,设设a,b的夹角为的夹角为,则则 因为因为0 0180180

31、,所以所以=60=60.1222112cos2，ba ba bb2.2.设设n和和m是两个单位向量是两个单位向量,其夹角是其夹角是6060,求向量求向量a=2=2m+n与与b=2=2n-3-3m的夹角的夹角.【解析解析】m和和n是两个单位向量是两个单位向量,其夹角是其夹角是6060,所以所以mn=|=|m|n|cos60cos60=,=,设设a=2=2m+n与与b=2=2n-3-3m的夹角为的夹角为,所以所以 因为因为0 0180180,所以所以=120=120.即即a=2=2m+n与与b=2=2n-3-3m的夹角为的夹角为120120.12227(2)(23)12cos277(2)(23)，

32、a bmnnma bmnnm易错案例易错案例 根据向量的夹角求范围根据向量的夹角求范围【典例典例】设两个向量设两个向量e1 1,e2 2满足满足|e1 1|=2,|=2,|e2 2|=1,|=1,e1 1,e2 2的夹角为的夹角为6060,若若向量向量2t2te1 1+7+7e2 2与与e1 1+t+te2 2的夹角为钝角的夹角为钝角,求实数求实数t t的取值范围的取值范围.【失误案例失误案例】【错解分析错解分析】分析上面的解析过程分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗你知道错在哪里吗?提示提示:错误的根本原因在于忽视了向量的夹角的取值范围错误的根本原因在于忽视了向量的夹角的取值范围.(2t.(

33、2te1 1+7 7e2 2)(e1 1+t+te2 2)0)0包括了向量包括了向量2t2te1 1+7+7e2 2与与e1 1+t+te2 2的夹角为的夹角为即共线且方即共线且方向相反的情况向相反的情况,故应排除这种情况故应排除这种情况.【自我矫正自我矫正】由向量由向量2t2te1 1+7+7e2 2与与e1 1+t+te2 2的夹角的夹角为钝角为钝角,得得coscos=即即(2t(2te1 1+7+7e2 2)(e1 1+t+te2 2)0,)0,化简得化简得2t2t2 2+15t+70.+15t+70.解得解得-7t-.-7t-.当夹角为当夹角为时时,也有也有(2t(2te1 1+7+7

34、e2 2)(e1 1+te2 2)0,)0,但此时夹角不是钝角但此时夹角不是钝角.12121212(2t7)(t)0|2t7|t|，eeeeeeee12设设2t2te1 1+7+7e2 2=(=(e1 1+t+te2 2),0,),0,则则所以所求实数所以所求实数t t的取值范围是的取值范围是 2t147t14t.02 ，解得，141417222(，)(，)【防范措施防范措施】1.1.注意向量夹角的取值范围注意向量夹角的取值范围由公式由公式coscos=可知若可知若为钝角为钝角,则则coscos0,0,即即ab0,00 为锐角或零角为锐角或零角,ab00 为钝角或平为钝角或平角角.例如例如,本例利用本例利用2t2te1 1+7+7e2 2与与e1 1+t+te2 2的夹角为钝角的夹角为钝角,得等价关系式得等价关系式.3.3.注意思考问题的全面性注意思考问题的全面性由向量的夹角求参数的范围时由向量的夹角求参数的范围时,务必注意思考问题的全面性务必注意思考问题的全面性,如本例应如本例应排除向量排除向量2t2te1 1+7+7e2 2与与e1 1+t+te2 2共线且反向的特殊情形共线且反向的特殊情形,即求出即求出-7t-7t-后后,应注意排除夹角为平角的情形应注意排除夹角为平角的情形.12